基于有限元法_正则化的弹性模量反求算法研究

tive volume element
1 引言
从复合材料细观结构及组分相力学性能预测复 合材料宏观性能 , 通常有两种方法 , 即解析法和有限 元法 。早 期 多 采用 解 析 法 , 如 Eshelby 等 效 夹 杂 法[ 1] 、自洽法[ 2] 、Mori -T anaka 法[ 3] 等 , 近期则多采 用有限元法[ 4～ 7] 。 解析法是基于 组分相中应力 应
v
匀质等效体与复合材料体产生相同的弹性应变能 。
这一点可以在本文 2 .2 节中得到证明 。
因此 , 可将复合材料体的有效弹性模量定义为 :
σ= C ＊ε
(1)
其中 :σ为复合材料体在远场均匀边界条件作用下
的应力平均值 ;
ε为复合材料体在远场均匀边界条件作用下的
应变平均值 ;
C ＊即为复合材料体的有效弹性刚度矩阵 ,有效弹
均应力 。此时只需令匀质等效体内的均匀应变等于 复合材料体内的平均应变 , 即可求得有效弹性刚度 矩阵模量 C ＊ 。 2 .2 .2 “弹性应变能相等”的证明
下面给出上述定义中复合材料体与匀质等效体
的弹性应变能相同的证明 :
在匀质等效体中 ,
总应变能为
U′=
1 2
σijεij V
;
∫ 在复合材料体中 , 总应变能为 U
Predicting Macroscopic Effective Elastic Moduli of Composites by Micro-mechanics FEM
LEI You-feng1 , W EI De-ming1 , GAO De-ping2
(1 .The Airforce 8t h Research Institute Beijing 100076 , china ; 2 .Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjng 210016 China)

弹性力学及有限元法
Elae Element Method
机械工程与自动化学院
现代设计与分析研究所
张瑞金 Rjzhang@
弹 性 力 学 及 有 限 元 法
第一章 绪论
了解弹性力学的定义；
了解弹性力学研究方法 ； 掌握有限单元法的基本思想； 了解常用有限元计算程序； 课程计划。
绪 论
现有网格基础上，根据有限元计算结果估计计算误差、重新划分网格和 再计算的一个循环过程。 3、由求解线性问题发展到求解非线性问题 许多工程问题如材料的破坏与失效、裂纹扩展等仅靠线性理论根本不能 解决，必须进行非线性分析求解，例如薄板成形就要求同时考虑结构的 大位移、大应变（几何非线性）和塑性（材料非线性）；而对塑料、橡 胶、陶瓷、混凝土及岩土等材料进行分析，则必须考虑材料非线性。 4、由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解 求解线性结构问题，只要离散单元足够小，所得的解就可足够逼近于精 确值。现在发展方向是结构非线性、流体动力学和耦合场问题的求解。 例如由于摩擦接触而产生的热问题，金属成形时由于塑性功而产生的热 问题,需要结构场和温度场的有限元分析结果交叉迭代求解，即“热力耦 合”的问题。 5、程序面向用户的开放性 商业化的提高要求给用户一个开放的环境。
解析法：得出精确的函数解
数值法： 差分法：采用差商代替微商，将弹力中导 出的微分方程及其边界条件化为差分方程 （代数方程）进行求解。 变分法：根据变形体的能量极值原理，导 出弹性力学的变分方程，并进行求解。 有限单元法：离散模型的数值解
绪 论
弹 性 3. 有限元法基本思想 力 学 及 有 将求解区域划分为有限个互不重叠的单元，单元 之间仅依靠节点连接，单元内部点的待求量可由 限 元 单元节点量通过选定的函数关系插值求得，建立 法

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在离散体中任取一个单元，三个节点按逆时针方向顺序编
号为i，j，m。节点坐标分别表示为（xi，yi），（xj，yj）， （xm，ym）。
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对于弹性力学平面问题，一个三角形单元上的每 个节点应有2个位移分量，则三角形单元共有6个自 由度： ui , vi ,u j , v j ,um , vm 。
u x
K
矩形单元：采用双线性位移模式，单元内的应力是线性
变化的。
u kx2 mx
(kx2 mx) x
3. 薄板弯曲单元和薄板单元
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4. 多面体单元
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5. 等参数单元：单元内任一点的位移与节点位移之间的关系 恰好和该点的坐标与节点坐标之间的关系相同。
任意四边形的边一般不平行于坐标轴，沿单元边的位 移将按抛物线变化，而不是线性变化。
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（2）分析单元的力学性质 列出单元节点和节点位移之间的关系式。应用几何方程和
物理方程来建立力和位移的方程式，导出单元刚度矩阵。
节点载荷和节点位移之间的关系式为：
Fe Kee
K e 为单元刚度矩阵。
（3）计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有在单元 上的力。
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元位移模式。
u(x, v(x,
y) y)
Ni
(x, 0
y)
0 N j (x, y) Ni (x, y) 0
0 Nm (x, y) N j (x, y) 0
0
Nm
(
x,
y)
u Ne
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椭圆方程柯西问题的拟逆正则化方法
椭圆方程柯西问题是指在椭圆型偏微分方程中，给出了一些边界条件和初始条件，需要求解未知函数在整个区域内的解。

由于该问题的求解常常涉及到非线性和高维的计算，因此需要采用合适的算法来求解。

近年来，拟逆正则化方法被广泛应用于椭圆方程柯西问题的求解中。

该方法通过构造一个正则化方程，并利用正则化方程与原方程之间的关系，逐步求解未知函数。

该方法的优点在于可以避免数值算法中的不稳定性和数值误差，并且对于某些特殊情况下的求解问题，具有较好的数值稳定性和计算速度。

在拟逆正则化方法中，首先需要构造一个正则化方程，然后通过正则化方程的逐步求解，得到未知函数的解。

正则化方程的构造通常是基于某种特定的求解策略和逆正则化算子的选择。

逆正则化算子是指一个映射，可以将原问题的解映射到一个更简单的空间中，从而使得求解问题更容易。

在实际应用中，拟逆正则化方法可以结合其他求解方法，例如有限元法、边界元法等，来实现更加准确和高效的求解。

此外，该方法还可以应用于其他类型的偏微分方程求解中，例如抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程等。

总之，拟逆正则化方法是一种有效的求解椭圆方程柯西问题的方法，其在实际应用中具有广泛的应用前景。

随着计算机技术的不断发展和算法优化的深入研究，该方法将会在更多的领域内展现出其巨大的潜力和应用价值。