2016年秋高中数学第一章集合与函数的概念1.3.2奇偶性第2课时函数性质习题课习题新人教A版必修1

若f x f x ，则函数为奇函数； (ⅱ)对称 若f x f x ，则函数为偶函数； 若f x 与f x 无上述关系，则函数为非奇非偶函数.
(2)图象法: 画出函数的图象,直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性.
【拓展延伸】性质法判断函数的奇偶性 (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数. (2)奇函数的和、差仍为奇函数. (3)奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数. (4)一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.
2.(变换条件)若把本例中的奇函数改为偶函数,其他条件不变,则结果 又是什么?
【解析】由于f(x)为偶函数,y轴右侧图象已知,结合偶函数图象关于y 轴对称,作出y轴左侧图象,如图所示,
由图象知,当x∈(-5,-2)时,f(x)<0;当x∈(2,5)时,f(x)<0,所以使 f(x)<0的x的取值集合为(-5,-2)∪(2,5).
可求解.
【变式训练】(2015·广州高一检测)已知函数f(x)= 是R上的奇函数.
xa 1 x2
(1)求a的值.
(2)用定义证明该函数在[1,+∞)上的单调性.
【解题指南】(1)利用函数是奇函数,由f(0)=0即可得到a的值.
(2)利用函数单调性的定义进行判断即可得到结论 .
【解析】(1)因为f(x)= x a 是R上的奇函数,所以f(0)=0,解得a=0, 此时f(x)=
1 . 2 1 x
1 b 4 f( ) ， 1 2 1 5 4
【方法技巧】利用奇偶性求参数的常见类型及策略 (1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关 于原点对称,利用a+b=0求参数.

1.3.2 奇偶性课后训练1．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( )A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a ))D ．1,a f a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．33．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数4．函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数5．若函数()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，则a ＝( ) A ．12 B ．23 C ．34D ．1 6．若函数f (x )是奇函数，则f f ＝______. 7．已知y ＝f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋2且g (1)＝1，则g (－1)＝__________.8．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x 2＋3x ＋1，则f (x )＝________.9．已知函数2()1ax b f x x +=-是定义在(－1,1)上的奇函数，且14=23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数f (x )的解析式．10．判断下列函数的奇偶性：(1) ()f x =； (2)定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y ，恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )．参考答案1答案：C2答案：A3答案：A4答案：B5答案：A6答案：07答案：38答案：x 2＋19答案：解：法一：∵f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，∴f (0)＝0.即2=010b -∴b ＝0. 又1142==12314a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，∴a ＝2. ∴22()1x f x x =-. 法二：∵2()1ax b f x x +=-是奇函数，14=23f ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴14=23f ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 则142,1314142,1314a b a b ⎧+⎪=⎪⎪-⎪⎨⎪-+⎪=-⎪-⎪⎩即22,22,a b a b +=⎧⎨-+=-⎩ 解得2,0.a b =⎧⎨=⎩∴22()1x f x x =-. 法三：∵2()1ax b f x x+=-是定义在(－1,1)上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即2211ax b ax b x x -++=---， 化简得b ＝0.∴2()1ax f x x=-. ∵1423f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴21423112a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴a ＝2. ∴22()1x f x x=-.10答案：解：(1)由10,220,x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩得－1≤x ＜0或0＜x ≤1. 故函数f (x )的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且x ＋2＞0，从而有()f x ===，于是()()f x f x -==-． 故函数f (x )是奇函数．(2)令x ＝y ＝0，可得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)＝f (0)，从而f (0)＝0.令y ＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )．又f (x )的定义域为R ，关于原点对称，故f (x )为奇函数．。

