上海沪教版六年级数学下不等式(组)教案及练习

六年级数学讲义（七）

一元一次不等式（组）

【知识要点】

（一）不等式及其性质

1.不等式的概念：

用不等号“<”、“>”、“≦”、“≧”、“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式。

如：x+3>5。

2.常见的不等号及其含义：

“≠”读作“不等于”，它表明两个量是不相等的，但不能确定哪个量大，哪个量小；

“>”读作“大于”，它表明左边的量比右边的量大；

“≧”读作“大于或等于”，它表明左边的量不小于右边的量；“<”读作“小于”，它表明左边的量比右边的量小；

“≦”读作“小于或等于”，它表明左边的量不小于右边的量。

3.不等式的基本性质：

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变，即：

a>b →a ±m>b ±m 。

（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：

a>b 且m>0→am>bm ；a m >b

m

。

（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：

a>b 且m<0→am

m

。

[注]性质（2）和（3）反过来也是成立的，即如果a

m

0；如果abm （或a m >b m ），那么m<0。

小练习：用不等号填空

1.若－3x ≧－3y ，则－12x_______－12y ；

2.若x-2y>x ，则y______0；

3.若（3.14-π）x<2，则x______ 23.14-π ；

4.若－a 3 >－b

3 ，则2a+105______2b+105；

5.若a>0，b<0，c<0，则（a －b ）c______0；

（二）一元一次不等式的解法 1.不等式的解的定义：

能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

2.不等式解集的定义：

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。如：

x-1>2的解集是x>3。

3.解不等式：

求解不等式解集的过程叫做解不等式。

步骤：

①去分母；

②去括号；

③移项；

④化成ax>b（或ax

⑤两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集。

解不等式的主要依据是不等式的基本性质。在运用不等式的基本

性质进行解题时，应特别注意：不等式的两边都乘以（或除以）同一

个负数，不等号方向改变；不等式两边不能都乘以0，否则不等式就

变为等式了。

小练习：解不等式

（1）2x-4<7 （2）2x-4<7x （3）5x+6≧16

4.如何用数轴表示不等式的解集：

首先确定“界点”，然后确定“方向”。若解集包含“界点”，则用实心圆点；若解集不包含“界点”，则用空心圆圈。对于方向，相对于“界点”而言，大于向右画，小于向左画。

小练习：在数轴上表示下列不等式的解集

（1）x>2 （2）x≦－1 （3）x≧0 （4）x<3

（三）一元一次不等式组

1.一元一次不等式组的概念：

关于同一个未知数的几个一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

如：{2x−1>4x x+5<3x。

[注]（1）一元一次不等式组是由一元一次不等式组成的，组成不等式组的一元一次不等式必须都是关于同一未知数的不等式；

在不等式中，每一个不等式的地位都是相同的，缺一不可。

（2）不等式组中不等式的个数至少是2个，也可以更多。

2.一元一次不等式组解集的概念：

一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一

元一次不等式组的解集。

几个一元一次不等式组的公共部分，通常是利用数轴来确定的。 由两个不等式组成的不等式的解集情况讨论： 当a>b 时，有：

（1）{x >a x >b ，的解集是x>a 。总结为“同大取较大”；

（2）{x

（3）{x b ，的解集是b

（4）{x >a x

[注]如果一元一次不等式组由三个不等式组成，可以先求出两个不等

式的公共部分，然后再 和第三个不等式求公共部分。

小练习：利用数轴确定下列不等式组的解集

（1）{x >4x >12 （2）{x <4x <－3

（3）{x ≦4.5

x >－3 （4）{

x >4

x <－312

3.不等式组的解法：

（1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集；

（3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集。 小练习：解不等式组

（1）{4x >2x −610+3x >7x −30 （2）

{5-2x 4 >3-2x 6 5x ≤x −14 【思考】

1.含字母系数的一次不等式：求ax+b ≧x+ab 的解。

2.含绝对值的不等式解法：解不等式|x-7|-|2x-5|≦2。

【巩固练习】 一、 填空题。

1.如果x

（1）xy_____0； （2）－2x_____－2y ； （3）1-3x____1-3y ； （4）x-a______y-a; （5）x ·|m|_____y ·|m|； （6）xy_____y 2。 2.不等式2x>4的解有_______个，最小的整数解是______。 3.如果a 与12的差小于a 的9倍与8的和，则a 的取值范围是____________。

4.如果2a-2>0，则|a-1|-|1-a|的值是_____。

5．如果不等式（a-3）x>a-3的解集为x<1，则a 的取值范围是___________。

6.当m=_____时，不等式（m+4）x |m|-3≠0是关于x 的一元一次不等式。

7.已知关于x 的不等式2x-m>－3的解集是x>－2，则m=_______。

8.当x________时，代数式x-8的值不大于代数式1

2 （x+1）的值。

9.若三个连续正整数的和小于16，则这三个连续的正整数为_________________。