2013年长江杯训练题

第一部分言语理解与表达(总题量:20? 说明:本部分包括表达与理解模块选词填空与片段阅读两方面的内容，请根据题目要求，在四个选项中选出一个最恰当的答案。

)1、其实早在2005年，MBC 电视台和李导演都曾坚决表示，不会为《大长今》拍摄续集，他们认为，《大长今》所造成的轰动效应已经到达了一个高度，想要超越非常困难，______另辟蹊径也不会“______”。

填入划横线部分最恰当的一项是（）。

A:宁可狗尾续貂B:即使画蛇添足C:宁愿虎头蛇尾D:尽管依样葫芦2、依次填入下列横线处的词语，恰当的一组是（）。

①只有正确地分析事物的历史和现状，才能_____它的发展变化。

②水对动物的生存有重要意义，例如它能_____动物的体温。

③领导干部应当深入群众，和群众打成一片，真正_____民情。

A:推测调节体恤B:推断调节体察C:推断调解体察D:推测调解体恤3、苏东坡成全了黄州，黄州也成全了苏东坡，这实在是一种_____的有趣关系。

东坡写于黄州的那些杰作，既宣告着黄州进入了一个新的美学等级，也宣告着东坡进入了一个新的人生阶段，两方面一起_____, 谁也离不开谁。

填入划横线部分最恰当的一项是（）。

A:相辅相成提升B:水乳交融闻名C:如影随形升华D:同舟共济流传4、长久以来，美国的一些政客每谈到社会制度和经济模式，总是表现出______的架势，常常以美国制度来教育别人。

经过这次金融危机，不知道这些政客会不会______一下美国政治体制自身存在的问题。

填入横线部分最恰当的一项是（）。

A:洋洋自得估量B:舍我其谁考虑C:唯我独尊反思D:狂妄自大思考5、①曹操四言诗的雄浑，陶渊明田园诗的恬淡，自然受人称誉；而张旭草书的奇伟飞动，颜真卿楷书的厚重雄伟，也同样令人______。

②国庆长假期间，凡在本公司购买商品满1000元者，本公司将______价值100元的礼品券。

填入横线部分最恰当的是（）。

A:赞扬惠赠B:表扬敬赠C:赞叹惠赠D:赞叹敬赠6、? ________, 文理分科虽然能集中优势兵力于一科，但其所造成的综合素质较差等弊端也正在日益________。