1.3.2 奇偶性A 级 基础巩固一、选择题1．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论：( )①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( )A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③答案：C2．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2x ＋1解析：四个选项中的函数的定义域都是R.对于选项A ，y ＝x 3是奇函数；对于选项B ，y＝|x |＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；对于选项C ，y ＝－x 2＋1是偶函数，但是它在(0，＋∞)上是减函数；对于选项D ，y ＝2x ＋1是非奇非偶函数．答案：B3．已知y ＝f (x )，x ∈(－a ，a )，F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析：F (－x )＝f (－x )＋f (x )＝F (x )．又因为x ∈(－a ，a )关于原点对称，所以F (x )是偶函数．答案：B4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，g （x ），x ＜0，且f (x )为偶函数，则g (－2)＝( ) A ．6 B ．－6 C ．2 D ．－2解析：因为f (x )为偶函数，所以f (－2)＝g (－2)＝f (2)＝22＋2＝6.答案：A5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )在[0，＋∞)上为增函数，且f (－3)＝0，则不等式f (2x －1)<0的解集为( )A ．(－1，2)B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(－1，＋∞) 解析：因为f (－3)＝0，且该函数为偶函数，所以f (3)＝f (－3)＝0，所以不等式f (2x－1)<0等价于f (2x －1)<f (3)．又因为f (x )在[0，＋∞)上为增函数，由题意得|2x －1|<3，所以－1<x <2.答案：A二、填空题6．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，则f (x )在R 上的解析式为_______________________________．解析：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝(－x )2－2·(－x )＝x 2＋2x .又因为y ＝f (x )是R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. 答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0. 7．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (－1)＝2，则f (0)＋f (1)＝________． 解析：因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (1)＝－f (－1)＝－2，所以f (0)＋f (1)＝0－2＝－2.答案：－28．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax.若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案：－3三、解答题9．已知函数f (x )，x ∈R ，若对任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证：f (x )为奇函数．证明：设a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，所以f (0)＝0.又设a ＝－x ，b ＝x ，则f (0)＝f (－x )＋f (x )．所以f (－x )＝－f (x )．所以f (x )为奇函数． 10．已知f (x )＝ax 2＋b x是定义在(－∞，b －3]∪[b －1，＋∞)上的奇函数． (1)若f (2)＝3，求a ，b 的值；(2)若f (－1)＝0，求函数f (x )在区间[2，4]上的值域．解：(1)由题意得，b －3＋b －1＝0，所以b ＝2，所以f (x )＝ax 2＋2x ，因为f (2)＝3，所以4a ＋22＝3， 所以a ＝1.(2)因为f (－1)＝0，所以a ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋2x ＝－2x ＋2x. 因为函数y ＝－2x 和y ＝2x在区间[2，4]上都单调递减， 所以函数f (x )在区间[2，4]上单调递减，所以在区间[2，4]上，f (x )max ＝f (2)＝－3，f (x )min ＝f (4)＝－152，所以函数f (x )在区间[2，4]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－152，－3. B 级 能力提升1．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是减函数，若f (a )≥f (－2)，则a 的取值范围是( )A ．a ≤－2B ．a ≥2C ．a ≤－2或a ≥2D ．－2≤a ≤2 解析：由已知，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，若a <0，由f (a )≥f (－2)得a ≥－2；若a ≥0，由已知可得f (a )≥f (－2)＝f (2)，a ≤2.综上知－2≤a ≤2.答案：D2.已知y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式f （x ）g （x ）<0的解集是____________________________．解析：由题知，y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数．根据函数图象的对称性画出y ＝f (x )，y ＝g (x )在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知f (x )>0⇔0<x <2或－2<x <0，g (x )>0⇔1<x <3或－1<x <0.f （x ）g （x ）<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）>0，g （x ）<0，或⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）<0，g （x ）>0， 可求得其解集是{x |－2<x <－1或0<x <1或2<x <3}．答案：{x |－2<x <－1或0<x <1或2<x <3}3．设f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝1x －1，求f (x )，g (x )的解析式． 解：因为f (x )＋g (x )＝1x －1，①所以f (－x )＋g (－x )＝1－x －1.② 因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， 所以f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．所以②式可变为f (x )－g (x )＝1－x －1.③ 联立①③，解方程组得f (x )＝1x 2－1，g (x )＝x x 2－1. 所以f (x )＝1x 2－1(x ≠±1)，g (x )＝x x 2－1(x ≠±1)．。

函数单调性与奇偶性的综合
题点一：比较大小问题
1．已知偶函数 f(x)在[0，＋∞)上单调递减，则 f(1)和 f(－10)的大
小关系为
()
A．f(1)＞f(－10)
B．f(1)＜f(－10)
C．f(1)＝f(－10)
D．f(1)和 f(－10)关系不定
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－10)＝f(10)．又 f(x)在[0，＋∞)
(× )
(2)奇函数的图象一定通过原点．
(× )
(3)函数 f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．
(× )
(4)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(－x)＋f(x)＝0. ( √ )
2．函数 y＝f(x)，x∈[－1，aห้องสมุดไป่ตู้(a＞－1)是奇函数，则 a 等于 ( )
A．－1
B．0
C．1
1．3.2 奇偶性
预习课本 P33～36，思考并完成以下问题 (1)偶函数与奇函数的定义分别是什么？ (2)奇、偶函数的定义域有什么特点？ (3)奇、偶函数的图象分别有什么特征？
[新知初探]
函数奇偶性的概念
偶函数
奇函数
条件 定
义 结论
对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有
f(－x)＝ f(x)
利用函数的奇偶性求解析式
[例 3] 若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f(x) ＝x2－2x＋3，求 f(x)的解析式．
[解] 当 x＜0 时，－x＞0， f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，由于 f(x)是奇函 数，故 f(x)＝－f(－x)，所以 f(x)＝－x2－2x－3. 即当 x＜0 时，f(x)＝－x2－2x－3.