备战2020年高考文数一轮复习第二节 第2课时 系统题型——圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系

2020届高三一轮复习数学精品资料：第七章直线与圆的方程（74页精美word ）§ 7.1直线的方程自主学习刖础自测x 轴的交点是P ,且倾斜角为，假设将此直线绕点P 按逆时针方向旋转45°,得到直线的倾斜角为+45°, 那么 A.0 ° < V 180° C 0°v < 135 〔 〕 B.0 ° < V 135° D. 0°V V 135 ° 答案 D2.〔2018 •全国I 文〕曲线y=x 【2x+4在点〔1 , 3〕处的切线的倾斜角为 A30 ° B45 ° C.60 A.1 B.4 C.1 或 3 答案 A4.过点 P 〔-1 , 2〕且方向向量为a=〔-1 , 2〕的直线方程为A.2 x+y=0B. x-2 y+5=0C. x-2 y=0 答案 B 3.过点M 〔-2 , m 〕，N 〔 m 4〕的直线的斜率等于1,那么m 的值为 答案 A5.（2018 •株州模拟）一条直线通过点 A 〔-2 , 2〕,同时与两坐标轴围成的三角形的面积为 〔 〕 D120 °（）D.1 或 4〔 〕 D. x+2y-5=01,那么此直线的方程为答案 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 典例剖析例 1 三点 A 〔 1 , -1〕，B 〔 3 , 3〕，C〔 4 , 5〕求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 证明方法一 •/ A 〔 1 , -1 丨，B 〔3 , 3〕，C 〔 4 , 5〕，--k AB =k BC , ••• A 、B 、C 三点共线.方法二•/ A 〔 1 , -1 丨，B 〔 3 , 3〕, C 〔 4 , 5〕,「•I AB=2 J5 , | BC=岳，| AC=3 厉,•••IAB+| Bq=| AC ,即 A 、B 、C 三点共线.方法三•/ A 〔 1 , -1〕，B 〔 3 , 3〕, C 〔 4 , 5〕,• AB =〔 2 , 4〕, BC =〔1 , 2〕，• AB =2 BC .又T AB 与BC 有公共点B , • A 、B 、C 三点共线.例 2 实数 x, y 满足 y=x 2-2x+2 (-1 <x < 1).试求：y 3的最大值与最小值.x 2解 由L2的几何意义可知，它表示通过定点P 〔-2 , -3丨与曲线段AB 上任一点〔x,y)的直线的斜率k,如图可知：k pAx 2 < k < k pB ,由可得：A 〔 1 , 1〕，B 〔-1 , 5〕， 4 / k <8,3故-__3的最大值为8，最小值为4 .x 2 3例3求适合以下条件的直线方程：〔1〕通过点P 〔3, 2〕，且在两坐标轴上的截距相等；〔2〕通过点A 〔-1，-3〕，倾斜角等于直线y=3x 的倾斜角的2倍. 解 〔1〕方法一 设直线I 在x, y 轴上的截距均为a, 假设a=0，即I 过点〔0, 0〕和〔3，2〕， /• I 的方程为 y=?x ,即 2x-3 y=0.3 假设a 工0，那么设I 的方程为-1 ,a b •/ I 过点〔3, 2〕，••• 3 - 1 ,a a a=5,「. I 的方程为 x+y-5=0,综上可知，直线I 的方程为2x-3 y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率 k 存在且k 工0,设直线方程为y-2=k(x-3),令 y=0,得 x=3- 2 ,令 x=0,得 y=2-3 k,k 由 3- - =2-3 k ，解得 k=-1 或 k= 2, k 3 直线I 的方程为： y-2=-〔 x-3 丨或 y-2=2(x-3),3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0.〔2〕由：设直线y=3x 的倾斜角为 那么所求直线的倾斜角为 2 .又直线通过点A 〔-1 , -3丨， 因此所求直线方程为 y+3=- 3 (x+1),4即 3x+4y+15=0.例4 〔 12分〕过点P 〔2, 1〕的直线I 交x 轴、y 轴正半轴于 A B 两点，求使:〔1 ]△ AOB 面积最小时I 的方程； 〔2〕| PA • | PB 最小时I 的方程.■/ tan =3, • • tan2=2 tan1 tan 21. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，假如 A 〔 a ，a 3〕、B 〔b ，b 3〕、C 〔c ，c 3〕在解方法一设直线的方程为x 1 1 ( a >2, b > 1), a b由可得2 1 1. a b2,：?b 三 I 1=「a b >8.--S ^AOB = ab 》4.2当且仅当2=1 = 1，即a=4, b=2时，S A AOB 取最小值4，现在直线I 的方程为\ a b 2 4 -=1,即 x+2y-4=0. 6 2〔2〕由 2 + 丄=1，得 ab-a-2 b=0, a b 变形得(a-2)( b-1)=2,| PA • |PB| =.(2 a)2(1 0)2 • .(2 0)2(1 b)=.[(2 a)2 1] [(1 b)2 4]> 2(a 2) 4(b 1). 10当且仅当a-2=1, b-1=2,即 a=3, b=3 时，| PA| • | PE| 取最小值 4. 现在直线I 的方程为x+y-3=0.方法二 设直线I 的方程为y-仁k(x-2) ( k v 0), 那么I 与x 轴、y 轴正半轴分不交于 12A 21,0、 kE 〔0，1-2k 丨. 〔1〕 1 S A AOE =— 2 21 k 〔1-2 k 〕 =1 2 x 4 ( 4k) ( 1) > 1• 〔4+4〕 =4.当且仅当-4 k=- 1 ,即k=- 1时取最小值，现在直线k 2 1I 的方程为 y-1=-(x-2),即 x+2y-4=0.2当且仅当 4 =4k 2,即k=-1时取得最小值，现在直线I 的方程为y-1=-( x-2),即x+y-3=0.k 26分12 分知能迁移2〔2〕| PA • |PE|=同一直线上，求证：a+b+c=0. 