苏教版必修一第11课时《函数的奇偶性》word同步测试2

2.2 函数的简单性质1、已知函数()248?h x x kx =--在[5,20]上是单调函数,则k 的取值范围是( ) A. (] ,40-∞B. [)160,+∞C. (][),401?60,-∞⋃+∞D. ∅2、下列说法中,正确的有( )①若任意12,,x x I ∈当12x x <时,1212()()0f x f x x x ->-则()y f x =在I 上是增函数; ②函数2y x =在R 上是增函数; ③函数1y x =-在定义域上是增函数; ④函数1y x=的单调区间是()(),00,.-∞⋃+∞ A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3、2y x =在区间[]2,4上的最大值、最小值分别是( ) A. 1,12 B. 1,12C. 11,24D. 11,424、函数()f x 的图象如图所示,则()A.函数()f x 在[]1,2-上是增函数B.函数()f x 在[]1,2-上是减函数C.函数()f x 在[1,4]-上是减函数D.函数()f x 在[]2,4上是增函数5、已知函数()f x 是(),-∞+∞上的增函数,若a R ∈,则( )A. ()()2f a f a >B. ()()2f a f a <C. ()()32f a f a +>-D. ()()6f f a >6、已知定义域为R 的函数()f x 在(8,)+∞上为减函数,且函数(8)y f x =+函数为偶函数,则( )A. (6)(7)f f >B. (6)(9)f f >C. (7)(9)f f >D. (7)(10)f f >7、若函数()()()21xf x x x a =+-为奇函数,则a = ( ) A.12B.23C.34D.1 8、设偶函数()f x 的定义域为R ,当[)0,x ∈+∞时, ()f x 是增函数,则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是( )A. ()(3)(2)f f f π>->-B. ()(2)(3)f f f π>->-C. ()(3)(2)f f f π<-<-D. ()(2)(3)f f f π<-<-9、已知()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数,那么a b +的值是( ) A. 13- B.13C. 12D. 12- 10、函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时, ()1f x x =-+,则当0x <时, ()f x 的解析式为( )A. ()1f x x =-+B. ()1f x x =--C. ()1f x x =+D. ()1f x x =-11、已知()f x 是R 上的减函数,则满足()()211f x f ->的实数x 的取值范围是________.12、有下列四个命题:①函数221y x x =++在()0,+∞上不是单调增函数; ②函数11y x =+在()(),11,-∞-⋃-+∞上是单调减函数;③函数y =(),;-∞+∞④已知()f x 在R 上为单调增函数,若0a b +>,则有()()()().f a f b f a f b +>-+- 其中正确命题的序号是__________.13、已知()f x 是奇函数,且0x ≥时, ()()1.f x x x =-则当0x <时,()f x =__________.14、若()f x 是定义在R 上的奇函数,且()()2,f x f x -=-给出下列4个结论: ①()20f =;②()()4f x f x =+;③()f x 的图象关于直线0x =对称;④()()2.f x f x +=-其中所有正确结论的序号是__________.15、老师给了一个函数(),y f x =三个学生甲、乙、丙各指出这个函数的一个性质: 甲:对于x R ∈,函数的图象关于y 轴对称;乙:在(],0-∞上函数递减;丙:在[)0,+∞上函数递增.请构造一个这样的函数:__________.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：函数()h x 的对称轴为8k x =,要使()h x 在[5,20]上是单调函数,应有58k ≤或208k ≥,即40k ≤或160k ≥,故选C.2答案及解析：答案：B解析：当12x x <时, 120,x x -<由1212()()0f x f x x x ->-知()()120f x f x -<,所以()()12f x f x <,①正确;②③④均不正确.3答案及解析：答案：A解析： 因为函数2y x =在[]2,4上是单调递减函数, 所以11,.2maxmin y y ==4答案及解析：答案：A解析：增函数具有“上升”趋势;减函数具有“下降”趋势,故A 正确.5答案及解析：答案：C解析：因为函数()f x 是增函数,且32a a +>-,所以()()32f a f a +>-.6答案及解析：答案：D解析：∵(8)y f x =+为偶函数,∴(8)(8)f x f x +=-+,即()y f x =关于8x =直线对称.又∵()f x 在(8,)+∞上为减函数,∴()f x 在(,8)-∞上为增函数.由(82)(82)f f +=-,即(10)(6)f f =,又由678<<,故选D.7答案及解析：答案：A解析：解法一:由题意知()()f x f x -=-恒成立, 即()122x x x a -⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ ()122x x x a -=⎛⎫+- ⎪⎝⎭恒成立, 即()()1122x x a x x a ⎛⎫⎛⎫-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立, 所以12a =.故选A . 解法二:因为()f x 的定义域为{12x x ≠-且}x a ≠,又因为奇函数的定义域关于原点对称,所以12a =.故选A8答案及解析：答案：A解析：∵f ()x 是偶函数,∴(3)(3),(2)(2)f f f f -=-= .又∵函数f ()x 在[)0,+∞上是增函数. ∴()(3)(2)f f f π>>,即()(3)(2)f f f π>->-.9答案及解析：答案：B解析：因为()2f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数, 所以()().f x f x -=所以0.b =又12a a -=-,所以1.3a =所以.ab +=1310答案及解析：答案：B解析：设0,x <则0.x ->所以()1,f x x -=+又函数()f x 是奇函数.