【浙江版】2013版高中全程复习方略数学理课时提能训练：5.1数列的概念与简单表示法(人教A版·数学理)
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课时提能演练(二十八)
(45分钟 100分)
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.已知数列-1，81524579，，，…，则这个数列的通项公式是( )
(A)an=(-1)n·2nn2n1
(B)an=(-1)n·nn32n1
(C)an=(-1)n·2n112n1
(D)an=(-1)n·nn22n3
2.数列{an}中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是( )
(A)103 (B)10818 (C)10318 (D)108
3.（易错题）在数列{an}中，a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则35aa的值是( )
(A)1516 (B)158
(C)34 (D)38
4.把1,3,6,10,15,21,…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形（如图）.则第7个三角形数是( )
(A)27 (B)28 (C)29 (D)30
5.（2012·三亚模拟）已知数列{an}满足a1=0,an+1= nna33a1(n∈N*).则a20=( )
(A)3 (B)0 (C)3 (D)32
6.（2012·温州模拟)已知:数列{an}满足a1=16,an+1-an=2n，则nan的最小值为( )
(A)9 (B)8 (C)7 (D)6
二、填空题（每小题6分，共18分）
7.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-3，则数列{an}的通项公式为______.
8．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n1a(31)2(n∈N*)且a4＝54，则a1＝______.
9.（2012·绍兴模拟）已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,对于任意的x,y∈R，都有f(x·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N*)，且a1=2，则数列的通项公式an=______.
三、解答题（每小题15分，共30分）
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，若S1=1,S2=2,且Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2),求该数列的通项公式.
11．（预测题）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn
＝n2a1，且前n项和为Tn，设cn＝T2n+1－Tn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)判断数列{cn}的增减性．
【探究创新】
（16分）已知数列{an}满足a1=1,a2=-13,an+2-2an+1+an=2n-6.
(1)设bn=an+1-an,求数列{bn}的通项公式.
(2)在(1)的条件下，求n为何值时，an最小.
答案解析
1.【解析】选C.数列的各项可化为2222213141513579，，，，…，其中分母可记作2n+1,分子可记作（n+1)2-1,故an=(-1)n2n112n1.
2.【解析】选D.根据题意结合二次函数的性质可得：
an=-2n2+29n+3=-2(n2-292n)+3
=-2(n-294)2+3+29298.
∴n=7时，an=108为最大值.
3.【解析】选C.当n=2时，a2·a1=a1+(-1)2，∴a2=2；
当n=3时，a3a2=a2+(-1)3，
∴a3=12；
当n=4时，a4a3=a3+(-1)4，
∴a4=3；
当n=5时，a5a4=a4+(-1)5，
∴a5=23，
∴35aa=34.
4.【解题指南】观察三角形数的增长规律，可以发现每一项与它的前一项多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可.
【解析】选B.根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1+2+3+4+5+6+7=28.
5.【解析】选A.a1=0,a2=3,a3=3,a4=0,a5=3…
故数列{an}是周期为3的周期数列.
∴20a=a2=3.
6.【解题指南】先用累加法求出an,再求nan的最小值.
【解析】选C.∵an+1-an=2n,a1=16，
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2(n-1)+2(n-2)+…+2×1+16
=n12n122［］+16
=n2-n+16
∴2nann16nn
=n+16n-1≥162nn-1=7，
当且仅当16nn即n=4∈N*时取“=”.
∴nan的最小值为7.
7.【解析】当n=1时，a1=S1=21-3=-1,
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，
∴nn11(n1)a.2(n2)
答案：nn11(n1)a.2(n2)
8．【解题指南】本题解题的关键是根据数列的前n项和的表达式表示出a4，可以有两种表示方法，一是S4＝S3＋a4，二是先求数列的通项，然后表示a4，从而求得首项.
【解析】方法一：由S4＝S3＋a4，
得4311a(31)a(31)5422＝＋，
即1a(8026)2＝54，解得a1＝2.
方法二：由Sn－Sn-1＝an(n≥2)可得
an＝nn1nn1111a(31)a(31)a(33)222＝
＝a1·3n-1，
∴a4=a1·33,
∴a1=5427=2.
答案:2
9.【解题指南】先由an=f(2n)及f(x·y)=xf(y)+yf(x)寻求an与an+1的递推关系，再求an.
【解析】∵an=f (2n),f(x·y)=xf(y)+yf(x)
∴an+1=f(2n+1)=f(2n·2)=2nf(2)+2f(2n)
=2nf(2)+2an
又a1=f(21)=2，∴f(2)=2，
∴an+1=2an+2n+1,
∴n1nn1naa122，
∴n1nn1naa122，
∴数列{nna2}为以11a2=1为首项,以1为公差的等差数列.
∴nna2=1+(n-1)×1=n.
∴an=n·2n.
答案:n·2n
【变式备选】已知数列{an}中，a1=12，an+1=n11a(n≥2)，则a16=______.
【解析】由题可知2341231111a11a12a1aaa2，，，∴此数列为循环数列，a1=a4=a7=a10=a13=a16=12.
答案：12
10.【解析】由S1=1得a1=1,又由S2=2可知a2=1.
∵Sn+1-3Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2),
∴Sn+1-Sn-2Sn+2Sn-1=0(n∈N*且n≥2),
即(Sn+1-Sn)-2(Sn-Sn-1)=0(n∈N*且n≥2),
∴an+1=2an(n∈N*且n≥2），故数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列.
∴数列{an}的通项公式为
an=n2*1(n1)2(n1,nN).
11．【解析】(1)a1＝2，an＝Sn－Sn-1＝2n－1(n≥2)，
∴bn＝1(n2)n.2(n1)3
(2)∵cn＝bn+1＋bn+2＋…＋b2n+1
＝111n1n22n1＋＋＋，
∴cn+1－cn＝1112n22n3n1＋－<0，
即cn+1＜cn,∴{cn}是递减数列．
【方法技巧】证明数列的单调性的方法
在证明数列的单调性方面，有很多的方法和技巧可供选择，常用的有：(1)作差法，主要是作差之后的变形，与零比较大小是关键；(2)作商法，主要是作商后能够约掉因式进行变形，再与1比较；(3)利用函数的单调性证明，由于数列是一种特殊的函数，所以可以借助函数的性质证明.
【探究创新】
【解题指南】(1)可采用累加法求解数列的通项公式；
(2)观察所得递推数列的式子特点分情况讨论.
【解析】(1)由an+2-2an+1+an=2n-6,得
（an+2-an+1)-(an+1-an)=2n-6,
∴bn+1-bn=2n-6.
当n≥2时，bn-bn-1=2(n-1)-6.
bn-1-bn-2=2（n-2)-6,
……
b3-b2=2×2-6,
b2-b1=2×1-6,
累加得bn-b1=2［1+2+…+(n-1)］-6(n-1)
=n(n-1)-6n+6=n2-7n+6.
又b1=a2-a1=-14.
∴bn=n2-7n-8(n≥2),
n=1时,b1也适合此式，
故bn=n2-7n-8.
(2)由bn=(n-8)(n+1),得an+1-an=(n-8)(n+1).
∴当n<8时，an+1 当n=8时，a9=a8, 当n>8时，an+1>an, 故当n=8或n=9时an的值最小.
