求下列不定积分：
知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)
思路: 被积函数
52
x
-
，由积分表中的公式（2）可解。
解：
53
2
2
23x dx x C
--
=-+⎰ ★(2)
dx
⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
1
1
4
11
1
333
2223()2
4
dx x x dx x dx x dx x x C -
-
=-=-=
-+⎰⎰⎰⎰ ★(3)22x x dx +⎰
（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
2232122ln 23
x x x x dx dx x dx x C +=+=++⎰
⎰⎰（）
★(4)
3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：
3
1
5
3
222223)325
x dx x dx x dx x x C -=-=
-+⎰⎰ ★★(5)422
3311
x x dx
x +++⎰
思路:观察到4222
2
331
131
1
x x x x x ++=+
++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42
23
2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C
x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)
2
2
1x dx x +⎰思路:注意到22222
1111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：
2221arctan .
11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰
注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)
x dx x x x
⎰3
41
3
4（-+-
）2思路:分项积分。
解：
3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x
x
--=-+-⎰⎰⎰⎰⎰3
4
1
3
4（-+-
）2
223134ln ||.423
x x x x C --=
--++
★(8)
2
3
(1x
+⎰思路:分项积分。
解：
2
23
1(323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰
★★(9)
思路？111
7
2
48
8x
x ++=，直接积分。
解：
7
15
88
8.15
x dx x C ==
+⎰
★★(10)
221
(1)
dx x x +⎰思路:裂项分项积分。 解：
2
22222
111111()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x
x x x x x
=-=-=--++++⎰⎰⎰⎰ ★(11)211
x x
e dx
e
--⎰
解：21
(1)(1)(1).1
1
x x x x x x
x
e e e dx dx e dx e x C e
e --+==+=++--⎰⎰
⎰
★★(12)3x x e dx ⎰
思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然33x x x
e e =（）
。 解：
333.ln(3)
x
x x x
e e dx e dx C e ==+⎰⎰（）（） ★★(13)2cot xdx ⎰思路:应用三角恒等式“22cot csc 1x x =-”。 解：22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰
★★(14)23523
x x
x
dx
⋅-⋅⎰
思路:被积函数 23522253
3
x x
x x ⋅-⋅=-（）
，积分没困难。
解：2()2352232525.
33ln 2ln 3
x
x x
x x
dx dx x C ⋅-⋅=-=-+-⎰
⎰（（）） ★★(15)
2
cos
2
x dx ⎰思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。
解：
2
1cos 11
cos
sin .2222
x x d dx x x C +==++⎰⎰ ★★(16)
1
1cos 2dx
x +⎰思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。
解：
22
1
1
11
sec tan .1cos 222
2cos
dx dx xdx x C x x
==
=++⎰⎰⎰ ★(17)
cos 2cos sin x
dx
x x -⎰思路:不难，关键知道“22cos 2cos sin (cos sin )(cos sin )x x x x x x x =-=+-”。
解：
cos 2(cos sin )sin cos .
cos sin x
dx x x dx x x C x x =+=-+-⎰⎰
★(18)
22cos 2cos sin x
dx x x
⋅⎰思路:同上题方法，应用“22cos2cos sin x x x =-”，分项积分。 解：
22222222cos 2cos sin 11cos sin cos sin sin cos x x x dx dx dx x
x x x x x x -==-⋅⋅⎰⎰⎰⎰22csc sec cot tan .xdx xdx x x C =-=--+⎰⎰
★★(19)
⎰思路:注意到被积函数
，应用公式(5)即可。
解：
22arcsin .x C ==+⎰ ★★(20)21cos 1cos 2x
dx x
++⎰思路:注意到被积函数 2222
1cos 1cos 11sec 1cos 2222cos x
x x x
x
++=
=++，则积分易得。
解：22
1cos 1
1tan sec
.1cos 2222
x
x x dx xdx dx C x ++=+
=++⎰⎰⎰