所以()() 1.f x f x x -=-=+所以()()10.f x x x =--<11答案及解析：答案：(),1-∞解析：因为()f x 在R 上是减函数,且()()211,f x f ->所以211x -<,即1x <.12答案及解析：答案：④解析：13答案及解析：答案：x(1＋x)解析：当0x <时,0x ->,又因为()f x 是奇函数,所以()()()()11.f x f x x x x x =--=--+=⎤⎦+⎡⎣14答案及解析：答案：①②④解析：由题意,知()()02,f f =-∴()()20.f f =-又()f x 是R 上的奇函数,∴()()00,f f -=-即()00.f =∴()20f =.故①正确.∵()()()24,f x f x f x =-+=+∴②正确.∵()f x 为奇函数,∴图象关于原点对称,∴③不正确.∵()()()2,f x f x f x -=-=+∴④正确.15答案及解析：答案：2y x =或y x =解析：这是一个开放性题,答案不唯一.由三个性质可得出,f(x)为偶函数且左减右增.∴可以是()20y ax a =>或()0y a x a =>等.。

（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一函数的简单性质一、 填空题1. 函数f(x)＝1x －x 的图象关于点__________成中心对称．2. 下列结论中正确的是________．(填序号)①偶函数的图象一定与y 轴相交；② 奇函数的图象一定过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④ 有的函数可能既是奇函数又是偶函数．3. 若函数f(x)＝kx －1在(－∞，m)(m ∈R)上是减函数，则函数g(x)＝kx 2－2kx ＋1的单调递增区间是__________．4. 若f(x)＝ax 9＋bx 5－cx －3，且f(－6)＝8，则f(6)＝________．5. 已知函数f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，函数y ＝f(x ＋1)是偶函数，则f(－4)，f(2)，f(4)之间的大小关系是________________．6. 已知函数y ＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x 2＋ax(a ∈R)，且f(2)＝6，则a ＝__________．7. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x>1，则f[f(－2)]＝________，f(x)的最小值是________．8. 已知偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(3)＝0，则关于x 的不等式f(x －1)<0的解集是____________．9. 若函数f(x)＝|x －2|＋a4－x 2的图象关于原点对称，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝__________．10. 下列命题正确的是__________．(填序号)①函数y ＝ln(3－x)的定义域为(－∞，3]；②定义在[a ，b]上的偶函数f(x)＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最小值为5；③若命题p ：对任意x ∈R ，都有x 2－x ＋m ≥0，则m ≥14； ④若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，则1a ＋1b 的最小值为1.二、 解答题11. 已知奇函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0.(1) 求实数m 的值，并画出函数y ＝f(x)的简图；(2) 若函数f(x)在区间[－1，|a|－2]上单调递增，求实数a 的取值范围．已知函数f(x)＝x ＋bax 2＋c (a>1)是奇函数，f(1)＝15，且关于x 的方程f(x)＝14有等根．(1) 求a ，b ，c 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上的单调性．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋6(a∈R)．(1) 若f(x)在区间(－∞，1]上是减函数，求f(1)的取值范围；(2) 若f(x)在实数集R上的值域是[0，＋∞)，求a的值；(3) 求f(x)在区间[－1，2]上的最小值．1.(0，0) 解析：易知函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．2.③④ 解析：函数y ＝1x 2是偶函数，但不与y 轴相交，故①错误；函数y ＝1x 是奇函数，但不过原点，故②错误；由偶函数的性质，知③正确；函数f(x)＝0既是奇函数又是偶函数，故④正确．3.[1，＋∞) 解析：∵ f(x)＝k x －1在(－∞，m)上是减函数，∴反比例函数y ＝kx 在(－∞，0)上是减函数，∴ k>0，∴二次函数g(x)＝kx 2－2kx ＋1的单调递增区间是[1，＋∞)．4.－14 解析：令g(x)＝f(x)＋3，则g(x)＝ax 9＋bx 5－cx ，g(x)为奇函数，g(－6)＝－g(6)，即f(－6)＋3＝－[f(6)＋3]，8＋3＝－f(6)－3，f(6)＝－14.5. f(－4)＜f(4)＜f(2) 解析：∵ y ＝f(x ＋1)是偶函数，∴ f(－x ＋1)＝f(x ＋1)，∴ f(2)＝f(1＋1)＝f(－1＋1)＝f(0)，f(4)＝f(3＋1)＝f(－3＋1)＝f(－2)．又－4＜－2＜0，且f(x)在区间(－∞，0]上是增函数，∴ f(－4)＜f(－2)＜f(0)，即f(－4)＜f(4)＜f(2)．6. 5 解析：∵ f(x)是奇函数，∴ f(2)＝－f(－2)＝－4＋2a ＝6，解得a ＝5.7.－1226－6 解析：∵ f(－2)＝(－2)2＝4，∴f[f(－2)]＝f(4)＝－12；当x ≤1时，f(x)＝x 2≥0；当x>1时，f(x)＝x ＋6x－6，容易证明f(x)在(1，6]上是减函数，在[6，＋∞)上是增函数，∴当x>1时，f(6)≤f(x)，即当x>1时f(x)≥26－6.又26－6<0，∴函数f(x)的最小值为26－6.8.(－2，4) 解析：∵ f(x)是偶函数，∴ f(x －1)＝f(|x －1|)．