2013届武昌区高三年级五月供题训练文 科 数 学 试 卷本试题卷共5页，共22题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}13<<-=x x A ，{}1log 2<=x x B ，则B A 等于A ．()()1,00,3 -B ．()()1,00,1 -C ．()1,2-D ．()()1,00,2 - 2．已知()πθ2,0∈，复数θθθθsin i cos sin i cos -+=z ，则z =A ．1B ．θ4cosC ．θ4sinD ．θ4tan 3．某程序框图如图所示，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为A ．4,30n S ==B ．4,45n S ==C ．5,30n S ==D ．5,45n S ==4．已知指数函数()xax f =()1,0≠>a a 、对数函数()x x g b log =()1,0≠>b b 和幂函数()()Q ∈=c x x h c 的图象都经过点)2,21(P ，如果()()()4321===x h x g x f ，那么，+1x =+32x xA ．67B ．56C ．45D ．232 2侧视图俯视图5．函数()xfy=的图象如图所示，则导函数)(xfy'=的图象的大致形状是6．设nm,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到mβ⊥的是A．,mαβα⊥⊂ B．,mααβ⊥⊥ C．,m n nβ⊥⊂ D．//,m n nβ⊥7．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为8．如图，在OAB∆中，120=∠AOB，2=OA，1=OB，C 、D分别是线段OB和AB的中点，那么=⋅A．2- B．23- C．21- D．439．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是A．169B．21C．167D．8310．已知椭圆C：22221x ya b+=（a>b>0F且斜率为k（k>0）的直线与C相交于A、B两点．若FBAF3=，则k =A．1 B．2二、填空题：本大题共5小题，每小题7分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．若命题“存在实数x，使x2+ax+1<0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为．12．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：221 1A．21 1B．21 1C．211D．D．A．B．C．…/cm按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 （用n 表示）． 13．已知直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别是a 和b ()0,0>>b a ，且经过点()4,1M ，则b a +的最小值为 ． 14．某校高三年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如图）， 现用分层抽样的方法选取x 名学生参加某项课 外活动，已知从身高在[160,170)的学生中选取 9人，则x = ．15．已知数列{}n a 是等差数列，首项391=a ，公差2-=d ，前n 项和为n S ；数列{}n b 是等比数列，首项51=b ，公比2=q ，前n 项和为n T .如果从第m 项开始，对所有的*∈N n 都有n m S T >，则=m ．16．已知函数()x x x f 2cos 2sin 3-=，R ∈x ，给出以下说法：①函数()x f 的图像的对称轴是Z ∈+=k k x ,3ππ；②点)0,127(πP 是函数()x f 的图像的一个对称中心； ③函数()x f 在区间],2[ππ上的最大值是21；④将函数()x f 的图像向右平移12π个单位，得到函数()x x x g 2cos 32sin -=的图象． 其中正确说法的序号是 ．17．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量L /mg P 与时间t h 间的关系为kt e P P -=0．如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩__________%的污染物．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．(本小题满分12分)在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-． （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）若4BC BA ⋅=，b =a ，c 的值．19．（本小题满分12分）为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中,x y 处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分．（Ⅰ）求x 和y 的值；（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．20．（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB =90°，AC =BC =12AA 1，D 是棱AA 1的中点．（Ⅰ）求异面直线DC 1和BB 1所成的角； （Ⅱ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ．甲 乙6 378 7 x 1 8 3 3 y 2 39 0 1 6C BADC 1A 1B 121．（本小题满分14分）已知直角坐标平面内一动点P 到点)0,2(F 的距离与直线2-=x 的距离相等． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,(m M （0>m ）作斜率为3的直线与曲线C 相交于B A ,两点，若AFB ∠为钝角，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）过点)0,(m M （0>m ）作直线与曲线C 相交于B A ,两点，问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22．(本大题满分14分)若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x ，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当a 取最小整数时，求()x g 的单调区间，并证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n ()*∈N n ．武昌区2013届高三年级五月供题训练文科数学试题参考答案及评分细则一、选择题：1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B二、填空题：11．]2,2[- 12．26+n 13．9 14．30 15．7 16．②④ 17．81三、解答题：18．解:（Ⅰ）由正弦定理和cos (3)cos b C a c B =-，得sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-，化简，得sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=， 即sin 3sin cos B C A B +=（）， 故sin 3sin cos A A B =． 