北师大九年级上6.3反比例函数的应用课件6.3 反比例函数的应用

1 第六章

反比例函数

第5讲

反比例函数图象、性质及应用

一．知识梳理

知识点1 反比例函数的定义与表达式：

（1）一般地，形如xky（k为常数，0k）的函数称为反比例函数

（2）反比例函数有三种表达式：

①xky（0k） ②1kxy（0k） ③kyx（定值）（0k）

知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数xky（0k）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式.

知识点3 反比例函数的图像及画法

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴.

反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线.

在作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交.

知识点4 反比例函数的性质

☆关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

反比例函数 xky（0k）

k的符号 0k 0k

图像

性质 ①x的取值范围是0x，y的取值范围是0y ①x的取值范围是0x，y的取值范围是0y

2 ②当0k时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.

②当0k时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大.

注意：描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内……”否则，笼统地说，当0k时，y随x的增大而减小，就会与事实不符的矛盾.

1 3 反比例函数的应用

知识点 1 反比例函数在物理学中的应用

1．受到压力为F(牛)(F为常数，F＞0)的物体，所受的压强p(帕)与受力面积S(米2)的函数表达式为p＝FS，则这个函数的图象为图6－3－1中的(

)

图6－3－1

2．教材“做一做”变式题蓄电池的电压为定值．使用此电源时，电流I(A)是电阻R(Ω)的反比例函数，其图象如图6－3－2所示．

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)当R＝10 Ω时，电流可能是4 A吗？为什么？

图6－3－2

知识点 2 反比例函数在实际问题中的应用

3．已知矩形的面积为36 cm2，相邻的两条边长分别为x cm和y cm，则y与x之间的函数图象大致是( ) 2

图6－3－3

图6－3－4

4．如图6－3－4是某蔬菜大棚恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(时)变化的函数图象，其中BC段是反比例函数图象的一部分，则当x＝20时，大棚内的温度约为________℃.

5．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t(h)与行驶速度v(km/h)满足函数关系：t＝kv，其图象为如图6－3－5所示的一段曲线，且端点为A(40，1)和B(m，0.5)．

(1)求k和m的值；

(2)若行驶速度不得超过60 km/h，则汽车通过该路段最少需要多少时间？

图6－3－5

知识点 3 反比例函数与一次函数的综合应用

第六章 反比例函数

6.3 反比例函数的应用

1．经历分析实际问题中两个变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识．

2．能用反比例函数解决简单实际问题，进一步体会数形结合的思想．(重点)

阅读教材P158～159，完成下列内容：

(一)知识探究

反比例函数表达式的求法：设出反比例函数的表达式________，把反比例函数图象上的一个点的坐标代入，得关于k的方程，解方程求出k值，把k的值代入，即得反比例函数的表达式．

(二)自学反馈

1．长方形地下室的体积V一定，那么底面积S与深度h是________关系；表达式是________．

2．运货物的路程s一定，那么运货物的速度v与时间t是________关系；表达式是________．

3．电学知识告诉我们，用电器的输出功率P、两端的电压U和电器的电阻R有如下关系：PR＝U2.这个关系式还可以写成P＝________，或R＝________.

活动1 小组讨论

例1 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么

(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？

(2)当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？

(3)如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要多大？

(4)在直角坐标系中，画出相应的函数图象．

(5)请利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴交流．

解：(1)p＝600S(S>0)，P是S的反比例函数．

(2)p＝3 000 Pa.

(3)至少0.1 m2.

(4)提示：只需在第一象限作出函数的图象．因为S>0.

(5)问题(2)：已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；问题(3)：已知图象上点的纵坐标不大于6 000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围．实际上这些点都在直线p＝6 000下方的图象上．

6.1反比例函数-2024-2025学年九年级上册数学(北师大版)

一、教学内容

本节课选自北师大版数学九年级上册第6章“函数及其表示方法”中的6.1节“反比例函数”。教学内容主要包括以下方面：

1. 反比例函数的定义：形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。

2. 反比例函数的性质：当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大；函数图像在第一、三象限。

3. 反比例函数的图像：图像是一条经过原点的曲线，称为双曲线。

4. 反比例函数的图像变换：通过对反比例函数进行平移、伸缩等变换，分析图像变化规律。

5. 反比例函数在实际问题中的应用：结合实际情境，求解相关函数问题。

二、核心素养目标

1. 培养学生运用数学语言描述反比例函数的概念及其性质，提高数学表达与交流能力。

2. 培养学生通过观察、分析反比例函数图像，抽象出反比例函数的性质，增强直观想象与数学抽象素养。

3. 培养学生运用反比例函数解决实际问题，提升数学建模与逻辑推理能力。

4. 引导学生通过小组合作、讨论交流，培养团队合作意识和问题解决能力，提高数学问题解决的核心素养。

5. 激发学生对数学学科的兴趣，培养他们勇于探究、积极思考的学习态度，增强数学学科素养。

三、教学难点与重点

1. 教学重点

- 反比例函数的定义：理解y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，这是本节课的基础，需要学生熟练掌握。

- 反比例函数的性质：掌握反比例函数在不同象限的变化规律，以及图像的双曲线特点。

- 反比例函数图像的绘制：学会绘制反比例函数图像，了解其与坐标轴的关系。

- 反比例函数的应用：能够运用反比例函数解决实际问题，如距离、速度与时间的关系等。

举例：重点讲解反比例函数的定义，通过实际例子（如矩形面积与长宽的关系）引入，强调k≠0的条件。

2. 教学难点

- 反比例函数性质的推导：理解为何当x>0时，y随x增大而减小，以及当x<0时，y随x增大而增大，这需要学生对数形结合的理解。