又f(3)＝0，∴不等式f(x －1)<0等价于f(|x －1|)＜f(3)．又偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，∴ f(x)在[0，＋∞)上是增函数．由f(|x －1|)＜f(3)得|x －1|＜3，解得－2＜x ＜4.9.33解析：∵ 函数f(x)的图象关于原点对称，∴ f(x)是奇函数，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0，∴|0－2|＋a 4－02＝0，解得a ＝－2，∴ f(x)＝|x －2|－24－x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝f(－1)＝33.10.②③④ 解析：命题①中，函数的定义域是(－∞，3)，故命题①不正确；命题②中，若已知函数是偶函数，则必有a ＝－5，b ＝5，即函数f(x)＝x 2＋5，x ∈[－5，5]，其最小值为5，命题②正确；∵ －m ≤x 2－x 对x ∈R 恒成立，x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14的最小值是－14，∴－m ≤－14，m ≥14，命题③正确；命题④中，1a ＋1b ＝14(a ＋b)·(1a ＋1b )＝14(2＋b a ＋a b )≥14(2＋2b a ·ab)＝1(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立)，命题④正确．11.解：(1) ∵ 函数f(x)是奇函数，∴ f(－1)＝－f(1)，即1－m ＝－1，∴ m ＝2， ∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x>0，0，x ＝0，x 2＋2x，x<0.函数f(x)图象如图．(2) 从函数f(x)图象可知f(x)的单调递增区间是[－1，1]，∴－1＜|a|－2≤1，解得1＜a ≤3或－3≤a ＜－1.∴实数a 的取值范围是{a|1＜a ≤3或－3≤a ＜－1}．12.解：(1) ∵ f(－x)＝－f(x)，－x ＋b ax 2＋c ＝－x ＋bax 2＋c ，显然ax 2＋c 不等于0，∴－x ＋b ＝－x －b ，b ＝0，∴ f(x)＝xax 2＋c .又f(1)＝1a ＋c ＝15，c ＝5－a ，f(x)＝xax 2＋5－a，∴方程f(x)＝14，即x ax 2＋5－a ＝14，可化为ax 2－4x ＋5－a ＝0.∵方程ax 2－4x ＋5－a ＝0两根相等，∴ a ≠0且Δ＝16－4a(5－a)＝16－20a ＋4a 2＝0，解得a ＝1(不合，舍去)或4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，c ＝1.(2) 由(1)知f(x)＝x4x 2＋1，函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上是减函数．证明如下：设x 2＞x 1≥12，则f(x 2)－f(x 1)＝x 24x 22＋1－x 14x 21＋1＝4x 21x 2＋x 2－4x 1x 22－x 1（4x 21＋1）（4x 22＋1）＝（x 2－x 1）（1－4x 1x 2）（4x 21＋1）（4x 22＋1）.∵ x 2＞x 1≥12，∴ x 2－x 1>0，1－4x 1x 2<0，4x 21＋1>0，4x 22＋1>0，∴ f(x 2)－f(x 1)＜0，即f(x 2)＜f(x 1)，∴ f(x)在区间[12，＋∞)上是减函数．13.解：(1) ∵ 函数f(x)图象的对称轴方程是x ＝－a ，f(x)在区间(－∞，1]上是减函数， ∴－a ≥1，a ≤－1.又f(1)＝7＋2a ，7＋2a ≤5， ∴ f(1)的取值范围是(－∞，5]．(2) ∵ f(x)在实数集R 上的值域是[0，＋∞)， ∴ f(x)min ＝f(－a)＝6－a 2＝0，解得a ＝± 6.(3) f(x)＝(x ＋a)2－a 2＋6(－1≤x ≤2)．若－1≤－a ≤2，即－2≤a ≤1，则x ＝－a 时f(x)取最小值6－a 2； 若－a ＜－1，即a ＞1，则x ＝－1时f(x)取最小值7－2a ； 若－a ＞2，即a ＜－2，则x ＝2时f(x)取最小值10＋4a.综上所述，f(x)min＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋4a ，a<－2，6－a 2，－2≤a ≤1，7－2a ，a>1.。

[学生用书P97(单独成册)][A 基础达标]1．下列函数是偶函数的是( ) A ．y ＝2x 2－3 B ．y ＝x 5 C ．y ＝x 2，x ∈[0，1]D ．y ＝x解析：选A.对A ：f (－x )＝2(－x )2－3＝2x 2－3＝f (x )，所以f (x )是偶函数，B 、D 都为奇函数，C 中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.2．函数f (x )＝1x －x 的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝－x 对称解析：选C.因为f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f (－x )＝－1x －(－x )＝x －1x＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，图象关于原点对称．3．若函数f (x )＝ax 2＋(a －2b )x ＋a －1是定义在(－a ，0)∪(0，2a －2)上的偶函数，则f⎝⎛⎭⎫a 2＋b 25＝( )A ．1B ．3 C.52D ．72解析：选B.因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－a ＋2a －2＝0，解得a ＝2.又偶函数不含奇次项，所以a －2b ＝0，即b ＝1，所以f (x )＝2x 2＋1.于是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 25＝f (1)＝3. 4．设f (x )是定义在R 上的一个函数，则函数F (x )＝f (x )－f (－x )在R 上一定( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数解析：选A.F (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－F (x )，符合奇函数的定义． 5．