证明■/ A>7B 、C 三点共线，k AB =k AC ,33 3 3/• a__b a1，化简得 a 2+ab+b 2=a 2+ac+c 2, a b a c /• b 2- c 2+ab- ac=0,〔 b-c 〕〔a+b+c 〕=0, ■/a 、b 、c 互不相等，b-c 工0,「. a+b+c=O. 2.〔 2018 •宜昌调研丨假设实数x, y 满足等式（x-2） 2+y 2=3,那么X 的最大值为〔〕xA. -B.C ±1D. J 32 3 2答案 D3. 〔 1〕求通过点A 〔-5 , 2〕且在x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的2倍的直线方程；〔2〕过点A 〔 8, 6〕引三条直线丨1,丨2,丨3,它们的倾斜角之比为 1 : 2 : 4，假设直线丨2的方程是y=£x,求直线I4 程.解 〔1〕①当直线I 在x 、y 轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为 y=kx, 将〔-5 , 2〕代入y=kx 中，得k=- 2，现在，直线方程为 y=- 2x,5 5 即 2x+5y=0.②当横截距、纵截距都不是零时， 设所求直线方程为 A 2=1,2a a 将〔-5 , 2〕代入所设方程， 解得a=- 1 ,2现在，直线方程为x+2y+仁0.综上所述，所求直线方程为 x+2y+1=0或2x+5y=0. 〔2〕设直线l 2的倾斜角为 ， ,那么tan=3 4因此 1 tan = 1 4cos = 5 12sin 3 35tan2=2 tan3 2 - 4241 tan 21 (3)2J 7因此所求直线l 1的方程为y-6=丄（x-8）,3即 24x-7y-150=0.4. 直线l 通过点P 〔 3, 2〕且与x , y 轴的正半轴分不交于 A B 两点，△ OAB 的面积为12，求直线l 的方程.1, l 3的方即x-3y+10=0,13的方程为24 y-6=丝(x-8),5.通过点〔1，4〕的直线在两坐标轴上的截距差不多上正的，且截距之和最小，那么直线的方程为〔解 方法一 设直线I 的方程为x 1 1〔a > 0, b >0〕a bA( a,0), B(0, b).ab 24,解得1.6,b 4. 二所求的直线方程为^1=1 6 4 即 2x+3y-12=0.方法二 设直线I 的方程为y-2= k( x-3), 令y=0,得直线I 在x 轴上的截距a=3- 2 , k 令x=0,得直线I 在y 轴上的截距b=2-3 k. 2 2二 3 - (2-3 k)=24.解得 k=- 一 .k 3 二所求直线方程为y-2二2 (x-3).3 即 2x+3y-12=0.、选择题A 0,B. — ?4,4C. _______4 , 4D- 0--4 4答案D2.直线 l 过点〔a,1) ,〔a+1,tan +1),那么A 一定是直线l 的倾斜角B. 一定不是直线 l 的倾斜角C不一定是直线 l 的倾斜角A 0,B. 0,42C. D.---------4, 2答案 4.过点1,作直线l ，假设通过点〔a , 0〕和〔0, b 〕，且a G N , B.2C.3b G N ,那么可作出的D.4的条数为〔 〕 A.1答案 1.直线 xcos +y-1=0 (G R)的倾斜角的范畴是D.180 ° - 一定是直线l 的倾斜角 答案 C3.直线l 通过A 〔 2, 1〕，B 〔 1, m 〕〔 m€ R 〕两点，那么直线l 的倾斜角的取值范畴是〔A. x+2y-6=0 C x-2y+7=0 答案 B6. 假设点A 〔 2, -3〕是直线a i x+biy+仁0和a 2X+b ?y+仁0的公共点，那么相异两点〔a i , b i 〕和〔a ?, b 2〕所确定的直线方程 是〔〕A2x-3y+仁0 B.3x-2y+仁0 C.2 x-3 y-1=0 D.3 x-2y-仁0答案 A 二、 填空题7. 〔 2018 •浙江理，11〕a > 0,假设平面内三点 A 〔 1, -a 〕，B 〔 2, a 2〕，C 〔 3, a 3〕共线，那么 a= . 答案 1+ 28. 两点A 〔-1，-5丨，B 〔 3，-2丨，假设直线I 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，那么I 的斜率是 . 答案13三、 解答题假设直线I : x+my+mF0与线段PQ 有交点，求m 的取值范畴.k AP =丄」=-2 , k AQ =—=30 1 0 2 2 13 1那么-丄＞ 3或-丄K -2 ,m 2 m又T m=0时直线x+my+m=0与线段PQ 有交点, 所求m 的取值范畴是-2 < n K 1.3 2 方法二 过P 、Q 两点的直线方程为 y-1= 2_ ( x+1),即 y=[x+4,2 13 3代入 x+my+m=0,解得-2 K m K 1.3 210. 直线I 与两坐标轴围成的三角形的面积为 〔1〕过定点A 〔-3 , 4〕；〔 2〕斜率为 丄.6解 〔1〕设直线I 的方程是y=k(x+3)+4,它在x 轴，y 轴上的截距分不是-4 -3 , 3k+4,k 由，得〔3k+4〕〔 4 +3〕=± 6, kB.2 x+y-6=0 D. x-2 y-7=09.线段PQ 两端点的坐标分不为〔-1 , 1〕、〔2, 2〕， 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A 〔 0, -1丨点. 整理，得x=-7m m 33，分不求满足以下条件的直线 I 的方程:解得 k i =- 2 或 k 2=- 8 .3 3直线I 的方程为2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.〔2〕设直线I 在y 轴上的截距为b,那么直线I 的方程是y = [x+b,它在x 轴上的截距是-6b,6 由，得卜6 b • b|=6，二 b=± 1. 