一、 简
单随机抽样
1、在简单随机抽样中，试证明比估计R y 是总体均值Y 的渐近无偏估计，并求其方差。
证明：X R Y = X x
y
X R Y y R =
==∧
∧
()
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨
⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2
2
11X X x o X X x X X
x X y E X X X x X y
E X X x y E y E R
由于0−→−
-P
X x 即0→-X X
x 所以()()
Y y E X y E X y E R ==⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛= 得证。 由于0−→−
-P
X x 即0→-X
X
x 所以()
()()
2
22
21Z R
S n f x R y Var x R y E X x R y E X y Var -=-=-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-= 其中：RX Y Z -=故
()
()()(
)[]()
2
222
1
2111X
XY Y N
i i i R
S R RS S
n
f
X R Y RX Y N n f y Var +--=-----=∑= 2、对于简单随机抽样，总体均值Y 的回归估计量定义为：()lr y y X x β=+-，如β为常数(记为
0β)，证明
证明：
3、在简单随机抽样中，已知变量总体均值Y 的回归估计量定义为)(x X y y lr -+=β，若β为常数（记为0β），且有Y y E lr =)(, 求证：（1）)2(1)(02
202xy x y lr S S S n
f y V ββ-+-=
（2）使)(lr y V 最小的0β为x
y x
xy S S S
S ρ
β==
20；其中y
x xy S S S =
ρ.
证明：（1）[]∑=--+--=N i i
i lr Y X X Y N n f y V 1
2
0)(111)(β （2）求)(lr y V 对0β的偏导数：
将0β的值代入)(lr y V ，验证其最小值存在，此时
4、研究某小区家庭用于文化方面（报刊、电视、网络、书籍等）的支出，N=200，现抽取一个容量为20的样本，调查结果列于下表：
编号 文化支出 编号 文化支出 1 200 11 150 2 150 12 160 3 170 13 180 4 150 14 130 5 160 15 100 6 130 16 180 7 140 17 100 8 100 18 180 9 110 19 170 10
240
20
120
估计该小区平均的文化支出Y ,并给出置信水平95%的置信区间。 解析：由已知得：200=N 20=n
根据表中数据计算得：5.14420120
1
==∑=i i y y
因此该小区平均文化支出Y 的95%置信区间为：])(y [2
y V z α±即是：[ ,]，故估计该小
区平均的文化支出Y =,置信水平95%的置信区间为[ ,]。
5、某地区对本地100家化肥生产企业的尿素产量进行调查，一直去年的总产量为2135吨，抽取10个企业调查今年的产量，得到25=y ，这些企业去年的平均产量为22=x 。试估计今年该地区化肥总产量。
解析：由题可知22x =，
35.211002135===
N X X ,25y =
则，该地区化肥产量均值Y 的比率估计量为
26
.242425
35.21===∧
x y X
Y
该地区化肥产量总值Y 的比率估计量为 242626.24*100ˆˆ===R Y N Y 所以，今年该地区化肥总产量的估计值为2426吨。
二、 分层随机抽样
6、在分层随机抽样的分别比估计中：（1）试证明Y y E RS =)(；（2）求出其方差。
（1） 证明：根据题意： ∑∑∑======L
h h
h h L h h h h L
h h h h
h RS R E X W X R W E X x y W E y E 111)ˆ()ˆ()()(Θ 又h h h X Y R E =
)ˆ(ΘY Y W X Y E X W h L
h h L h h h
h h ===∴∑∑==1
1)(上式 综上可得：Y y E RS =)( （2） 解：由第一问可知)ˆ()ˆ()(1
21
h
h L
h h L h h h h RS X R V W X R W V y V ∑∑==== 而
)2(1)()ˆ(222x yx y S R RS S n
f y V X R V +--==)2(1)(22212xh h yxh h yh h h L
h h RS S R S R S n f W y V +--⋅=∴∑= 8、调查某地区居民的奶制品年消费支出，以居民户为抽样单元，根据经济及收入水平将居民户划分为4层，每层按简单随机抽样抽取10户，调查后各层样本户的奶制品年消费支出的中间结果如下表所示：
请估计该地区居民奶制品的年消费总支出及其95%的置信区间。 解析：根据表中的数据可得4
_
^
1
209650()st h h h Y N y ===∑元；
估计量方差^()st V Y 的无偏估计为^
281
()()/ 5.38610L
st h h h h h h v Y N N n s n ==-≈⨯∑，
23207.6()≈≈元。