(2019·武汉模拟)如图，给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)＋f (－1)的值为( )A ．－2B ．2C ．1D ．0解析：选A.由图知f (1)＝12，f (2)＝32，又f (x )为奇函数，所以f (－2)＋f (－1)＝－f (2)－f (1)＝－32－12＝－2.故选A.6．已知函数f (x )＝x ＋bx 2＋1是奇函数，则实数b ＝________．解析：法一(定义法)：因为f (x )为奇函数， 所以f (－x )＝－f (x )， 即－x ＋b（－x ）2＋1＝－x ＋b x 2＋1，整理得－x ＋b x 2＋1＝－x ＋b x 2＋1，所以－x ＋b ＝－(x ＋b )，即2b ＝0， 解得b ＝0.法二(赋值法)：因为f (x )为奇函数， 所以f (－1)＝－f (1)， 即－1＋b（－1）2＋1＝－1＋b12＋1，即b －12＝－1＋b 2，解得b ＝0.法三(赋值法)：因为f (x )为奇函数，且函数的定义域为R ，所以f (0)＝0，即0＋b02＋1＝0，解得b ＝0. 答案：07．如果函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －3，x >0，f （x ），x <0是奇函数，则f (x )＝________．解析：设x <0，则－x >0，所以2×(－x )－3＝－2x －3. 又原函数为奇函数，所以f (x )＝－(－2x －3)＝2x ＋3. 答案：2x ＋38．(2019·保定高一检测)函数f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5，满足f (－3)＝2，则f (3)的值为________．解析：因为f (x )＝ax 3＋bx ＋cx ＋5，所以f (－x )＝－ax 3－bx －cx ＋5，即f (x )＋f (－x )＝10. 所以f (－3)＋f (3)＝10， 又f (－3)＝2，所以f (3)＝8. 答案：89．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3，x ∈R ；(2)f (x )＝5x 4－4x 2＋7，x ∈[－3，3]； (3)f (x )＝|2x －1|－|2x ＋1|； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x >0，0， x ＝0，x 2－1，x <0.解：(1)因为f (－x )＝3＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数．(2)因为x ∈[－3，3]，f (－x )＝5(－x )4－4(－x )2＋7＝5x 4－4x 2＋7＝f (x )， 所以函数f (x )是偶函数．(3)因为f (－x )＝|－2x －1|－|－2x ＋1|＝－(|2x －1|－|2x ＋1|)＝－f (x )， 所以函数f (x )是奇函数．(4)当x >0时，f (x )＝1－x 2，此时－x <0， 所以f (－x )＝(－x )2－1＝x 2－1，所以f(－x)＝－f(x)；当x<0时，f(x)＝x2－1，此时－x>0，f(－x)＝1－(－x)2＝1－x2，所以f(－x)＝－f(x)；当x＝0时，f(－0)＝－f(0)＝0.综上，对x∈R，总有f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为R上的奇函数．10．(1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小．解：(1)由奇函数的性质可作出y＝f(x)在y轴右侧的图象，图①为补充后的图象．易知f(3)＝－2.(2)由偶函数的性质可作出y＝f(x)在y轴右侧的图象，图②为补充后的图象．易知f(1)>f(3)．[B能力提升]1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.依题意得对任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )＝－[f (x )·g (x )]，f (x )g (x )是奇函数，A 错；|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|·g (x )，|f (x )|·g (x )是偶函数，B 错；f (－x )·|g (－x )|＝－f (x )·|g (x )|＝－[f (x )|g (x )|]，f (x )·|g (x )|是奇函数，C 正确；|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，|f (x )g (x )|是偶函数，D 错．故选C.2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：选C.因为f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1， 所以f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1， 又由题意可知f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )，所以f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝1，故选C.3．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意a 、b ∈R ，当a ＋b ≠0时，都有f （a ）＋f （b ）a ＋b>0.(1)若a >b ，试比较f (a )与f (b )的大小关系；(2)若f (1＋m )＋f (3－2m )≥0，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为a >b ，所以a －b >0， 由题意得f （a ）＋f （－b ）a －b >0，所以f (a )＋f (－b )>0.又f (x )是定义在R 上的奇函数， 所以f (－b )＝－f (b )，所以f (a )－f (b )>0，即f (a )>f (b )． (2)由(1)知f (x )为R 上的单调递增函数， 因为f (1＋m )＋f (3－2m )≥0， 所以f (1＋m )≥－f (3－2m )， 即f (1＋m )≥f (2m －3)，所以1＋m ≥2m －3， 所以m ≤4.所以实数m 的取值范围为(－∞，4]．4．(选做题)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0.(1)求实数m 的值，并画出y ＝f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，试确定a 的取值范围． 解：(1)当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－x 2－2x ， 所以f (x )＝x 2＋2x ，所以m ＝2. y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，由图象可知，f (x )在[－1，1]上单调递增，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3.。