因为sin A ≠0， 所以1cos =3B ． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）因为4BC BA ⋅=，所以4cos ||||=⋅⋅=⋅B ．所以12BC BA ⋅=，即12ac =． ①又因为2221cos =23a cb B ac +-=， 整理，得2240a c +=． ②联立①② ⎩⎨⎧==+,12,4022ac c a ，解得⎩⎨⎧==,6,2c a 或⎩⎨⎧==.2,6c a ………………………………………………………12分19．解:（Ⅰ）甲同学成绩的中位数是83，∴3x =．乙同学的平均分是86分，∴1(78838380909196)867y +++++++=， ∴1y =．…………………………… 6分（Ⅱ）甲同学成绩在［90，100］之间的试卷有二份，分别记为1a ，2a ， 乙同学成绩在［90，100］之间的试卷有三份，分别记为1b ，2b ，3b ， “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()()2122,,,a b a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况．记“从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为：()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()()2122,,,a b a b ，()23,a b ，共有6种情况．则63()105P M ==， 答：从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概率为35．……………………………………………………12分20．解:（Ⅰ）由题设知AA 1//BB 1，所以异面直线DC 1和BB 1所成的角为11DC A ∠． 因为侧棱垂直底面，9011=∠∴C DA ．又AC =BC =12AA 1，D 是棱AA 1的中点，11C DA ∆∴ 是等腰直角三角形． ∴ 4511=∠DC A ．所以，异面直线DC 1和BB 1所成的角为45． ………………………………………6分 （Ⅱ）由题设知BC ⊥1CC ，BC ⊥AC ，C AC CC = 1， ∴BC ⊥面11ACC A ． 又∵1DC ⊂面11ACC A ， ∴1DC BC ⊥．由题设知4511=∠=∠ADC DC A ，C BAC 1A 1B 1∴1CDC ∠=90，即1DC DC ⊥．又∵C BC DC = ， ∴1DC ⊥面BDC ． ∵1DC ⊂面1BDC ，∴面BDC ⊥面1BDC ．…………………………………………13分21．解：（Ⅰ）由抛物线的定义，知所求P 点的轨迹是以)0,2(F 为焦点，直线2-=x 为准线的抛物线．其方程为px y 22=，其中22=p，4=p ． 所以，动点P 的轨迹C 的方程为x y 82=．………………………………………4分 （Ⅱ）由题意知，直线AB 的方程为)(3m x y -=．代入x y 82=，得03)86(322=++-m x m x ． 设),(),,(2211y x B y x A ，则22121,386m x x m x x =+=+． AFB ∠ 为钝角，0<⋅∴．又),2(11y x FA -=，),2(22y x FB -=，∴0)2)(2(2121<+--y y x x ．即0])([34)(2221212121<++-+++-m x x m x x x x x x ，034))(32(422121<++++-∴m x x m x x ．因此043632<--m m ，321418321418+<<-∴m ． 综上，实数m 的取值范围是)321418,2()2,321418(+- ．…………………8分 （Ⅲ）设过点M 的直线方程为m y x +=λ，代入x y 82=，得0882=--m y y λ．设),(),,(2211y x B y x A ，则λ821=+y y ，m y y 821-=．于是m m y y x x 282)(22121+=++=+λλ．AB ∴的中点坐标为)4,4(2λλm +．又2212221221))(1()()(y y y y x x AB -+=-+-=λ]4))[(1(212212y y y y -++=λ)3264)(1(22m ++=λλ．设存在直线0x x =满足条件，则=-+|4|202x m λ)3264)(1(22m ++λλ．化简，得028)816(020220=+--++mx x m m x λ．所以，028)816(020220=+--++mx x m m x λ对任意的λ恒成立，所以⎩⎨⎧=+--=+.028,081602020mx x m m x 解得20-=x ，2=m ． 所以，当2=m 时，存在直线2-=x 与以线段AB 为直径的圆始终相切．……13分22．解：（Ⅰ）函数()22x x f x+=的定义域是R ，若是关于1可线性分解，则定义域内存在实数0x ，使得()()()1100f x f x f +=+． 构造函数()()()()11f x f x f x h --+=()12212221----++=+x x x x()1221-+=-x x ．∵()10-=h ，()21=h 且()x h 在[]1,1-上是连续的， ∴()x h 在()1,1-上至少存在一个零点．即存在()1,10-∈x ，使()()()1100f x f x f +=+． …………………………… 4分 另解：函数()22x x f x+=关于1可线性分解，由()()()11f x f x f +=+，得()3212221++=+++x x x x ．即222+-=x x．作函数()xx g 2=与()22+-=x x h 的图象，由图象可以看出，存在∈0x R ，使222+-=x x，即()()()1100f x f x f +=+)成立．………………………………………… 4分 （Ⅱ）()x g 的定义域为()+∞,0．由已知，存在00>x ，使()()()a g x g a x g +=+00．即()()1ln 1ln 1ln 20000+-++-=++-+a a ax x a x a a x ．整理，得()1ln ln ln 00++=+a x a x ，即())e ln(ln 00ax a x =+．∴e 00ax x a =+，所以1e 0-=a ax ． 由01e 0>-=a a x 且0>a ，得e 1>a ．∴a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,e 1． ………………………………………… 10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，()1ln +-=x x x g ，xxx x g -=-='111)(． 当()1,0∈x 时，0)(>'x g ，∴g (x )的单调递增区间是()1,0； 当()+∞∈,1x ，0)(<'x g ，∴g (x )的单调递减区间是()+∞,1． 因此x ∈(0，＋∞)时，()x g 的最大值为()1g ，所以()()01=≤g x g ， 即01ln ≤+-x x ，1ln -≤x x ．由此，得 01ln =， 12ln <， 23ln <， …1ln -<n n ．以上各式相加，得()1321ln 3ln 2ln 1ln -++++≤++++n n ， 即()()1321321ln -++++≤⨯⨯⨯⨯n n ． ∴()()21321ln -≤⨯⨯⨯⨯n n n ， ∴()()1321ln 2-≤⨯⨯⨯⨯n n n ，所以，()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n ()*∈N n ．……………………………14分（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）请预览后下载！。

