有理数运算常用的几种技巧
发表时间：2018-09-11T11:07:39.737Z 来源：《教学与研究》2018年10期作者：周敏[导读] 有理数的运算是初中代数运算中的基础，它有一定规律和技巧。周敏（四川省资中县龙江中学四川资中 641200）摘要：有理数运算常用的几种技巧。关键词：有理数；运算；技巧
中图分类号：G652.2 文献标识码：A 文章编号：ISSN0257-2826 （2018）10-068-01 有理数的运算是初中代数运算中的基础，它有一定规律和技巧。运算时若能认真分析和研究题目的内在特征，并根据这些特征灵活巧妙地运用运算法则、运算定律和有针对性地运用有关的技巧和方法，不但可以使运算简捷、准确，而且使我们的思维能力得到提高。下面介绍几种独特的运算技巧。
一.拆项法
例1 计算1949×﹙﹚+ 61×﹙ - ﹚-2010×﹙ +﹚+2013 解：中中华人民共和国自1949年成立到2010年，共经历了61年，即1949+61=2010，把每个括号内都补成 + - ，然后利用拆项，将2013拆成2010+3，而3=++恰好补在括号内。原式=1949×﹙﹚+ +61×﹙ - ﹚+ -2010×﹙ +﹚+ +2010 =1949×﹙ +-﹚61×﹙ + - ﹚-2010×（ +-﹚+2010 =﹙+-﹚×﹙1949+61-2010﹚+2010 = 0+2010 = 2010. 注：此题运用了拆项、凑整技巧。
二.巧用反序相加减的方法
例2.计算
+﹙ +﹚+﹙ + + ﹚+﹙ +++﹚+…+﹙+++…+ ﹚（由第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一试题改编）分析：把括号中的各项倒序排列后，再与原式相加，把分数相加变为整数相加，运算变得简单易行。解：设：P= +﹙ +﹚+﹙ + + ﹚+﹙ +++﹚+…+﹙+++…+ ﹚又：P= +﹙ +﹚+﹙ + + ﹚+﹙ +++﹚+…+﹙++…+ ++﹚两式相加得 2P=1+2+3+4+5+…+58+59 又2P=59+58+57+…+2+1
上面两式相加得 4P=60×59
故 P=885
三.凑整求和
例3. 计算：
解：原式
四.错位相减
例4. 计算：2+22+23+…+22011+22012 解：设 S=2+22+23+…+22011+22012 （1）则有2S=22+2+2…+22012+22013 （2）由（2）-（1），得2S-S=22013-2 即S=2-2.
五.巧用倒序法
例5.计算 + + +…+
解:设P= + + +…+,把等式右边倒序排列，得 P=++…+ +
将两式相加，得
2P=﹙ + ﹚+﹙ +﹚+…+﹙+﹚+﹙ +﹚ 2P = ×2011，∴P=2011.故原式＝2011.
六.巧用缩放法
例6. 求 S= 的整数部分。
分析：直接进行计算较繁，若想到利用缩、放的方法，可快速估算出值的范围。缩放法是“求整数部分”以及相关题型的常用方法。解：先把分母中后9个分数的分母缩小得 S＞ = =1.
再把分母中前9个分数的分母扩大得 S＜ = =1.9
即1七.用字母代替数
例7. 计算：2012×20182018-2018×20122012
解设2012=a，则
原式=a×[10000×(a+6)+ (a+6)]- (a+6) ×(10000a+a)
= a×(a+6) ×10001-(a+6) × a×10001=0
八. 分组结合
例8. 计算：
解：原式
综上所述，有理数运算中掌握一定的技巧和方法，可大大简化解题过程，收到事半功倍的效果．当然有理数运算的技巧和方法不止以上这些，这里不过略举数例以窥一斑．望大家在以后的学习实际中不断地探索、总结和研究，体会有理数运算中的奥妙之处．
