二元与多元函数的极值问题
§1. 二次型及其有定性的检验 有关二次型的基本概念：
含有n 个变量12,,,n x x x 的二次齐次多项式
()1211
,,,n n
n ij i j i j f x x x a x x ===∑∑
其中(),1,2,ij ji a a i j n == ，称为一个n 元二次型，简称二次型。
当(),1,2,ij a i j n = 为实数时，()12,,,n f x x x 称为实二次型。在这里，我们仅研究实二次型。
二次型可以用矩阵形式表示。实际上，二次型可以写成
()2121111212112
21212222221122,,, n n n n n n n n n nn n
f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x =++++
++++
+
+++ (
)()()11221
1
1
1121
121111212112 ,,, ,,,n
n
n
j j j j n nj j
j j j n j j j n j j j n n nj j j n n x a x x a x x a x a x a x x x x a x a a a a a x x x =======+++⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
=∑∑∑∑∑∑ 122221
2 n n n nn n x a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
如果记
11112121
22221
2
, n n n n n nn n x a a a a a a x
A X R a a a x ⎛⎫
⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪ ⎪==∈ ⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
其中(),1,2,ij ji a a i j n == ，则二次型可写成
()12,,,T n f x x x X AX = （其中T A A =）
其中A 成为二次型()12,,,n f x x x 的矩阵。
由上面的分析可知，由二次型可得到唯一的n 阶实对称矩阵A ，A 就是该二次型的矩阵；反之，如果给定一个n 阶实对称矩阵A ，就可以唯一确定一个n 元二次型T
X AX ，该二次型的矩阵就是A 。即n 元二次型与n 阶实对称矩阵之间有一一对应的关系。 二次型和对称矩阵的有定性：
设实二次型()()
12,,,T T
n f x x x X AX A A == ，如果对于任意的
()12,,,0T
n X x x x =≠ ，有
()12,,,0T n f x x x X AX =>
则称该二次型为正定二次型。矩阵A 称为正定矩阵。
我们已经知道了什么是正定二次型，下面我们将进一步讨论二次型正定的判定方法。要检验一个n 元二次型的正定性，我们先来考察一个仅含有两个变量12,x x 的二次型的正定性的判定。
对于两个变量的情况，确定行列式()2
2
121111212222,2f x x a x a x x a x =++的符号是相对
容易的。我们采用配方的方法，如下所示：
()22
121111212222
222
222
1212111
121222222
1111
22
222121************
21111112
1211111211,2 22 f x x a x a x x a x a a a x a x x x a x x a a a a a a x x x x a x a a a a a a x x a =++=+++-⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭2
2
22122
11a a x a - 这时我们可以确定符号了。根据上式：当且仅当110a >且2
1122120a a a ->时，
()12,f x x 为正定二次型。
在这里，我们进一步讲上述结果写成行列式的形式，即当且仅当110a >且
1112
2122
0a a a a >时，()12,f x x 为正定二次型。我们注意到，这里
1112
2122
a a a a 恰好是()
12,f x x 所对应的是对称矩阵A 的行列式，而11a 则是
11
12
2122
a a a a 的一阶主子式。我们现在可以猜想，
矩阵A 的行列式全都大于零就二次型正定的条件。为了证实这个猜想，我们再来看看含有三个变量的二次型的正定性的判定，同样，我们采用配方的方法。
()2123111121213132
21212222323231313232333
2
2
13112312
112212111232111111,, f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a a a a a a a a x x x x a a a =+++
+++++⎛⎫--=++++ ⎪⎝⎭2
121332
112212222
2
1122331123221333121213233
2
112212
2 a a x a a a a a a a a a a a a a a a x a a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
---++-
容易知道，11110a a =>，
1112
2
1122122122
0a a a a a a a =->，
111213
222
21
222311223311232213331212132331
32
33
20a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =---+> 这进一步证实了我们的猜想。我们把上述结果推广到n 元二次型的情况，我们可以这样表述：
()1211
,,,n n
T n ij i j i j f x x x a x x X AX ====∑∑
正定的充分条件为A 的所有主子式，即111A a =，
11
12
22122
a a A a a =， ，11
121212221
2n n n n n nn
a a a a a a A a a a =
均为正。类似的，我们可以用上述方法得到负定的充要条件为A
的所有奇数主子式为负，所有偶数主子式为正，即()10n
n A ->。