2013届武昌区高三年级五月供题训练文 科 数 学 试 卷本试题卷共5页，共22题．满分150分．考试用时120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B 铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}13<<-=x x A ，{}1log 2<=x x B ，则B A 等于A ．()()1,00,3 -B ．()()1,00,1 -C ．()1,2-D ．()()1,00,2 - 2．已知()πθ2,0∈，复数θθθθsin i cos sin i cos -+=z ，则z =A ．1B ．θ4cosC ．θ4sinD ．θ4tan 3．某程序框图如图所示，若输入的p 为24，则输出的,n S 的值分别为A ．4,30n S ==B ．4,45n S ==C ．5,30n S ==D ．5,45n S ==4．已知指数函数()xax f =()1,0≠>a a 、对数函数()x x g b log =()1,0≠>b b 和幂函数2 2侧视图俯视图()()Q ∈=c x x h c 的图象都经过点)2,21(P ，如果()()()4321===x h x g x f ，那么，+1x =+32x xA ．67B ．56C ．45D ．235．函数()x f y =的图象如图所示，则导函数)(x f y '=的图象的大致形状是6．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m β⊥的是 A ．,m αβα⊥⊂ B ．,m ααβ⊥⊥ C ．,m n n β⊥⊂ D ．//,m n n β⊥ 7．如图，已知三棱锥的俯视图是边长为2的正 三角形，侧视图是有一直角边长为2的直角 三角形，则该三棱锥的正视图可能为8．如图，在OAB ∆中，120=∠AOB ，2=OA ，1=OB ，C 、D 分别是线段OB 和AB 的中点，那么=⋅AC ODA ．2-B ．23-C ．21-D ．439．甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达， 则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是 A ．169 B ．21 C ．167 D ．832 2 11 A ．21 1B ．211C ．2 1 1D ．D ．A ．B ．C ．/cm10．已知椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0F 且斜率为k （k >0）的直线与C相交于A 、B 两点．若FB AF 3=，则k =A ．1BCD ．2二、填空题：本大题共5小题，每小题7分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．11．若命题“存在实数x ，使x 2+ax +1<0”的否定是真命题，则实数a 的取值范围为 ． 12．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为 （用n 表示）． 13．已知直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别是a 和b ()0,0>>b a ，且经过点()4,1M ，则b a +的最小值为 ． 14．某校高三年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如图）， 现用分层抽样的方法选取x 名学生参加某项课 外活动，已知从身高在[160,170)的学生中选取 9人，则x = ．15．已知数列{}n a 是等差数列，首项391=a ，公差2-=d ，前n 项和为n S ；数列{}n b 是等比数列，首项51=b ，公比2=q ，前n 项和为n T .如果从第m 项开始，对所有的*∈N n 都有n m S T >，则=m ．16．已知函数()x x x f 2cos 2sin 3-=，R ∈x，给出以下说法：①函数()x f 的图像的对称轴是Z ∈+=k k x ,3ππ；…①②②点)0,127(πP 是函数()x f 的图像的一个对称中心； ③函数()x f 在区间],2[ππ上的最大值是21；④将函数()x f 的图像向右平移12π个单位，得到函数()x x x g 2cos 32sin -=的图象． 其中正确说法的序号是 ．17．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染指数量L /mg P 与时间t h 间的关系为kt e P P -=0．如果在前5个小时消除了10%的污染物，则10小时后还剩__________%的污染物．三、解答题：本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分12分)在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =-． （Ⅰ）求B cos ；（Ⅱ）若4BC BA ⋅=，b =，求边a ，c 的值．19．（本小题满分12分）为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况，对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中,x y 处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分．