计算机程序设计基础—FORTRAN实验设计报告线性方程组求解问题

第1篇一、实验目的1. 掌握线性代数基本概念和基本运算方法。

2. 熟悉MATLAB软件在解决线性代数问题中的应用。

3. 提高实际操作能力和编程能力。

二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 软件环境：MATLAB R2019b3. 实验设备：计算机三、实验内容1. 矩阵的基本运算2. 矩阵的秩3. 矩阵的逆4. 线性方程组的求解5. 特征值和特征向量6. 二次型及其标准形四、实验步骤1. 矩阵的基本运算（1）创建矩阵A：A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]（2）计算矩阵A的转置：A_transpose = A'（3）计算矩阵A的行列式：det_A = det(A)（4）计算矩阵A的逆：A_inverse = inv(A)2. 矩阵的秩（1）创建矩阵B：B = [1, 2, 3, 4; 5, 6, 7, 8; 9, 10, 11, 12]（2）计算矩阵B的秩：rank_B = rank(B)3. 矩阵的逆（1）创建矩阵C：C = [1, 2; 3, 4]（2）判断矩阵C是否可逆：is_inverse = rank(C) == size(C, 1)（3）如果可逆，计算矩阵C的逆：C_inverse = inv(C)4. 线性方程组的求解（1）创建矩阵A和B：A = [1, 2; 3, 4]B = [5; 6]（2）使用MATLAB内置函数求解线性方程组：x = A \ B5. 特征值和特征向量（1）创建矩阵D：D = [4, 1; 2, 3]（2）计算矩阵D的特征值和特征向量：[V, D] = eig(D)6. 二次型及其标准形（1）创建矩阵E：E = [2, 1; 1, 3]（2）计算矩阵E的特征值和特征向量：[V, D] = eig(E)（3）将二次型E化为标准形：Q = V D inv(V)五、实验结果与分析1. 矩阵的基本运算（1）矩阵A：1 2 34 5 67 8 9（2）矩阵A的转置：1 4 72 5 83 6 9（3）矩阵A的行列式：（4）矩阵A的逆：-1.5 0.50.5 -0.52. 矩阵的秩矩阵B的秩为2。

线性方程组求解的数值实验一、课题名称：双对角线线性方程组的数值实验二、班级和姓名：09101900 张争（学号 0910190161） 三、实验问题摘要：考虑一种特殊的对角线元素不为零的双对角线线性方程组（以n=7为例）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7665544332211d a d a d a d a d a da d ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7654321x x x x x x x =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡7654321b b b b b b b 写出解一般的n （奇数）阶方程组的程序（不要用消元过程，因为不用它可以十分方便的解出这个方程组）。

四、过程中的问题及处理方法：解方程组时应当先解出x1和xn,r 然后根据公式求出其他的解，由于矩阵的特殊性，应该从头尾开始解，最后解出21+n x 。

编程序时使用循环语句要分情况讨论。

五、计算公式： 1x =11d b kk k k k d x a b x 11---=(k<n/2)n x =nnd b kk k k k d x a b x 1+-=(k>n/2)21212123212121+--++++--=n n n n n n n d x a x a b x六、结构程序设计输入矩阵阶数→输入各系数→解出前（n-1）/2个解→解出后（n-1）/2个解→解出第（n+1）/2个解七、程序运行结果：这里令所有的系数等于1，实验结果如下：八、主要程序段介绍：解方程函数：由于矩阵具有好的对称性，解的形式也一样，用循环语句。

但是第一个和最后一个解以及中间一个解的形式不同，需要单独解出，程序如下：void jiefangcheng(){int i;x[1]=b[1]/d[1];for(i=2;i<(i+1)/2;i++)x[i]=(b[i]-a[i-1]*x[i-1])/d[i];x[n]=b[n]/d[n];for(i=n-1;i>(i+1)/2;i--)x[i]=(b[i]-a[i]*x[i+1])/d[i];x[(n+1)/2]=(a[(n-1)/2]*x[(n-1)/2]-a[(n+1)/2]*x[(n+3)/2])/d[(n+1)/2];}九、源程序如下：//*****************张争******学号0910190161**********#include<iostream.h>#define N 10000int n;int a[N],b[N],d[N],x[N];void input(){int i;cout<<"请输入方程组的阶数：";cin>>n;cout<<"请输入方程组的系数："<<endl;for(i=1;i<=n;i++){cout<<"d"<<i<<"=";cin>>d[i];cout<<"b"<<i<<"=";cin>>b[i];}for(i=1;i<n;i++){cout<<"a"<<i<<"=";cin>>a[i];}}void jiefangcheng(){int i;x[1]=b[1]/d[1];for(i=2;i<(i+1)/2;i++)x[i]=(b[i]-a[i-1]*x[i-1])/d[i];x[n]=b[n]/d[n];for(i=n-1;i>(i+1)/2;i--)x[i]=(b[i]-a[i]*x[i+1])/d[i];x[(n+1)/2]=(a[(n-1)/2]*x[(n-1)/2]-a[(n+1)/2]*x[(n+3)/2])/d[(n+1)/2];}void output(){ int i;cout<<"方程组的解为："<<endl;for(i=1;i<=n;i++)cout<<"x"<<i<<"="<<x[i]<<endl;}void main(){input();jiefangcheng();output();}。

