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线性回归方程(1)

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最新高二数学优质学案专题学案（附经典解析）
教学目标：
1. 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点
图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系；
2. 在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线
性直线，会用线性回归方程进行预测；
3. 知道最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根
据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，了解（线
性）相关系数的定义．

教学重点：
散点图的画法，回归直线方程的求解方法．
教学难点：
回归直线方程的求解方法．

教学方法：
引导发现、合作探究．

教学过程：
一、创设情景，揭示课题
客观事物是相互联系的．过去研究的大多数是因果关系，
但实际上更多存在的是一种非因果关系．比如说：某某同学的
最新高二数学优质学案专题学案（附经典解析）
数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是
“因”，物理是“果”，或者反过来说 事实上数学和物理成绩
都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程
度．所以说，函数关系存在着一种确定性关系，但还存在着另
一种非确定性关系——相关关系．
二、学生活动
提出问题：两个变量之间的常见关系有几种？
（1）确定性的函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；
（2）相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函
数来表示．
说明：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，
事实是，两个变量间可能毫无关系．比如地球运行的速度与某
个人的行走速度就可认为没有关系．
某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统
计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表：
气温
/0C
26 18 13 10 4
1

杯数 20 24 34 38 50 64
如果某天的气温是50C，你能根据这些数据预测这天小卖
部卖出热茶的杯数吗？
最新高二数学优质学案专题学案（附经典解析）

从下图可以看出，这些点散布在一条直线的附近,故可用一个

线性函数近似地表示热茶销量与气温之间的关系.
选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系？
我们有多种思考方案：
（1）选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两
点的直线；
（2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个
数基本相同；
（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线
斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距；
……
怎样的直线最好呢?
三、建构数学
1．最小平方法：
用方程为ˆybxa的直线拟合散点图中的点，
应使得该直线
与散点图中的点最接近．那么，怎样衡量直线
ˆ
ybxa

与图中六

个点的接近程度呢？
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我们将表中给出的自变量x的六个值带入直线方程,得到
相应的六个ˆy的值:
26,18,13,10,4,babababababa
.这六个值与表中相应的实际
值应该越
接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差
的平方和
2222
22
(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)Qabbabababababa

21286b2
6140382046010172aabba

说明： (,)Qab是直线ˆybxa与各散点在垂直方向(纵轴方向)
上的距离的平
方和,可以用来衡量直线ˆybxa与图中六个点的接近程度,所
以,设法取,ab的
值,使(,)Qab达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小
二乘法)（method of
least square）.
先把a看作常数,那么Q是关于b的二次函数.易知,当
140382021286ab


时, Q

取得最小值.同理, 把b看作常数,那么Q是关于a的二次函数.
当14046012ba

时, Q取得最小值.因此,当14038202128614046012abba时，Q取的最小值，由
最新高二数学优质学案专题学案（附经典解析）
此解得
1.6477,57.5568ba.所求直线方程为ˆ1.647757.5568yx
.当5x
时,ˆ66y,故当气温为50C时,热茶销量约为66杯.
2．线性相关关系：
像这样能用直线方程ˆybxa近似表示的相关关系叫做线
性相关关系(liner correlation).
3．线性回归方程：
一般地,设有n个观察数据如下：
x
1
x

2
x

3x … n
x

y
1y 2
y

3y … n
y

当,ab使2221122()()...()nnQybxaybxaybxa取得最小值
时,就
称ˆybxa为拟合这n对数据的线性回归方程（linear
regression equation）,
该方程所表示的直线称为回归直线．
上述式子展开后，是一个关于,ab的二次多项式，应用配方
法，可求出使Q为最小值时的,ab的值．即

结论：1112211()()()nnniiiiiiinniiiinxyxybnxxaybx,（*） niixnx11, niiyny11

说明：公式（*）的推导比较复杂，这里不作要求．
四、数学运用
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例题 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统
计资料，请判断机动
车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性
相关关系，求出线
性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．
机动车辆数x／千台 95 110112120129135150 18
0
交通事故数y／
千件 6.27.57.78.58.79.810.2
13

1．下面是我国居民生活污水排放量的一组数据（单位：103 t）
试分别估计1996年和2004年我国居民生活污水排放量．
年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002
排放量 151 189.1 194.8 203.8 220.9 227.7 232.
3
2.一个工厂在某年里每月产品的总成本y(单位：万元)与
月产量（单位：万件）之间有如下一组数据：
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x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68 1.80 1.87 1.98 2.0
7
y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.92 3.03 3.14 3.26 3.36 3.5
0
（1）画出散点图；
（2）求线性回归方程．
五、归纳整理，整体认识
1．对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，
看其是否呈直线形，再依系数,ab的计算公式，算出,ab．由于
计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防
计算中产生错误．
2.求线性回归方程的步骤：
①计算平均数yx,；②计算iiyx与的积，求iiyx；③计算2ix；
④将结果代入公式求a；⑤用 xayb求b；⑥写出回归方程
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线性回归方程公式推导

线性回归方程公式推导

线性回归方程公式推导从现代经济学研究看，线性回归是一种多变量经济分析方法，它能够用来研究变量之间的关系，以便确定哪些变量具有影响性。

线性回归模型是描述一个响应变量和一组predictor变量之间关系的线性关系模型。

线性回归模型有多种形式，其中最常见的是最小二乘法，即OLS，其核心思想是通过最小化以下损失函数来确定回归系数：S=1/n (yi-i)其中，yi是实际值，i是预测值，n是数据样本的个数。

有了线性回归模型，就可以推导出公式，即OLS回归方程。

它表述的意思是，假设回归系数β的值是已知的，即满足公式：β=(XX)^-1XY其中，X指的是一个有m个变量的矩阵，Y指的是一个有n个观测值的矩阵，X指的是X矩阵的转置矩阵，(XX)^-1指的是求XX的逆矩阵，XY指的是X和Y的点乘积。