（Ⅰ）求x 和y 的值；（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率．20．（本小题满分13分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，∠ACB =90°，AC =BC =12AA 1，D 是棱AA 1的中点．（Ⅰ）求异面直线DC 1和BB 1所成的角； （Ⅱ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ．甲 乙 6 3 7 8 7 x 1 8 3 3 y 2 3 9 0 1 6CBA DC 1A 1B 121．（本小题满分14分）已知直角坐标平面内一动点P 到点)0,2(F 的距离与直线2-=x 的距离相等． （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点)0,(m M （0>m ）作斜率为3的直线与曲线C 相交于B A ,两点，若AFB ∠为钝角，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）过点)0,(m M （0>m ）作直线与曲线C 相交于B A ,两点，问：是否存在一条垂直于x 轴的直线与以线段AB 为直径的圆始终相切？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．22．(本大题满分14分)若函数()x f 满足：在定义域内存在实数0x ，使()()()k f x f k x f +=+00(k 为常数)，则称“f （x ）关于k 可线性分解”．（Ⅰ）函数()22x x f x+=是否关于1可线性分解?请说明理由；（Ⅱ）已知函数()1ln +-=ax x x g ()0>a 关于a 可线性分解，求a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当a 取最小整数时，求()x g 的单调区间，并证明不等式：()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n ()*∈N n ．* *武昌区2013届高三年级五月供题训练文科数学试题参考答案及评分细则一、选择题：1．D 2．A 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．C 10．B二、填空题：11．]2,2[- 12．26+n 13．9 14．30 15．7 16．②④ 17．81三、解答题：18．解:（Ⅰ）由正弦定理和cos (3)cos b C a c B =-，得sin cos (3sin sin )cos B C A C B =-，化简，得sin cos sin cos 3sin cos B C C B A B +=， 即sin 3sin cos B C A B +=（）， 故sin 3sin cos A A B =． 因为sin A ≠0，所以1cos =3B ． ………………………………………………………6分 （Ⅱ）因为4BC BA ⋅=，所以4cos ||||=⋅⋅=⋅B BA BC BA BC ．所以12BC BA ⋅=，即12ac =． ①又因为2221cos =23a cb B ac +-=， 整理，得2240a c +=． ②联立①② ⎩⎨⎧==+,12,4022ac c a ，解得⎩⎨⎧==,6,2c a 或⎩⎨⎧==.2,6c a ………………………………………………………12分19．解:（Ⅰ）甲同学成绩的中位数是83，∴3x =．乙同学的平均分是86分，∴1(78838380909196)867y +++++++=， ∴1y =．…………………………… 6分（Ⅱ）甲同学成绩在［90，100］之间的试卷有二份，分别记为1a ，2a ， 乙同学成绩在［90，100］之间的试卷有三份，分别记为1b ，2b ，3b ， “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：()12,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()()2122,,,a b a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况．记“从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为：()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()()2122,,,a b a b ，()23,a b ，共有6种情况．则63()105P M ==， 答：从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概率为35．……………………………………………………12分20．解:（Ⅰ）由题设知AA 1//BB 1，所以异面直线DC 1和BB 1所成的角为11DC A ∠． 因为侧棱垂直底面，9011=∠∴C DA ．又AC =BC =12AA 1，D 是棱AA 1的中点，11C DA ∆∴ 是等腰直角三角形． ∴ 4511=∠DC A ．所以，异面直线DC 1和BB 1所成的角为45． ………………………………………6分（Ⅱ）由题设知BC ⊥1CC ，BC ⊥AC ，C AC CC = 1， ∴BC ⊥面11ACC A ． 