直线I 的方程为x-6 y+6=0或x-6y-6=0. 11. 两点 A 〔-1，2〕，B 〔 m, 3〕.〔1〕求直线AB 的方程； 〔2〕实数m€X 3 1J3 1，求直线AB 的倾斜角 的取值范畴3解 〔1〕当m=-1时，直线AB 的方程为x=-1, 当m^-1时，直线AB 的方程为y-2=二 (x+1). m 1 〔2〕①当 m=-1 时， =_;20〕作一直线，使它夹在两直线 丨1: 2x- y-2=0与12： x+y+3=0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程.所求的直线方程为 y=8( x-3), 即 8x-y-24=0.方法二设所求的直线方程为y=k(x-3).解方法一设点 A 〔X y 〕在 l 1上,xX B3由题意知2，• ••B 〔 6-x ，yyB2解方程组2x y 2 0(6 x) ( y) 3 01116x— 0得3二 k= 38 16y11 333-y 〕，°，、3，€ ---------6 , 2综合①②知，直线 AB 的倾斜角.3 ~312.过点 P 〔3, ②当m^ -1时，n+1 €3那么y k(x 3),解得3k 2X A'、k 2 4k y Ak 22x y 20由yk(x 3)>X B解得3k 3 k 1x y 3 06ky Bk 1V P(3,0)是线段AB的中点，/. y A+y B=O,即卩4k + 6k =0,k 2 k 1/• k1 2-8k=0,解得k=0 或k=8.又*••当k=0 时，X A=1,X B=-3,现在乂竺J 3,k=0舍去，2 2所求的直线方程为y=8( x-3),即8x-y-24=0.§ 7.2两直线的位置关系----- —自主学习 --------------匕基础自测1•假如直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，那么实数a等于〔〕3 2A-3 B.-6 C.- 3 D. 22 3答案 B2.直线2x+y-2=0和m*y+1=0的夹角为—，那么m的值为〔〕4A-1或-3 B -33C-1或3D丄或-333答案C3.过点A〔-2 , m〕和B〔m, 4〕的直线与直线2x+y=1平行，那么m的值为〔〕A.0B.-8C2 D.10答案B4. 直线11: y=2x+3，直线丨2与11关于直线y=x对称，直线丨3丄丨2，那么l 3的斜率为〔〕1 1A 丄 B.-丄C-2 D.22 2答案 C5. 〔2018 •岳阳模拟丨假设直线I通过点〔a-2，-1〕和〔-a-2 ,1〕且与通过点〔-2 , 1〕，斜率为--的直线垂直，那么实312 分例 1 直线 l i ：ax+2y+6=0 和直线 l 2：x+(a-1) y+a 2-1=0,I 1〕试判定l 1与l 2是否平行；〔2〕I i 丄丨2时，求a 的值.解 〔1〕方法一 当 a=1 时，I i ： x+2y+6=0, I 2： X=0, I 1不平行于I 2； 当 a=0 时，11： y=-3, I 2： x-y-仁0, I 1不平行于I 2； 当a 工1且a 工0时，两直线可化为 I 1： y =- — x -3, I 2： y = — x -( a+1),21 aa1I 1 / I 22 1 a ，解得 a=-1,3 (a 1) 综上可知，a=-1 时，I 1/ l 2，否那么l 1与I 2不平行方法二 由 A 1B 2-A 2B 1R ，得 a 〔 a-1〕-1 x 2=0, 由 AdAe 工 0,得 a(a 2-1)-1 x 6 工 0,// I 2a(a 2 1) 4 2 0a(a 21) 1 6 0a 2 a 20 2 a =-1,a(a 21)6故当a=-1时，I" I 2，否那么I 1与12不平行.〔2〕方法一 当 a=1 时，I 1： x+2y+6=0,1 2：x=0, I 1与I 2不垂直，故a=1不成立. 11： y=- a x-3,2方法二 由 AA+BB 2=0,得 a+2(a-1)=0 a=2 .3例2求过两直线I 1：x+y+1=0, I 2：5x-y-仁0的交点，且与直线 3x+2y+1=0的夹角为的直线方程.4解 设所求直线方程为x+y+1+ (5 x- y-1)=0, 即(1+5)x+(1-)y+1-=0.4I 2： y= x -( a+1),1 a数a 的值为 . 答案-23典例剖析丄=-1 1 a2 a=. 3因为所求直线与直线 3x+2y+1=0的夹角为—,451 31 2 因此tan 5 1 11.解得=-菩 •••所求直线方程为x+5y+5=0.又直线l 2：5x-y-仁0与直线3x+2y+1=0的夹角 满足tan 1.=，故直线l 2也是符合条件的一解 4综上所述，所求直线方程为 x+5y+5=0 或 5x- y-1=0.例3 〔 12分〕直线l 过点P 〔 3，1〕且被两平行线l 1：x+y+1=0,l 2：x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l 的方程. 解方法一假设直线l 的斜率不存在，那么直线l 的方程为x=3,现在与l !,l 2的交点分不是 A 〔3，-4 丨，B 〔 3, -9 丨， 截得的线段长|AB=|-4+9|=5,符合题意.假设直线l 的斜率存在时，那么设直线I 的方程为y=k(x-3)+1, 分不与直线l 1,l 2的方程联立，由 y k(x 3) 1 x y 1 0 解得 A 3k 2 1 4k .k 1 ' k 1 由y k(x 3) 1,解得x y 6 0 由两点间的距离公式，得 3k 2 3k 7 2+ £ k 1 k 1k 3k 7 1 9k k 1 k 14k 」2=25,k 1方法二 设直线l 与11, 12分不相交于Agy", B(X 2, y 2). 那么 X 1+/1+1=0, X 2+y 2+6=0,两式相减，得(X 1-X 2)+( y 1-y 2)=5① 又(X 1-X 2) 2+( y 1-y 2)2=25 ②联立①②可得X1 X 2 5或X1 X 2 0 Jy 1 y 2 0 y 1 y 5由上可知，直线l 的倾斜角分不为 0° 和 90°，故所求的直线方程为 x=3或y=1.