2019-2020学年高二(上)第一次月考数学试卷 (37)-0723(含答案解析)

第1页，共12页 2019-2020学年高二（上）第一次月考数学试卷 (37)

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若𝑎>1，则不等式|𝑥|+𝑎>1的解集是( )

A. {𝑥|𝑎−1<𝑥<1−𝑎} B. {𝑥|𝑥<𝑎−1或𝑥>1−𝑎}

C. ⌀ D. R

2. 设不等式𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+2≤0的解集为A，若𝐴⊆[1,3]，则实数a的取值范围是( )

A. (−1,115] B. (1,115] C. (2,115] D. (−1,3]

3. 设𝑎=(12) 32，𝑏=𝑙𝑛𝜋，𝑐=log0.532，则( )

A. 𝑐<𝑎<𝑏 B. 𝑎<𝑐<𝑏 C. 𝑐<𝑏<𝑎 D. 𝑏<𝑐<𝑎

4. 已知实数a满足|𝑎|<2，则事件“点𝑀(1,1)与𝑁(2,0)分别位于直线l：𝑎𝑥−2𝑦+1=0两侧”的概率为( )

A. 34 B. 18 C. 38 D. 316

5. 不等式1𝑥<−1的解集为( )

A. {𝑥|−1<𝑥<0} B. {𝑥|𝑥<−1}

C. {𝑥|𝑥>−1} D. {𝑥|𝑥<0}

6. 方程√2(𝑥+3)2+2(𝑦−1)2=|𝑥−𝑦+3|表示的曲线是( )

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线

7. 对于实数x和y，定义运算⊗：𝑥⊗𝑦=𝑥(1−𝑦)，若对任意𝑥>1，不等式(𝑥−𝑚)⊗𝑥≤1都成立，则实数m的取值范围是( )

A. [−1,3] B. (−∞,3]

C. (−∞,−1]∪[3,+∞) D. [3,+∞)

8. 若关于x的不等式𝑥2−4𝑥−2−𝑎>0在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )

A. 𝑎<−2 B. 𝑎>−2 C. 𝑎>−6 D. 𝑎<−6

9. 已知𝑎𝑛=2𝑛2+2𝑛，则𝑆6=( )

A. 6956 B. 78 C. 6928 D. 716

10. 在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴−𝑎𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝐶)=𝑏𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝐵)，则此三角形为( )

A. 等边三角形 B. 等腰三角形

C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

11. 在△𝐴𝐵𝐶中，若𝑎=3，𝑐𝑜𝑠𝐴=12，则△𝐴𝐵𝐶的外接圆半径为( )

A. 2√3 B. 4√3 C. √32 D. √3

12. 函数𝑓(𝑥)={𝑒𝑥+𝑎𝑥+𝑎𝑥+1,𝑥>−1𝑥2+4𝑥+3,𝑥≤−1，则关于x的方程𝑓[𝑓(𝑥)]=0的实数解最多有( )

A. 4个 B. 7个 C. 10个 D. 12个 第2页，共12页 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若实数x，y满足𝑥𝑦+3𝑥=3,(0<𝑥<12)，则3𝑥+1𝑦−3的最小值为__________．

14. 已知𝑓(𝑥)满足2𝑓(𝑥)+𝑓(1𝑥)=3𝑥，求𝑓(2)= ______ ．

15. 已知函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑛𝑥，0<𝑎<𝑏<𝑐<1，则𝑓(𝑎)𝑎，𝑓(𝑏)𝑏，𝑓(𝑐)𝑐的大小关系是______．

16. 若存在实数x，使得𝑥2−𝑎𝑥+1<0，则实数a的取值范围是________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 设函数𝑓(𝑥)=𝑥|𝑥−1|+𝑚．

(1)当𝑚=−2时，解关于x的不等式𝑓(𝑥)>0；

(2)当𝑚>1时，求函数𝑦=𝑓(𝑥)在[0,𝑚]上的最大值．

18. 已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−4𝑥+𝑐，且 f (0)=−5，f (𝑥)<0的解集是(−1,5)．

(1)求 f (𝑥)的解析式；

(2)求函数 f (𝑥)在𝑥∈[0,3]上的值域；

(3)设𝑔(𝑥)=𝑓 (𝑥)−𝑚𝑥，且𝑔(𝑥)在区间[−2,2]上是单调函数，求实数m的取值范围．

19. 在△𝐴𝐵𝐶中，角A、B、C对边分别为a，b，c，已知𝑏2=𝑎𝑐，且𝑎2−𝑐2=𝑎𝑐−𝑏𝑐．

(1)求∠𝐴的大小；

(2)求的值．

第3页，共12页 20. 已知𝑆𝑛是等比数列{𝑎𝑛}的前n项和，𝑆4，𝑆2，𝑆3成等差数列，且𝑎2+𝑎3+𝑎4=−18．

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)若𝑏𝑛=𝑎𝑛⋅𝑆𝑛，求𝑏1+𝑏2+𝑏3+⋯+𝑏𝑛．

21. 若x，y满足约束条件{𝑥+𝑦≥1−𝑥+𝑦≤12𝑥−𝑦≤2，

(1)求点(𝑥,𝑦)到直线𝑦=−𝑥−2的距离的最大值．

(2)求𝑧=𝑦−1𝑥+1的取值范围．

22. 已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥−𝑎|．

(1)若不等式𝑓(𝑥)≤4的解集为[−1,7]，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若对任意𝑥0∈𝑅，使得𝑓(𝑥0)+𝑓(𝑥0+5)<4𝑚，求实数m的取值范围．