又∵1DC ⊂面11ACC A ， ∴1DC BC ⊥．由题设知4511=∠=∠ADC DC A ，∴1CDC ∠=90，即1DC DC ⊥．又∵C BC DC = ， ∴1DC ⊥面BDC ． ∵1DC ⊂面1BDC ，∴面BDC ⊥面1BDC ．…………………………………………13分21．解：（Ⅰ）由抛物线的定义，知所求P 点的轨迹是以)0,2(F 为焦点，直线2-=x 为准线的抛物线．其C BAC 1A 1B 1方程为px y 22=，其中22=p ，4=p ． 所以，动点P 的轨迹C 的方程为x y 82=．………………………………………4分（Ⅱ）由题意知，直线AB 的方程为)(3m x y -=． 代入x y 82=，得03)86(322=++-m x m x ．设),(),,(2211y x B y x A ，则22121,386m x x m x x =+=+． AFB ∠ 为钝角，0<⋅∴． 又),2(11y x -=，),2(22y x -=，∴0)2)(2(2121<+--y y x x ．即0])([34)(2221212121<++-+++-m x x m x x x x x x ， 034))(32(422121<++++-∴m x x m x x ．因此043632<--m m ， 321418321418+<<-∴m ． 综上，实数m 的取值范围是)321418,2()2,321418(+- ．…………………8分 （Ⅲ）设过点M 的直线方程为m y x +=λ，代入x y 82=，得0882=--m y y λ．设),(),,(2211y x B y x A ，则λ821=+y y ，m y y 821-=． 于是m m y y x x 282)(22121+=++=+λλ． AB ∴的中点坐标为)4,4(2λλm +． 又2212221221))(1()()(y y y y x x AB -+=-+-=λ]4))[(1(212212y y y y -++=λ)3264)(1(22m ++=λλ．设存在直线0x x =满足条件，则=-+|4|202x m λ)3264)(1(22m ++λλ．化简，得028)816(020220=+--++mx x m m x λ．所以，028)816(020220=+--++mx x m m x λ对任意的λ恒成立，所以⎩⎨⎧=+--=+.028,081602020mx x m m x 解得20-=x ，2=m ． 所以，当2=m 时，存在直线2-=x 与以线段AB 为直径的圆始终相切．……13分22．解：（Ⅰ）函数()22x x f x +=的定义域是R ，若是关于1可线性分解， 则定义域内存在实数0x ，使得()()()1100f x f x f +=+．构造函数()()()()11f x f x f x h --+=()12212221----++=+x x x x ()1221-+=-x x ．∵()10-=h ，()21=h 且()x h 在[]1,1-上是连续的，∴()x h 在()1,1-上至少存在一个零点．即存在()1,10-∈x ，使()()()1100f x f x f +=+． …………………………… 4分 另解：函数()22x x f x +=关于1可线性分解， 由()()()11f x f x f +=+，得()3212221++=+++x x x x ． 即222+-=x x ． 作函数()xx g 2=与()22+-=x x h 的图象， 由图象可以看出，存在∈0x R ，使222+-=x x ，即()()()1100f x f x f +=+)成立．………………………………………… 4分（Ⅱ）()x g 的定义域为()+∞,0．由已知，存在00>x ，使()()()a g x g a x g +=+00．即()()1ln 1ln 1ln 20000+-++-=++-+a a ax x a x a a x ．整理，得()1ln ln ln 00++=+a x a x ，即())e ln(ln 00ax a x =+．∴e 00ax x a =+，所以1e 0-=a a x ． 由01e 0>-=a a x 且0>a ，得e 1>a ．∴a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,e 1． ………………………………………… 10分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，()1ln +-=x x x g ，x x x x g -=-='111)(． 当()1,0∈x 时，0)(>'x g ，∴g (x )的单调递增区间是()1,0； 当()+∞∈,1x ，0)(<'x g ，∴g (x )的单调递减区间是()+∞,1．因此x ∈(0，＋∞)时，()x g 的最大值为()1g ，所以()()01=≤g x g ， 即01ln ≤+-x x ，1ln -≤x x ．由此，得01ln =，12ln <，23ln <，…1ln -<n n ．以上各式相加，得()1321ln 3ln 2ln 1ln -++++≤++++n n ， 即()()1321321ln -++++≤⨯⨯⨯⨯n n ．∴()()21321ln -≤⨯⨯⨯⨯n n n ， ∴()()1321ln 2-≤⨯⨯⨯⨯n n n ，所以，()()12e 321-≤⨯⨯⨯⨯n n n ()*∈N n ．……………………………14分。