解得k=0,即所求直线方程为y=1. 综上可知，直线l 的方程为x=3或y=1.4分8分10 分 12 分6 分10 分例4求直线I i： y=2x+3关于直线I : y=x+1对称的直线12的方程.解方法一由y 2x 3y x 1知直线l i与I的交点坐标为〔-2 , -1丨，设直线丨2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线I上任取一点〔1，2〕，由题设知点〔1，2〕到直线丨1、丨2的距离相等，由点到直线的距离公式得|k 2 2k 1 = |2 2 3|,12 k2,22 ( 1)2解得k=l(k=2舍去)，2直线丨2的方程为x-2y=0.方法二设所求直线上一点P〔x,y〕，那么在直线I1上必存在一点R〔x o, y o〕与点P关于直线I对称.由题设：直线PP与直线I垂直，且线段PP的中点卩2存，宁在直线I上.也y?1 1 “...xo X ，变形得Xo yy y o x x o 1y o x 12 2代入直线I 1：y=2x+3,得x+1=2X (y-1)+3,整理得x-2y=o.因此所求直线方程为x-2y=o.知能迁移1. 两条直线11：(3+ m)x+4y=5-3 m I 2：2 x+(5+n) y=8.当m分不为何值时，I 1 与12：〔1〕相交？〔2〕平行？〔3〕垂直？解当m=5时，明显，11与I 2相交；当m^-5时，易得两直线I1和I2的斜率分不为k2=-k’=-它们在y轴上的截距分不为b1=^^m，b2=_J4 5 m〔1〕m^ -7 且m工-1.•••当m^ -7且m^ -1时，11与I 2相交.12 分(x >200).288xx3 m2〔2〕由 k1 k 2 , ,得45 m， m=-7 bi b 2,5 3m 84 5 m•••当 m=-7时，l 1 与 I 2平行.〔3〕由 k i k 2=-1,得3 m 得-•2 =-1 ， m=-13 45 m3• 当 m=-兰时，1 1与 1 2垂直•32. 某人在一山坡P 处观看对面山顶上的一座铁塔，如下图，塔高 BC=80〔米〕，塔所在的山高 OB=220〔米〕，OA=200〔米〕， 图中所示的山坡可视为直线 I ,且点P 在直线I 上，I 与水平地面的夹角为，tan =1 .试咨询，此人距水平地面多高时，2 观看塔的视角/ BPC 最大〔不计此人的身高〕？解 如下图，建立平面直角坐标系,那么 A 〔 200，0〕，B 〔0，220〕，C 〔 0，300〕. 直线I 的方程为y=(x-200)tan,那么y= x 200 .2设点P 的坐标为〔x, y 〕，那么P 〔x, x 200〕(x >200).2由通过两点的直线的斜率公式 x 200 k pc = —2—— xtan / BPC= kPBkPC1602xx 800 x 6402x 2x64xx 288x 160 64064 160 640300 x 800 2x k pB =□ 220 x 6401要使tan / BPC 达到最大，只需x+160 640-288达到最小，由均值不等式x x +160 640 -288 > 2 160 640 -288, x当且仅当x=16° 640时上式取得等号. x 故当x=320时，tan /BPC 最大. 这时，点P 的纵坐标y 为y= _200 =60. 2 由此实际咨询题知 0 v/ BPG _ ,因此tan / BPC 最大时，/ BPC 最大.故当此人距水平地面 60米高时，观看铁塔的视角 2/ BPC 最大. 3.三条直线11: 2x-y+a=0〔 a > 0〕,直线l 2：4x-2y-1=0和直线l 3： x+y -仁0,且l i 与12的距离是 7. 5. 10(1) 求a 的值；(2) 能否找到一点P,使得P 点同时满足以下三个条件①P 是第一象限的点；②P 点到I 1的距离是P 点到12的距离的Z ；③P 点到|12的距离与P 点到 13的距离之比是 ,2 : ..5.假设能，求P 点坐标；假设不能，讲明理由. 1解(1)1 2 即为 2x- y- =0,2「•I 1与丨2的距离a( 2)d= .22 ( 1)2 107、5 10a > 0, • • a=3. ⑵假设存在如此的P 点.设点P(X 0,y 。

B,则 O、P、A、B 四点共圆且直线 AB 的方程为 x0x+y0y=r2.
解析:①中两圆可能相内切;②中两圆可以相内切、相交、内含;③ 中若两圆相交所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线方程,若 两圆相切应为两圆公切线的方程;④设过点 P 的圆 O 的切线 l,A 为 l 上任意一点且与点 P 不重合. OP =(x0,y0), PA =(x-x0,y-y0)且
考点二 直线与圆的位置关系
【例 2】 (1)(2014 高考浙江卷)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( ) (A)-2 (B)-4 (C)-6 (D)-8 (2)(2014 高考安徽卷)过点 P(- 3 ,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共 点,则直线 l 的倾斜角的取值范围是( )
(2 3)2 r2 a2,
r 13 r 37.
∴圆的方程为(x-1)2+y2=13 或(x-5)2+(y-4)2=37.
反思归纳 (1)求圆的方程,一般采用待定系数法. ①若已知条件与圆的圆心和半径有关,可设圆的标准方程. ②若已知条件没有明确给出圆的圆心和半径,可选择圆的一般方程. (2)在求圆的方程时,常用到圆的以下几个性质: ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ②圆心在任一弦的垂直平分线上.
1 225 5
d=
=1,
12 22
故弦长为 2 r2 d 2 =2 ( 5)2 12 =4.
5.下列说法正确的序号是
.