2.3函数的奇偶性一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2020·山东改编)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.2．(2020·全国改编)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝____________.3．已知f (x ) (x ∈R )为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)＝________.4．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0 的x 的取值范围是__________．5．f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是________．6．函数f (x )是奇函数，g (x )是偶函数且f (x )＋g (x )＝1x ＋1 (x ≠±1)，则f (－3)＝________. 7．(2020·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．8．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋5)＝－f (x )＋2，且当x ∈(0,5)时，f (x )＝x ，则f (2 011)＝________.9．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1，0]上是增函数，给出下列关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数；②f (x )关于直线x ＝1对称；③f (x )在[0,1]上是增函数；④f (x )在[1,2]上是减函数；⑤f (2)＝f (0)．其中正确的序号是________．二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，若a 、b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b>0.判断函数f (x )在[－1,1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论．11．(16分)已知函数f (x )对一切x ，y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)若f (－3)＝a ，用a 表示f (12)．12．(16分)已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 009]上的所有x 的个数．答案 1.－3 2.{x |x <0或x >4} 3.32 4.(－2,2) 5.4 6.－387.－1 8.19.①②⑤10.解 f (x )在[－1,1]上是增函数．证明如下：任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]．又f (x )是奇函数，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)． 据已知f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在[－1,1]上是增函数．11.(1)证明 显然f (x )的定义域是R ，它关于原点对称．在f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )中，令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0，∴f (x )＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)解 由f (－3)＝a ，f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )及f (x )是奇函数，得f (12)＝2f (6)＝4f (3)＝－4f (－3)＝－4a .12.解 当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， ∴f (－x )＝12(－x )＝－12x . ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x . 故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)． 又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)． 又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f ((－x )＋2)＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)， ∴f (x )＝－12(x －2) (1<x <3)． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3).由f (x )＝－12，解得x ＝－1.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1 (n ∈Z )． 令0≤4n －1≤2 009，则14≤n ≤1 0052， 又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502 (n ∈Z )，∴在[0,2 009]上共有502个x 使f (x )＝－21.。