2013年GCT逻辑真题及解析约定：“∧”表示“且”，“∨“表示“或”，“→“表示“则”，“Ø”表示“非”1．人或许可以分为两类：有那么一点雄心的和没有那一点雄心的。

对普通人而言，那一点雄心，是把自己拉出庸常生活的坚定动力；没有那一点雄心的，只能无力甚至无知无觉地，慢慢地被庸常的生活所淹没。

在变革时代，那一点雄心或许能导致波澜壮阔的结果。

以下哪项陈述构成对上文观点的反驳？A．编草鞋的刘备，从来没有忘记自己是皇叔。

就凭这一点，他从两手空空到三分天下有其一。

B．张雄虽壮志凌云，却才智庸常，一生努力奋斗，但一事无成。

C．柳琴既无什么雄心，也无特别才华，仅凭天生丽质，一生有贵人相助，做成了很多事情。

D．菊花姐姐既不才高八斗，也不貌美如花，但自视甚高，不断折腾，一生也过得风生水起的。

【解析】答案为C。

题干指出，“没有那一点雄心的，只能无力甚至无知无觉地，慢慢地被庸常的生活所淹没”，C项是一个有力的反例：“柳琴没有雄心，一生却不平庸”。

2．2013年平 7月16日，美国“棱镜门”事件揭秘者斯诺登正式向俄罗斯提出避难申请。

美国一直在追捕斯诺登。

如果俄罗斯接受斯诺登的申请，必将导致俄美两国关系恶化。

但俄罗斯国内乃至世界各国有很高呼声认为斯诺登是全球民众权利的捍卫者，如果拒绝他的申请，俄罗斯在道义上和国家尊严方面都会受损。

如果以上陈述为真，以下哪项陈述一定为真？A．俄罗斯不希望斯诺登事件损害俄美两国关系。

B．俄罗斯不会将斯诺登交给美国，而可能将他送往第三国。

C．如果俄罗斯接受斯诺登的避难申请，俄罗斯在道义上或国家尊严方面就不会受损。

D．如果俄罗斯不想使俄美两国关系恶化，它在道义上和国家尊严方面就会受损。

【解析】答案为D。

题干的条件为：（1）接受斯诺登的申请→使两国关系恶化（2）拒绝斯诺登的申请→在道义上和国家尊严方面都会受损对于俄罗斯而言，有接受斯诺登的申请∨拒绝斯诺登的申请= 使两国关系恶化∨在道义上和国家尊严方面都会受损= Ø使两国关系恶化→在道义上和国家尊严方面都会受损（选言假言公式转换，详见《决胜GCT逻辑高分篇》P84页）3．日本有机蔬菜的认证条件非常苛刻，要求种植有机蔬菜的土地3年以内没有使用过任何农药、化肥。