实验报告——线性方程组的数值解法姓名：班级：学号：日期：一 实践目的1. 熟悉求解线性方程组的有关理论和方法。

2. 会编列主元消去法，全主元消去法，雅克比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的程序。

3.通过实际计算，进一步了解各种方法的优缺点，选择合适的数值方法。

4. 进一步应用数学知识，扩展数学思维，提高编程能力。

二 问题定义及题目分析1.求解线性方程是实际中常遇到的问题。

而一般求解方法有两种，一个是直接求解法，一个是迭代法。

2.直接法是就是通过有限步四则运算求的方程准确解的方法。

但实际计算中必然存在舍入误差，因此这种方法只能得到近似解。

3.迭代法是先给一个解的初始近似值，然后按一定的法则求出更准确的解，即是用某种极限过程逐步逼近准确解的方法。

4.这次实践，将采用直接法：列主元高斯消去法，全主元高斯消去法；迭代法：雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法。

三 详细设计 设有线性方程组11112211n n a x a x a x b +++=21122222n n a x a x a x b +++= 1122n n nn n n a x a x a x b +++=令A= 111212122212n n n n nn a a a aa a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ x=12n x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ b= 12n b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一. 上三角方程组的求解很简单。

所以若能将方程组化为上三角方程组，那就很容易得到方程的解，高斯消去法则是一种简洁高效的方法，可以将方程组化为上三角方程组，但是这种方法必须满足每一步时0kk a =才能求解，还有当kk a 绝对值很小时，作分母会引起较大的舍入误差。

因此在消元过程中应尽量选择绝对值较大的系数作为主元素。

1.列主元消去法很好的解决这一问题。

将1x 的系数1(1)k a k n ≤≤中绝对值最大者作为主元素，交换第一行和此元素所在的行，然后主元消去非主元项1x 的系数，。

disp('请注意：高斯-塞德尔迭代的结果没有达 到给定的精度，并且迭代次数已经超过最大迭 代次数max1,方程组的精确解jX和迭代向量X 如下： ') X=X';jX=jX' end end X=X';D,U,L,jX=jX'
高斯－塞德尔的输入为：
A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; b=[1;1;2]; X0=[0 0 0]'; X=gsdddy(A,b,X0,inf, 0.001,100) A=[10 2 3;2 10 1;3 1 10]; 请注意：因为对角矩阵 D 非奇异，所以此方程组有解.
0.0301 0.0758 0.1834
8.心得体会：
这已经是第三次实验了， 或多或少我已经对 MATLAB 有了更多的了 解与深入的学习。通过这次实验我了解了雅可比迭代法和高斯－ 塞德尔迭代法的基本思想，虽然我们不能熟练编出程序，但还是 能看明白的。运行起来也比较容易，让我跟好的了解迭代法的多 样性，使平常手算的题能得到很好的验证。通过这次实验让我对 MATLAB 又有了更深一层的认识，使我对这门课兴趣也更加浓厚。
运行雅可比迭代程序输入： A=[10
b=[1;1;2];X0=[0 0 0]'; X=jacdd(A,b,X0,inf,0.001,100)
2 3;2 10 1;3 1 10];
结果为：
k= 1 X=
0.1000 k= 2 X= 0.0200 k= 3 X= 0.0400 k= 4 X= 0.0276 k= 5 X= 0.0314 k= 6 X= 0.0294 k= 7 X= 0.0301 k= 8 X= 0.0297
6、 设计思想：先化简，把对角线的项提到左边，其它项