初等代数研究 第3章 方程 PPT

泰勒级数展开的基本思想是将一个函数表示为无穷级数，其中每一项都是函数在某一点的导数与该点的x值的乘 积。通过选取适当的点，可以获得函数在该点的近似值。对于方程的求解，泰勒级数展开可以提供近似的解， 特别是在无法精确求解的情况下。
牛顿迭代法近似解法
牛顿迭代法是一种通过不断逼近方程的根来求解方程的方法。它利用了函数在某一点的切线与x轴的交点作为新的近似值，不 断迭代直到达到所需的精度。
变分法
变分法是积分方程的另一个重要应用 领域。通过变分法，可以解决一些最 优化问题，如最小化物体的质量、最 小化物体的能量等。
04
方程的复杂度分析
一阶方程的复杂度分析
总结词
一阶方程通常形式简单，求解过程相 对直接。
详细描述
一阶方程通常只包含一次幂的变量， 如 $y' = f(x)$，其解法通常包括分离 变量法、积分因子法等，求解过程较 为直接，复杂度相对较低。
例子
06 解方程 $x^2 - 4x + 3 = 0$，
通过代数法可以求得 $x = 1$ 或 $x = 3$。
图像法
1. 绘制函数图像
根据方程绘制出相应的函 数图像。
3. 解方程
将交点的横坐标代入原方 程求解。
01
02
03
04
05
定义
图像法是通过绘制方程的 图形来求解方程的方法。
2. 找到交点
通过图像找到与x轴的交 点，即为方程的解。
例子
解方程 $y = x^2 - 2x$， 通过图像法可以求得 $x
= 1$ 或 $x = -1$。
数值解法
1. 选择初始值
选择一个初始值作为计算的起 点。
3. 输出结果
输出近似解作为方程的解。

0 0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 0
0 6 0
B4
2020/12/12
12
1
rrr123rr1223
0 0 0
0 1 0 0
1 1
0 0
0 0 1 0
4
3 3 0
B5
行最简形
x1 x2
x3 x3
4 3
x4 3
令 x3 c
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
3x2 3x3 4x4 3, ④
2020/12/12
(B1 )
(B2 )
3
② 1
x1
③52②
④3②
x2 2x3 x2 x3
x4 x4 2 x4
4, ① 0, ② 6, ③
x4 3.④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
④ 12③
x2 x3 x4 0, ② 2x4 6, ③
2
用消元法
x1 x2 2x3 x4 4, ①
(1)
①③ 12② 22xx11
x2 3x2
x3 x4 2, ② x3 x4 2, ③
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, ④
x1 x2 2x3 x4 4, ①
②③
③2①
④3①
2x2 2x3 2x4 0, ② 5x2 5x3 3x4 6, ③
1
1
01
第i行
1
E(i, j)
1 10
第
j
行
1
1
2020/12/12
17
1
1
E(i(k))
k
第i 行
1

0
1
00 0.5 50 0.5 5
0
1.25 0.5
10
1.252.5
0
0
10
T2
* A1 =
A2 记 u
例：设
2 2 1
A
2
6
1
4 8 0
浙江大学研究生
《实用数值计算方法》
20
学位课程
3.2.1
则，它的LU分解为：
A 左乘T1 A1 左乘T2 A 2 u
1
2 2 1 2 2 1
31
aM1x1 aM2x2 aMNxN bM
用矩阵形式表示：
Ax b
3 2
a11 a12 a1n x1 b1
Aa21
a22
a2n,xx2,bb2 33
am1 am2 amn xn bm
系数矩阵
未知向量
右顶端
浙江大学研究生
《实用数值计算方法》
2
学位课程
当M=N时，如果A非奇异，则方程组（3-1） 存在唯一解。
A1
T1
A
1
1
2
6
1
0
4
0
2 0 1 4 8 0 0 4 2
1
2 2 1 2 2 1
A2
T2
A1
0
1
0
4
0
0
4
0
0 1 1 0 4 2 0 0 2
1 0 01 0 0 1 0 0
L
T11
T
1 2
1
1
0
0
1
0
1
1
0
2 0 1 0 1 1 2 1 1
定理：设

章
有无穷多解 R(A) R(A, b) n
线
(2)无解 R(A) R(A,b)
性
方 由定理1容易得出：
程
组
定理 2 n元齐次线性方程组 Ax 0有非零解
R(A) n 进一步，由定理1还可以推广得到：
定理 3 矩阵方程AX B有解 R(A) R(A,B)
例1 设A是一个 mn 阶矩阵,且 R(A) r, 则 (a)
1. 多元线性方程组
第 一般地，n 个未知数 x1, x2, , xn 的如下形式的方程
三
章
a1x1 a2 x2 an xn b
线
性 称为n元一次方程，也称为n元线性方程，其中
方
程 组
a1, a2 , , an , b是已知常数，a1, a2 , , an是一次项系数,
b是常数项。
具有同样n个未知数 x1, x2, , xn 的若干个一次方程 组成的方程组：
x2
0
0
所有满足x1 x2 的数都是它的解
所以该方程组有无数多解。
程
组
x1 x2 0
③
x1
x2
1
x1 x2 2
显然不存在 x1, x2 , 使 x1 x2 1
和 x1 x2 2同时成立 故该方程组无解。
第
④
x1 x1
x2 x2
0 2
系数行列式 D 1
1 0
11
由Cramer法则知其有唯一解 x1
a21
a22
组
am1
am2
a1n
a2n
,
amn
x1
x
x2
,
xn
b1
b