①如果两圆只有一个交点,则两圆相外切. ②如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆一定相交. ③联立两圆方程消去 x2,y2 后得到的二元一次方程是两圆公共弦所 在直线方程. ④过圆 O:x2+y2=r2 上一点 P(x0,y0)的圆的切线方程 x0x+y0y=r2. ⑤过圆 O:x2+y2=r2 外一点 P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为 A、

专题48圆的方程最新考纲掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.基础知识融会贯通圆的定义与方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准式(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心为(a，b)半径为r一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0充要条件：D2＋E2－4F>0圆心坐标：⎝⎛⎭⎫－D2，－E2半径r＝12D2＋E2－4F【知识拓展】1．确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程．(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组．(3)解出a，b，r或D，E，F代入标准方程或一般方程．2．点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种．已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.重点难点突破【题型一】圆的方程【典型例题】一个圆经过以下三个点，且圆心在y轴上，则圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆心坐标为（0，b），半径为r，则圆的方程为x2+（y﹣b）2＝r2，则，解得，．∴圆的标准方程为．故选：D．【再练一题】方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0表示圆，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，方程x2+y2+4mx﹣2y+5m＝0变形为：（x+2m）2+（y﹣1）2＝4m2+1﹣5m，若其表示圆，则有4m2+1﹣5m＞0，解可得：m或m＞1，即实数m的取值范围为（﹣∞，）∪（1，+∞）；故选：C．思维升华(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【题型二】与圆有关的最值问题【典型例题】已知方程，则x2+y2的最小值是．【解答】解；根据题意，方程，其几何意义为以点（﹣1，0）为圆心，半径r的圆，设t，则t的几何意义为圆上一点到坐标原点的距离，则有1t≤1，即t，即t的最小值为，则x2+y2的最小值是；故答案为：【再练一题】在平面直角坐标系xOy中，过圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1上任一点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，则当线段PQ长最小时，k＝．【解答】解：根据题意，圆C1：（x﹣k）2+（y+k﹣4）2＝1的圆心为（k，4﹣k），半径r＝1，则圆心在直线y＝﹣x+4上，点P为圆C1上任意一点，过点P作圆C2：x2+y2＝1的一条切线，切点为Q，当C1C2的连线与直线y＝﹣x+4垂直时，线段PQ长最小，此时有1，解可得：k＝2；故答案为：2．思维升华 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．(2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －bx －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x －a )2＋(y －b )2型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．【题型三】与圆有关的轨迹问题【典型例题】设P 为椭圆C ：1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，则动点Q 的轨迹方程为（ ） A ．（x ﹣2）2+y 2＝28 B ．（x +2）2+y 2＝7C ．（x +2）2+y 2＝28D ．（x ﹣2）2+y 2＝7【解答】解：∵P 为椭圆C ：1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝2，|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|+|PQ |＝|F 1Q |＝2，∴Q 的轨迹是以F 1（﹣2，0）为圆心，2为半径的圆，∴动点Q 的轨迹方程为（x +2）2+y 2＝28． 故选：C ．【再练一题】设定点F （1，0），动圆D 过点F 且与直线x ＝﹣1相切．则动圆圆心D 的轨迹方程为（ ） A ．x 2＝4yB ．x 2＝2yC ．y 2＝4xD ．y 2＝2x【解答】解：因为动圆C 过定点F （1，0），且与定直线l ：x ＝﹣1相切，所以由抛物线定义知：圆心C 的轨迹是以定点F （1，0）为焦点，定直线l ：x ＝﹣1为准线的抛物线，所以圆心P 的轨迹方程E 为：y 2＝4x ； 故选：C ．思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．基础知识训练1．【西安市2019届高三年级第一次质量检测】若直线l ：1ax by +=与圆C ：221x y +=无交点，则点(,)P b a 与圆C 的位置关系是（ ） A ．点在圆上 B ．点在圆外 C ．点在圆内 D ．不能确定【答案】C 【解析】直线l ：1ax by +=与圆C ：221x y +=221a b>+，即221a b +<，∴点(),P b a 在圆C 内部. 故应选C.2．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试】圆22430x y x +-+=关于直线3y x =对称的圆的方程是（ ） A ．(()22311x y -+-=B ．()2221x y +-= C ．()2211x y +-= D ．()(22131x y -+-=【答案】D 【解析】由题意得，圆22430x y x +-+=方程即为()2221x y -+=，∴圆心坐标为()2,0，半径为1． 设圆心()2,0关于直线y x =的对称点的坐标为(),a b ，则1232232b a b a ⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴所求圆的圆心坐标为(， ∴所求圆的方程为()(2211x y -+=．故选D ．3．【广东省2019年一月普通高中学业水平考试】已知圆C 与y 轴相切于点()0,5，半径为5，则圆C 的标准方程是( ) A ．()()225525x y -+-= B ．()()225525x y ++-=C ．()()22555x y -+-=或()()22555x y ++-= D ．()()225525x y -+-=或()()225525x y ++-= 【答案】D 【解析】由题意得圆C 的圆心为()5,5或()5,5-，故圆C 的标准方程为()()22x 5y 525-+-=或()()22x 5y 525++-=.故选D.4．【四川省攀枝花市2019届高三下学期第三次统考】直线l 是圆224x y +=在(-处的切线，点P 是圆22430x x y -++=上的动点，则点P 到直线l 的距离的最小值等于（ ）A ．1 BCD ．2【答案】D【解析】圆224x y +=在点(1,3)-处的切线为:34l x y -+=，即:340l x y -+-=， 点P 是圆22(2)1x y -+=上的动点， 圆心(2,0)到直线:340l x y -+=的距离313d ==+，∴点P 到直线l 的距离的最小值等于1312d -=-=．故选：D ． 5．【北京市房山区2019届高三上学期期末考试】已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C 【解析】设M （x ，y ），P （a ，b ） 由B （6，0），M 是AP 的中点 故有a ＝2x ﹣6，b ＝2y 又P 为圆上一动点，∴（2x ﹣6）2+（2y-4）2＝4， 整理得（x ﹣3）2+＝1．故AP 的中点M 的轨迹方程是（x ﹣3）2+＝1．△为坐标原点）为直角三角形，若，以OA 为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为,故两圆相交，故M 有两个；若，x=4与圆（x ﹣3）2+＝1相切,这样的M 点有一个;若，这样的M 点不存在，故使△为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个 故选：C.6．【闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，分别过A B 、作准线的垂线，垂足分别为A B ''、两点，以线段A B ''为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)5x y ++-= B ．22(1)(1)17x y +++= C ．22(1)(2)26x y +++= D ．22(1)(2)2x y ++-=【答案】A 【解析】由抛物线方程可知：()1,0F ，准线方程为：1x =-设直线AB 方程为：1x my =+，代入抛物线方程得：2440y my --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y = 又()11,A y '-，()21,B y '-，C 在圆上 0A C B C ''∴⋅=即()()()()1211330y y -⨯-+--= ()12121030y y y y ⇒-++= 即101240m -+= 12m ⇒=∴圆心坐标为：()1,2m -，即()1,1-=∴圆的方程为：()()22115x y ++-=本题正确选项：A7．【湖北省十堰市2019届高三年级元月调研考试】已知圆M ：16)6()6(22=-+-y x ，点(8,4)A ，过点A 的动直线与圆M 交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为,N O 为坐标原点，则OMN ∆面积的最大值为（ ）A ．12B ．6C ．D ．【答案】A 【解析】由题可知MN PQ ⊥，所以点N 在以线段AM 为直径的圆上，OMN ∆的边OM =N 到直线OM 的距离最大时，OMN ∆的面积最大，以线段AM 为直径的圆的圆心为()7,5，半径为2，直线OM 的方程为0x y -=， 点()7,5到直线OM 的距离为22=，所以N 到直线OM 的距离的最大值为22， 故OMN ∆的面积的最大值为16222122⨯⨯=. 8．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】过双曲线的右支上一点分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A 【解析】 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为，设双曲线的左右焦点为，连接，可得．当且仅当为右顶点时，取得等号， 即最小值5． 故选：．9．【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月)】已知点，点是圆上的动点，则面积的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】如图所示，由几何图形易知点M 的坐标为有最小值，其面积为：.故选：A .10．【江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考】阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A 、B 间的距离为2,动点P 满足2PA PB=当P 、A 、B 不共线时，三角形PAB 面积的最大值是（ ）A ．12x xB ．2C ．22D ．2 【答案】 A 【解析】以经过,A B 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系；则：A(-1,0), B(1,0) 设P(x, y),2222(1)||2,2||(1)x y PA PB x y++=∴=-+ ， 两边平方并整理得：2222610(3)8x y x x y +-+=⇒-+= ， 当点P 到AB （x 轴）的距离最大时，三角形PAB 的面积最大， 此时面积为1222222⨯⨯= 故选：A11．【山西省运城中学、芮城中学2018-2019学年高二上学期期中联考】已知圆，圆分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为 A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由圆，圆，可知圆圆心为，半经为1，如图， 圆圆心为，半经为2，圆关于直线的对称圆为圆，连结，交，则为满足使最小的点，此时点为与圆的交点关于直线对称的点，与圆的交点，最小值为，而，的最小值为，故选A.12．【安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0,1)，(0,3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线(0)y kx k =>关于y 轴对称，则k 的最小值为（ ）A ．23B ．3C ．23D ．43【答案】D 【解析】圆C 经过()()0,1,0,3，∴圆心在()()0,1,0,3的垂直平分线2y =上，又圆C 与x 轴正半轴相切，∴圆的半径为2，设圆心坐标为()00,2,0x x >， 由()220234x +-=得03x ，∴圆心坐标为)3,2，设OM 的斜率为0k ，因为0k >，所以00k <， 当0k 最大时k 最小，设0:OM y k x =（00k <），由图可知当0y k x =与圆相切时0k 最大，2=，解得0k =-k = 即k的最小值为 D.13．【湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2018-2019学年高一下学期期中】已知圆C ：x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0，过点P （1，﹣1）可作圆的两条切线，则实数k 的取值范围是_____．【答案】10,33⎛⎫⎛--⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】解：因为方程x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0表示一个圆， 所以222240k k +->，解得：33k -<<∵过点P （1，﹣1）可作圆C ：x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0的两条切线， ∴P （1，﹣1）在圆的外部， 则12+（﹣1）2+k ﹣2+k 2＞0， 即k 2+k ＞0，解得k ＜﹣1或k ＞0．由10k k k ⎧<<⎪⎨⎪⎩＜﹣或＞1k <<-或0k << ∴实数k的取值范围是1⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭故答案为：1⎛⎫⎛-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭14．【新疆乌鲁木齐市第七十中学2018-2019学年高一下学期期末】已知圆C 经过点(1,3),(2,2)A B ，并且直线:320m x y -=平分圆C ，则圆C 的方程为________________.【答案】22(2)(3)1x y -+-= 【解析】由题意，线段AB 的垂直平分线方程为：5322y x -=-，即10x y -+= ，联立10320x y x y -+=⎧⎨-=⎩解得23x y =⎧⎨=⎩则圆心C 为(2,3)，圆C 的半径22(21)(33)1r =-+-= 故所求圆的方程为22(2)(3)1x y -+-=15．【湖北省沙市中学2018-2019学年高二上学期期末考试】已知点在圆上运动，则的最小值为___________．【答案】1 【解析】 ∵点在椭圆上运动，，则，当且仅当时，取等号，即所求的最小值为.16．【江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：224x y +=和点M (1，0) ．若在圆O 上存在点A ，在圆C ：222537()((0)2x y r r -+=>上存在点B ，使得△MAB 为等边三角形，则r 的最大值为____． 【答案】8 【解析】圆()2227:02C x y r r ⎛⎛⎫-+=> ⎪ ⎝⎭⎝⎭7,22C ⎛⇒- ⎝⎭ 由题意可知：13MA ≤≤，5MC == 又55r MB r -≤≤+且MA MB =若r 最大，则MA 需取最大值3，且M 在圆C 内部 可得()2,0A -，又MA 与MB 成角为60设(),B x y ，则直线MB所在直线方程为：)1y x =- 又9MB ==解得：122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或522x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（舍）12B ⎛⇒- ⎝⎭时r 取最大值max8r ⇒=== 本题正确结果：817．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试】已知抛物线2:4C x y = ，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA,MB ，切点分别为A,B. （1）当M 的坐标为(0,-1)时，求过M,A,B 三点的圆的方程； （2）证明：以AB 为直径的圆恒过点M. 