由此，OLS回归模型就可以用变量yi=b1x1i+b2x2i+…+bpxpi+εi来表示，其中b1, b2,, bp分别是变量x1i, x2i,, xpi的回归系数，εi是误差项，它以期望值为零的正态分布的形式出现，表示随机噪声。

一般来说，OLS即可用来估计参数的可能性，但是，由于它们常常受到多重共线性的影响，因此需要检验其可靠性。

OLS的优点是可以提供一种最优的参数估计法，它能够有效地提高参数估计的准确性。

此外，OLS进行变量检验时，也可以有效地识别出具有影响性的变量。

不过，OLS也有其缺点，尤其是当数据存在某些问题时，可能会导致OLS的估计结果出现偏差。

主要问题包括多重共线性、异方差性和异常值。

对于这些问题，最好的解决方法是对数据进行相关性分析，从而将偏差减少到最小。

综上所述，OLS回归方程公式能够有效地描述变量之间的关系，检验其可靠性，以便确定哪些变量具有影响性。

为了确保其准确性，应当有效地处理多重共线性等问题，从而使得OLS具有更强的适用性。

高中一元线性回归方程

高中一元线性回归方程

高中一元线性回归方程
线性回归是一种有用的数学方法，用来描述两种变量之间的关系并预测新值。

其中最常见的是一元线性回归。

一元线性回归可以用一个简单的等式来描述：y = mx + b，其中y是因变量，mx是自变量，b是偏置量（截距）。

在高中，首先要解决的是一元线性回归的问题，这就意味着计算机的对应的等式是：y = mx + b，其中m和b是要求的系数。

一元线性回归的关键是确定系数m和b，其中b也被称作截距（截距）。

计算m和b有多种数学方法，例如最小二乘法，均值方程法等。

最小二乘法被认为是最常用的方法，它可以通过拟合模型来最小化模型和实际观察值之间的差异，从而得到最适合的结果。

在高中，学生可以通过用图象法或数学公式法来确定系数m和b。

其中，图象法是把握表示的独立变量的值以及它们的关系的另一种更直观的方法。

这样，我们可以画出数据点的趋势线，再从统计学书籍上获取两个变量之间的最佳拟合数据，在图上画出拟合线，求出最佳拟合线上的斜率m和截距b。

另一种方法是用数学公式确定系数m和b，这需要了解一系列公式，而在高中的学习中，老师基本上会给出他们解决一元线性回归的具体公式。

总之，一元线性回归是一个重要的数学模型，其有助于理解两个变量之间的联系，它的性质和方程可以在高中很好地学习和实施。

一元线性回归方程

一元线性回归方程


北京市城市居民家庭生活抽样调查表1 14 12 10 8 6 4 2 0 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988
Y: 人 均 收 入
x:年份
北京市城市居民家庭生活抽样调查图表 2 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8
Y:人均食品支出
10 12 14 16 18
Fα (1,n-2),得否定域为F >Fα (1,n-2);
4.代入样本信息,F落入否定域则否定原假设, 线性关系显著;落入接受域则接受原假设, 线性关系不显著.
相关系数检验法: 相关系数检验法:
1.提出原假设:H0:b=0; lxy 2.选择统计量 R = lxxl yy 3.对给定的显著性水平α,查临界值rα (n-2), 得否定域为R >rα (n-2); 4.代入样本信息,R落入否定域则否定原假设,线性关 系显著;落入接受域则接受原假设,线性关系不显著.
第二节
一元线性回归方程
一 回归直线方程
两个变量之间的线性关系，其回归模型为： 两个变量之间的线性关系，其回归模型为：
yi = a + bxi + εi
ε 称为 y称为因变量，x称为自变量，
随机扰动，a,b称为待估计的回归参 数，下标i表示第i个观测值。
对于回归模型，我们假设：
εi ~ N( 0,σ ),i = 1,2,⋯,n E( εiε j ) = 0,i ≠ j
pt
qt
概率 0.25 0.50 0.25 0.25 0.50 0.25 … 0.25 0.50 0.25
qt = 11 − 4 pt+ εt
其中
这时， 这时，方程的形式为
εt
为随机变量. 为随机变量
线性回归方程lnx公式

线性回归方程lnx公式

线性回归方程lnx公式b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)。

线性回归方程是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一。

线性回归方程公式求法第一：用所给样本求出两个相关变量的(算术）平均值：x_=(x1+x2+x3+...+xn)/ny_=(y1+y2+y3+...+yn)/n第二：分别计算分子和分母：（两个公式任选其一）分子=(x1y1+x2y2+x3y3+...+xnyn)-nx_Y_分母=(x1^2+x2^2+x3^2+...+xn^2)-n*x_^2第三：计算b：b=分子/分母用最小二乘法估计参数b，设服从正态分布，分别求对a、b的偏导数并令它们等于零，得方程组解为其中，且为观测值的样本方差.线性方程称为关于的线性回归方程，称为回归系数，对应的直线称为回归直线.顺便指出，将来还需用到，其中为观测值的样本方差。

先求x，y的平均值X，Y再用公式代入求解:b=(x1y1+x2y2+...xnyn-nXY)/(x1+x2+...xn-nX)后把x，y的平均数X，Y代入a=Y-bX求出a并代入总的公式y=bx+a得到线性回归方程(X为xi的平均数，Y为yi的平均数)线性回归线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，应用十分广泛。

变量的相关关系中最为简单的是线性相关关系，设随机变量与变量之间存在线性相关关系，则由试验数据得到的点，将散布在某一直线周围。

因此，可以认为关于的回归函数的类型为线性函数。

分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析。

如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。

如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。