第4页，共12页 -------- 答案与解析 --------

1.答案：D

解析：解：由|𝑥|+𝑎>1，得|𝑥|>1−𝑎，

∵𝑎>1，∴1−𝑎<0，

故不等式的解集是R，

故选：D．

根据不等式的性质以及绝对值的应用判断即可．

本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的应用，是一道基础题．

2.答案：A

解析：解：设𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+2，

∵不等式𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+2≤0的解集𝐴⊆[1,3]，

∴若𝐴=⌀，则△=4𝑎2−4(𝑎+2)<0，

即𝑎2−𝑎−2<0，解得−1<𝑎<2，

若𝐴≠⌀，则{△≥0𝑓(1)≥0𝑓(3)≥01≤𝑎≤3,

即{ 𝑎≥2或𝑎≤−1𝑎≤3𝑎≤1151≤𝑎≤3,

∴2≤𝑎≤115，

综上−1<𝑎≤115，

故实数a的取值范围是(−1,115]，

故选：A．

利用不等式和函数之间的关系，设函数𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎+2，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．

本题主要考查一元二次不等式的应用，利用不等式和函数之间的关系，利用二次函数是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．

3.答案：A

解析：解：∵0<𝑎=(12) 32<(12)0=1，

𝑏=𝑙𝑛𝜋>𝑙𝑛𝑒=1，

𝑐=log0.532

∴𝑐<𝑎<𝑏． 第5页，共12页 故选：A．

利用对数函数、指数函数的单调性求解．

本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性的合理运用．

4.答案：C

解析：解：要使点𝑀(1,1)与点𝑁(2,0)分别位于直线l：𝑎𝑥−2𝑦+1=0两侧，

则(𝑎−2+1)(2𝑎+1)<0．

即−12<𝑎<1．

又|𝑎|<2，即−2<𝑎<2，

由测度比为长度比得：

点𝑀(1,1)与点𝑁(2,0)分别位于直线l两侧的概率为：

𝑃=1−(−12)2−(−2)=38．

故选：C．

根据点𝑀(1,1)与点𝑁(2,0)分别位于直线l：𝑎𝑥−2𝑦+1=0两侧，求出a的取值范围，再利用几何概型求出对应的概率．

本题考查了几何概型的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．

5.答案：A

解析：【分析】

本题考查分式不等式的解法，属于基础题．

按照分式不等式的求解过程解答即可．

【解答】

解：原不等式等价于𝑥+1𝑥<0，即𝑥(𝑥+1)<0，所以不等式的解集是(−1,0)．

故选A．

6.答案：D

解析：解：方程√2(𝑥+3)2+2(𝑦−1)2=|𝑥−𝑦+3|化为：√(𝑥+3)2+(𝑦−1)2=|𝑥−𝑦+3|√2，

它的几何意义是，平面内的动点(𝑥,𝑦)到定点(−3,1)的距离与到直线𝑥−𝑦+3=0的距离相等的点的轨迹．

而(−3,1)不在直线𝑥−𝑦+3=0上，

所以动点的轨迹是抛物线．

故选：D．

直接利用已知条件转化方程为圆锥曲线的定义，判断即可．

本题考查转化思想的应用，抛物线的定义的应用，注意定点与直线的位置关系的判断．

7.答案：B

解析：【分析】

本题考查新定义运算，一元二次不等式和二次函数的性质，属于中档题．

【解答】 第6页，共12页 解：由题意可得当𝑥>1时，不等式(𝑥−𝑚)⊗𝑥=(𝑥−𝑚)(1−𝑥)≤1恒成立，

即𝑚≤𝑥2−𝑥+1𝑥−1=𝑥+1𝑥−1=𝑥−1+1𝑥−1+1,(𝑥>1)，

结合对勾函数的性质可知：当𝑥−1=1𝑥−1即𝑥=2时，(𝑥−1+1𝑥−1+1)𝑚𝑖𝑛=3，

所以𝑚≤3，

综上可得，实数m的取值范围是(−∞,3]，

故选：B．

8.答案：A

解析：【分析】

本题考查一元二次不等式和有解问题的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

先分离参数，再求出函数𝑡=𝑥2−4𝑥−2的值域，即可求实数a的取值范围．

【解答】

解：由不等式𝑥2−4𝑥−2−𝑎>0可得不等式𝑎<𝑥2−4𝑥−2，

令𝑡(𝑥)=𝑥2−4𝑥−2=(𝑥−2)2−6，1<𝑥<4，可得−6≤𝑡(𝑥)<−2，

∵关于x的不等式𝑥2−4𝑥−2−𝑎>0在1<𝑥<4内有解，

所以𝑎<(𝑥2−4𝑥−2)𝑚𝑎𝑥，

∴𝑎<−2，

即实数a的取值范围是𝑎<−2，

故选A．

9.答案：A

解析：【分析】

𝑎𝑛=2𝑛(𝑛+2)=1𝑛−1𝑛+2，采用裂项相消法即可求出𝑆6．

本题考查了数列的求和方法：裂项相消法，考查化简整理的运算能力，属于基础题．

【解答】

解：𝑎𝑛=2𝑛(𝑛+2)=1𝑛−1𝑛+2，

∴𝑆6=1−13+12−14+13−15+14−16

+15−17+16−18=1+12−17−18=6956．

故选：A．

10.答案：C

解析：解：在△𝐴𝐵𝐶中，由已知得𝑎𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵，

由正弦定理可知，𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑠𝑖𝑛𝐶𝑐𝑜𝑠𝐴=sin2𝐵，即sin(𝐴+𝐶)=𝑠𝑖𝑛𝐵=sin2𝐵，

∵0<𝐵<𝜋，𝑠𝑖𝑛𝐵≠0∴𝑠𝑖𝑛𝐵=1，𝐵=𝜋2，

所以三角形为直角三角形，

故选：C．

利用正弦定理求出𝑠𝑖𝑛𝐵=1，判断即可．