【答案】（1）22(1)4x y +-=（2）见证明 【解析】解：（1）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1)令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得A(2,1),B(-2,1).设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=．（2）证明：设0(,1)M x -，由已知得24x y =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12MA x k =，22MB xk =， 切线MA 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线MB 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-． 又因为切线MA 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线MB 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得1202,x x x +=124x x =-．因为2110(,1)4x MA x x =-+，2220(,1)4x MB x x =-+，所以22121020()()(1)(1)44x x MA MB x x x x ⋅=--+++22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. 所以以AB 为直径的圆恒过点M ．18．【北京市昌平区2018-2019学年高一年级第二学期期末】已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(1,0)A -，(1,2)B ．（Ⅰ）求线段AB 的垂直平分线方程；（Ⅱ）求圆C 的标准方程；（Ⅲ）过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M 、N 两点，且||MN =l 的方程． 【答案】（Ⅰ）1y x =-+；（Ⅱ）22(1)4x y -+=；（Ⅲ）0x =或3480x y +-=. 【解析】解：（Ⅰ） 设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-. 所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =-+.(II ) 设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为r （0r >）.由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =． 所以 圆心(1,0)C ，||2r CA ==，所以 圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．(III ) 由(I )设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==圆心C 到直线的距离||1d CF ===.(1) 当l 的斜率不存在时，:0l x =，此时||1CF =，符合题意. (2) 当l 的斜率存在时，设:2l y kx =+，即20kx y -+=， 由题意得1d ==，解得：34k =-．故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=． 综上直线l 的方程0x =或3480x y +-=．19．【贵州省凯里市第一中学2018-2019学年高一下学期期中考试】平面直角坐标系中，已知点A （2,1），B （1,3），动点P （x,y ）满足PA =.（Ⅰ）求P 的轨迹方程并指出它是什么曲线；（Ⅱ）过A 点的直线l 与P 的轨迹有且只有一个公共点，求直线l 的方程．【答案】（I ）22(5)10x y +-=，以点(0,5)为圆心，10为半径的圆；（II ）350x y --=和350x y +-= 【解析】（I ）由已知得2222(2)(1)2(1)(3)x y x y -+-=⨯-+- 化简得2210150x y y +-+=， 整理得22(5)10x y +-= 它是一个以点(0,5)为圆心，10为半径的圆. （II ）A 在圆外，则l 与圆相切，且斜率存在，设其方程为：1(2)y k x -=-整理得120kx y k -+-= 圆心(0,5)到直线l 的距离242101k d k --==+，解得13k =-或3故l 的方程为：350x y --=和350x y +-=20．【湖南省2019年普通高中学业水平考试仿真试卷（四)】如图，已知圆O 的方程为222x y +=，M 是直线2x =-上的任意一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别是P ，Q ，线段PQ 的中点为N .（1）当点M 运动到x 轴上时，求出点P ，Q 的坐标；（2）当点M 在x 轴上方运动且60PMQ ∠=︒时，求直线PQ 的方程； （3）求证：2OM ON OP ⋅=，并求点N 的轨迹方程.【答案】（1）(1,1)-，(1,1)--；（2）10x y -+=；（3）证明见解析，220(0)x y x x ++=≠. 【解析】（1）当M 运动到x 轴上时：2OP =2OM =由OP MP ⊥得：2MP OP ==∴直线PQ 垂直平分线段OM ∴则点,P Q 的横坐标为1-又,P Q 在圆222x y +=上可知点P 的坐标为()1,1-，点Q 的坐标为()1,1-- （2）连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上 设M 的坐标为()()2,0m m ->60PMQ ∠= 30OMP ∴∠=，则：2OM OP ===2m =，即()2,2M -∴直线OM 的斜率为1-，又OP OQ =，MP MQ =PQ OM ∴⊥，则直线PQ 的斜率为1设直线PQ 的方程为：y x b =+，又30OMP ∠=60POM ∴∠=，122ON OP ==即点()0,0O 到直线PQ 的距离为22=1b =或1b =-（舍去） ∴直线PQ 的方程为：10x y -+=（3）设点N 的坐标为()(),0x y x <，M 的坐标为()2,n - 连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上由（2）知PQ OM ⊥，又OP MP ⊥，可知：PNO MPO ∆∆即OP ONOM OP=，即：2OM ON OP ⋅=2=……① 又//OM ON ，则2nx y =-，即：()20yn x x=-≠……② 将②代入①，得22x y x +=0x <化简得点N 的轨迹方程为：()2200x y x x ++=≠21．【河北省邢台市2018-2019学年高一下学期第三次月考】已知圆222()():M x a y a r ++-=的圆心M 在直线y x =上，且直线34150x y +-=与圆M 相切.（1）求圆M 的方程；（2）设圆M 与x 轴交于,A B 两点，点P 在圆M 内，且2||||||PM PA PB =⋅.记直线PA ，PB的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的取值范围. 【答案】（1）229x y +=（2）(1,0]- 【解析】解：（1）因为圆M 的圆心(,)M a a -在直线y x =上，所以a a -=，即0a =， 因为直线34150x y +-=与圆M 相切，所以3r ==，故圆M 的方程为229x y +=.（2）由（1）知，圆心(0,0)M ，(3,0)A -，(3,0)B . 设(,)P x y ，因为点P 在圆M 内，所以229x y +<.因为2||||||PM PA PB =⋅，所以22x y +=， 所以22229x y -=.因为直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，所以13y k x =+，23yk x =-， 则221222229919218218y x k k x x x -===+---. 因为22222299x y x y ⎧-=⎨+<⎩，所以292724x ≤<， 所以221192189x -<≤--，则29110218x -<+≤-. 故12k k 的取值范围为(1,0]-.22．【福建省三明市第一中学2018-2019学年高一下学期学段考试（期中)】已知以点(3,4)C 为圆心的圆C 被直线l ：34200x y +-=截得的弦长为（1）求圆C 的标准方程；（2）求过(0,2)A 与圆C 相切的直线方程；（3）若Q 是x 轴的动点，QR ，QS 分别切圆C 于R ，S 两点.试问：直线RS 是否恒过定点？若是，求出恒过点坐标；若不是，说明理由. 