第一章质点运动学
1、(习题1.1)：一质点在xOy 平面内运动，运动函数为2
x =2t,y =4t 8-。（1）求质点的轨道方程；（2）求t =1 s t =2 s 和时质点的位置、速度和加速度。 解：（1）由x=2t 得，
y=4t 2-8 可得： y=x 2
-8 即轨道曲线 （2）质点的位置 ： 2
2(48)r ti t j =+- 由d /d v r t =则速度： 28v i tj =+ 由d /d a v t =则加速度： 8a j =
则当t=1s 时，有 24,28,8r i j v i j a j =-=+= 当t=2s 时，有 48,216,8r
i j v i j a j =+=+=
2、（习题1.2）： 质点沿x 在轴正向运动，加速度kv a -=，k 为常数．设从原点出发时速
度为0v ，求运动方程)(t x x =.
解：
kv dt dv
-= ⎰⎰-=t v
v kdt dv v 001 t
k e v v -=0
t k e v dt
dx
-=0 dt e
v dx t
k t
x
-⎰⎰
=0
00
)1(0
t k e k
v x --=
3、一质点沿x 轴运动，其加速度为a = 4t (SI)，已知t = 0时，质点位于x 0=10 m 处，初速度v 0 = 0．试求其位置和时间的关系式． 解： =a d v /d t 4=t d v 4=t d t ⎰
⎰=v
v 0
d 4d t
t t v 2=t 2
v d =x /d t 2=t 2
t t x t
x
x d 2d 0
20
⎰⎰
= x 2= t 3 /3+10 (SI)
4、一质量为m 的小球在高度h 处以初速度0v 水平抛出，求：
（1）小球的运动方程；
（2）小球在落地之前的轨迹方程； （3）落地前瞬时小球的
d d r t ，d d v t ，t
v d d . 解：（1） t v x 0= 式（1）
2gt 21h y -= 式（2） 201
()(h -)2
r t v t i gt j =+
（2）联立式（1）、式（2）得 2
2
v 2gx h y -=
（3）
0d -gt d r
v i j t = 而落地所用时间 g
h
2t = 所以 0d -2gh d r v i j t =
d d v g j t
=- 2
202y 2x )gt (v v v v -+=+= 21
20
212202)2(2])([gh v gh g gt v t g dt dv +=+=
5、 已知质点位矢随时间变化的函数形式为2
2r t i tj =+，式中r 的单位为m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速度和法向加速度。
解：1）d 22d r v ti j t =
=+ d 2d v
a i t
== 2）11
222
2[(2)4]2(1)v t t =+=+
2
d 2d 1
t v
t a t
t =
=+ 1
22
22+=
-=
t a a a t n
第二章质点动力学
1、(牛顿定律)质量为M 的气球以加速度a 匀加速上升，突然一只质量为m 的小鸟飞到气球上，并停留在气球上。若气球仍能向上加速，求气球的加速度减少了多少？ 解：f 为空气对气球的浮力，取向上为正。 分别由图（a ）、(b)可得：
F Mg Ma -=
1()()F M m g M m a -+=+
则11()
,Ma mg m a g a a a a m M m M
-+==-=
++
2、 (牛顿定律) 两个圆锥摆，悬挂点在同一高度，具有不同的悬线长度，若使它们运动时两个摆球离开地板的高度相同，试证这两个摆的周期相等．
证：设两个摆的摆线长度分别为1l 和2l ，摆线与竖直轴之间的夹角分别为1θ和2θ，摆线中的张力分别为1F 和2F ，则
0cos 111=-g m F θ ① )sin /(sin 112
1111θθl m F v = ② 解得：
1
111cos /sin θθgl =v
第一只摆的周期为 g
l l T 1
11
1
11cos 2sin 2θπ
θπ==
v
同理可得第二只摆的周期 g
l T 2
22cos 2θπ
= 由已知条件知 2211cos cos θθl l = ∴ 21T T = 习题2.1—2.6
m 1 m 2
习题2.1一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为3/1044005t F ⨯-=，子弹从枪口射出时的速率为m/s 300。设子弹离开枪口处合力刚好为零。求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ；（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ；（3）子弹的质量。
解：（1）由3/1044005t F ⨯-=和子弹离开枪口处合力刚好为零，则可以得到：03/1044005=⨯-=t F 算出t=0.003s 。
（2）由冲量定义：
33
35520
400410/3400210/3
0.6I Fdt t dt t t N s ==-⨯=-⨯=⋅⎰⎰（）
（3）由动量定理： 习题2.2 质量为M ＝1.5 kg 的物体，用一根长为l ＝1.25 m 的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m ＝10 g 的子弹以v 0＝500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s ，设穿透时间极短．求：
(1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小； (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．
解：(1)取子弹与物体为研究对象，子弹前进方向为x 轴正向， 因穿透时间极短，故可认为物体未离开平衡位置．因此,作用于子弹、物体系统上的外力均在竖直方向，故系统在水平方向动量守恒．令子弹穿出时物体的水平速度为v ' 有 m v 0 = m v +M v '
v ' = m (v 0 - v )/M =3.13 m/s
T =Mg+M v 2/l =26.5 N
(2) s N 7.40⋅-=-=∆v v m m t f (设0v 方向为正方向) 负号表示冲量方向与0v 方向相反．
习题2.3一人从10 m 深的井中提水．起始时桶中装有10 kg 的水，桶的质量为1 kg ，由于水桶漏水，每升高1 m 要漏去0.2 kg 的水．求水桶匀速地从井中提到井口，人所作的功．
习题2.2图
M
0v
3
0.60.6/3000.002I Fdt P mv N s
m kg =
=∆==•==⎰所以：