【答案】（1）22(3)(4)4x y -+-=；（2）2y =或1225y x =+；（3）见解析 【解析】（1）圆心(3,4)C1=，设圆的半径为R ，则2214R =+=，圆C 为22(3)(4)4x y -+-=. （2）设过点(0,2)的切线方程为2y kx =+，即20kx y -+=， 圆心(3,4)C 到直线20kx y -+=2=，解得0k =或125， 所以过点(0,2)的切线方程为2y =或1225y x =+； （3）由题意2CSQ CRQ π∠=∠=，则R ，S 在以QC 为直径的圆上，设(,0)Q a ，则以QC 为直径的圆的方程：2223(3)16(2)24a a x y +-+-+-=. 即22(3)430x y a x y a +-+-+=， 与圆C ：2268210x y x y +--+=， 联立得：(3)34210a x x y --++-=，令3034210x x y -=⎧⎨+-=⎩得，33x y =⎧⎨=⎩，故无论a 取何值时，直线RS 恒过定点(3,3).能力提升训练1．【江苏省扬州市扬州中学2018—2019学年度高一第二学期期末检测】在平面直角坐标系xOy 中，点P 在圆22:(8)16C x y 上运动，(6,0),(6,1),A B 则2PB PA +的最小值为（ ） A ．37 B ．6C ．4+5D ．11+22【答案】A 【解析】P 为圆C 上任意一点，圆的圆心()8,0C ，半径4r =，如下图所示，4PC =，8OC =，2AC = 12AC PC PC OC ∴== PAC OPC ∴∆∆12PA OP ∴=，即2OP PA = 2PB PA PB OP ∴+=+ 又PB OP OB +≥（当且仅当P 为线段OB 与圆C 的交点时取等号）2226137PB PA OB ∴+≥=+=，即2PB PA +的最小值为37本题正确选项：A2．【浙江省嘉兴市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】是边长为2的等边三角形，是边上的动点，，则的最小值是（ ）A ．1B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 因为，所以的轨迹是以为直径的圆，设为直径的,连接，根据圆的几何性质可得为所求，是直径，，，最小值，故选C.3．【河南省名校联考2019届高三联考（四)】已知抛物线1C ：22(0)y px p =>与圆2C ：2212110x y x +-+=交于A ，B ，C ，D 四点.若BC x ⊥轴，且线段BC 恰为圆2C 的一条直径，则点A 的横坐标为（ ） A ．116B ．3C ．113D ．6【答案】A 【解析】圆2C ：2212110x y x +-+=可化为()22265x y -+=，故圆心为()6,0，半径为5，由于BC ⊥ x 轴和线段BC 恰为圆2C 的一条直径，故()()6,5,6,5B C -.将B 点坐标代入抛物线方程得2512p =，故2512p =，抛物线方程为2256y x =.设26,25a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由于BC 是圆的直径，所对圆周角为直角，即AC AB ⊥,也即0AC AB ⋅=，所以22666,56,502525a a a a ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得42364711062525a a -+=，解得227536a =，故A 点横坐标为266275112525366a =⨯=.故选A.4．已知点为直线上的一点，分别为圆与圆上的点,则的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C 【解析】 求得关于直线的对称点为，解得，由对称性可得，则，由于，，的最大值为，故选C.5．【河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二)】点在曲线上运动，，且的最大值为，若，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，可以看作点到点的距离的平方，圆上一点的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，所以直线的方程为，由，解得（舍去），∴当时，取得最大值，且，∴，∴，∴，当且仅当，且，即时等号成立．故选A．6．【四川省宜宾县第二中学校2018届高三高考适应性考试】若动点在直线上，动点Q在直线上，记线段的中点为，且，则的取值范围为________.【答案】【解析】因为动点在直线上，动点Q在直线上，直线与直线狐仙平行，动点在直线上，动点在直线上，所以的中点在与平行，且到的距离相等的直线上，设该直线为，其方程为，因为线段的中点为，且，点在圆的内部或在圆上，设直线角圆于，可得点在线段上运动，因为表示的几何意义为线段上的点到原点的距离的平方，所以原点到直线的距离的平方为最小，所以的最小值为为最大，联立，解得，当重合时，的最大值为，即的最大值为，所以的取值范围是.7．【重庆市巴蜀中学2019届高三适应性月考（七)】已知圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=，直线AM 与圆C 相切于点M ，若点A 的坐标(,)a b ，且点A 满足AM AO =（其中点O 为坐标原点），则32a b +=______．【答案】3 【解析】根据题意，圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=，其圆心为(2,3)，半径1r =，直线AM 与圆C 相切于点M ，则22222(2)(3)1AMAC r a b =-=-+--，222AO a b =+，若AM AO =，则2222(2)(3)1a b a b -+--=+，变形可得：46120a b --+=，则有332a b +=； 故答案为：3．8．【江苏省扬州市2018-2019学年度高二第一学期期末调研测试】已知圆()22:16C x y +-=，AB 为圆C 上的两个动点，且22AB =G 为弦AB 的中点.直线:20l x y --=上有两个动点PQ ，且2PQ =.当AB 在圆C 上运动时， PGQ ∠恒为锐角，则线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为________． 【答案】(,0)(3,)-∞+∞【解析】圆()22:16C x y +-=6,22,AB G =为弦AB 的中点，2CG ∴=，G 的轨迹是以C 为圆心，以2为半径的圆，设PQ 中点为(),2M a a -，2PQ ∴=，且当AB 在圆C 上运动时，PGQ ∠恒为锐角，则以C 为圆心以2为半径的圆与以M 为圆心以1为半径的圆外离， ()2233a a +->，即230a a ->，解得0a <或3a >，∴线段PQ 中点M 的横坐标取值范围为()(),03,-∞+∞，故答案为()(),03,-∞+∞.9．【河北省磁县滏滨中学2017-2018学年高二下学期期末考试】若直线l ：与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于B ，被圆截得的弦长为4，则为坐标原点的最小值为______．【答案】【解析】 由题意可得的圆心为（-1，2），半径为2,而截得弦长为4，所以直线过圆心得，又，所以当且仅当时等号成立。

高考数学（浙江专用）
9.2 圆的方程
考点清单
考向基础
考点 圆的方程
1.圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆.定点就是圆心, 定长就是半径. 2.圆的标准方程 圆心为(a,b),半径为r(r>0)的圆的方程为① (x-a)2+(y-b)2=r2 . 3.圆的一般方程 已知二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.
求圆的方程时,如果由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐 标列方程,常选用标准方程;如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关 系,那么常选用一般方程. 4.求圆的方程时常用到的圆的几个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂线上; (3)两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线.
例 已知点A是直角三角形ABC的直角顶点,且A(2a,2),B(-4,a),C(2a+2, 2),则△ABC外接圆的方程是 ( ) A.x2+(y-3)2=5 B.x2+(y+3)2=5 C.(x-3)2+y2=5 D.(x+3)2+y2=5
解析 解法一:由题意,得2a=-4,∴a=-2,
∴△ABC外接圆的半径为 BC =
[4 (2)]2 (2 2)2
=
5 ,圆心为(-3,0),
2
2
∴△ABC外接圆的方程为(x+3)2+y2=5,故选D.
解法二:由题意,得2a=-4,∴a=-2,
则A(-4,2),B(-4,-2),C(-2,2),
设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),