基本不等式导学案

基本不等式及其运用专题复习导学案复习目标：1.熟练掌握不等式及其成立时的条件2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题．基础再现：1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大) 一个技巧a ＋b 2≥ab (a ，b ＞0)逆用就是ab ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a （a ，b ＞0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a 2＋b 2≥2ab 逆用就是ab ≤a 2＋b 22； 两个变形(1)a 2＋b 22≥22⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a ≥ab (a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)； (2) a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时取等号)． 三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致．课前热身练习：1.若3x >-，则23x x ++的最小值为 223- 2. .设0x <,则433y x x =--的最小值为____433+______.3．设,,5x y x y ∈+=R 且，则33x y +的最小值是___183__4.若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为___12_ 考点一 利用基本不等式求最值【典例剖析】►(1)已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y 的最小值是 4 (2)当x ＞0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为___1_____． (3) 求的值域.(][),19,-∞⋃+∞考点二 利用基本不等式解决恒成立问题【典例剖析】►1.(2010·山东)若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是_____15a ≥___．2.（2009·海门市第一次诊断）已知0,0x y >>，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是 ()4,2- .3.的最小值为恒成立，则对任意的正实数）已知不等式（)0(,9)1(>≥++a a y x ya x y x 4 .考点三 利用基本不等式解决实际问题【典例剖析】►某种汽车的购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元，问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？答案：10年解实际应用题要注意以下几点：（挑战能力.）甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过c 千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (千米/小时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y (元)表示为速度v (千米/小时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?答案 用对号函数反馈练习： 的最小值求满足已知正数yx y x y x 11,12,.1+=+ 322+ . 的最大值求)52(,520.2x x y x -=<< 15. 3.已知03<<-x ，则29x x y -=的最小值是： 92-. 4.若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为_____18___．5.正数a 、b 满足 b a +=1，求 )1)(1(++b a 的最大值 32. 6. (2010·山东卷) 已知,x y R +∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为 3 . 7.(2011·郑州模拟)已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是___10_____．8..某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ,则有 (B )A.x =21(a+b )B.x ≤21(a +b )C.x >21(a +b )D.x ≥21 (a +b ) 9.已知正数a ,b 满足ab =a +b +5,则ab 的取值范围是 (C )A.［7+6,+∞)B.［7-6,+∞)C.［7+26,+∞)D.［7-26,+∞)10.求函数最大值)10(log 5log 2)(22<<++=x xx x f 225- . 11.(2011·广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10万件，每件水晶产品的销售价格为100元，固定成本为80元．从今年起，工厂投入100万元科技成本．并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本．预计产量每年递增1万件，每件水晶产品的固定成本g (n )与科技成本的投入次数n 的关系是g (n )＝80n ＋1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f (n )万元．(1)求出f (n )的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？n=8 520万12.（挑战能力）的最大值为恒成立，则且设n ca n cb b a N nc b a -≥-+-∈>>*11, 4 13.（挑战能力）的最大值求满足若正数2221,12,b a b a b a +=+ 324 . 14.（挑战能力）的最小值求2)3(222++=x x y 32。

基本不等式导学案基本不等式导学案均值不等式【使用说明】1.自学课本P69—P71,仔细阅读课本，课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，在做题过程中，如遇不会问题再回去阅读课本；AA完成所有题目，BB完成除（**）外所有题目，CC完成不带（*）题目。

加?为重点内容，加△为次重点内容。

2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。

3.小组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。

4.必须掌握的方法：运用均值不等式求函数的最值；数学思想：整体代换思想，数形结合思想.一、学习目标：1.熟练掌握均值不等式，提高运用均值不等式解题的能力；2.自主学习，合作交流，探究均值不等式应用的规律及方法；3.激情投入，高效学习，养成扎实严谨的科学态度。

二、问题导学：问题1：均值定理是如何叙述的？你会证明吗。

思考1：均值定理的适用范围是什么？成立的条件是什么？思考2：“当且仅当”的含义是什么？思考3：什么是算术平均值？什么是几何平均值？思考4：均值不等式有几个变形？思考5：“任意两个同号的数的算术平均值不小于它们的几何平均值”的说法是否正确？为什么？△问题2：重要不等式a2b2?2ab与均值不等式的区别与联系？三、合作探究探究一、运用均值定理证明不等式例1. 已知a,b同号，求证：ab?12，并说明等号成立的条件。

拓展：已知a,b?R?,求证：(a?1a)(b?1b)?4，并说明等号成立的条件。

探究二、利用均值不等式解决实际问题例2. （1）一个矩形的.面积为64m2.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m .问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？小结：已知x、y都是正数，(1)若积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值_________;(2)若和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy 有最大值_________即求用均值不等式求函数的最值时要注意成立条件：①____________②_________③_______探究三、求函数的最值例3. 求函数f(x)?x2?2x?3x(x?0)的最小值，以及此时x的值。

课时导学案设计：高一数学必修5第三章不等式《基本不等式的应用》导学案一、学习目标12a b +≤；会用此不等式证明不等式,会应用此不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；22a b +≤，并会用此定理求某些函数的最大、最小值。

3．情态与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德。

二、先学引导先学要点1．基本不等式：如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤求最大（小）值的步骤。

质疑问难：我在学习基本不等式是遇到的问题是：（1）（2）三、学法指导四、问题探究(一))0,0()()(>>++=B A C x g B x Ag y 类型函数求最值（g(x)恒正或恒负） 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x例2：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （二）nmx c bx ax y +++=2类型函数求最值（给出x 的范围）例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

变式：若改为x > 4呢2.求函数2y =的值域。

（三）)(cx b ax y -=（ac<0）类型函数求最值例4. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

（四） 二元函数的条件最值 例5.（1)已知 且 ，求 的最小值.（2）已知正数 满足 ，求 的最小值.例6.已知x>0,y>0,xy=x+y+3,求xy 和x+y 的取值范围五、课内练习 ()241.1.1x x y x x -+=>-求函数的最小值()2114x y x x x -=>-+变为求的最大值呢？112x y +=,x y 2x y +y x 12+,0x y >1x y +=【基础题】求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- （3）4sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ （4）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx 11+的最小值 【提高题】（1）已知01x <<，求函数y .；（2）203x <<，求函数y . 【拓展性】 已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值. 六、 课后作业【基础性】1. 设x >0,则133y x x=--的最大值为 （ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．3- Ｄ．－12. 若x , y 是正数，且141x y+=，则xy 有 （ ） Ａ．最大值16 Ｂ．最小值116 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值1163. 下列函数中，最小值为4的是 （ ） Ａ．4y x x =+ Ｂ．4sin sin y x x=+ (0)x π<< Ｃ．e 4e x x y -=+ Ｄ．3log 4log 3x y x =+4. 函数y =的最大值为 .【提高性】5. 已知正数a , b 满足a +b =1（1）求ab 的取值范围;（2）求1ab ab +的最小值. 6． 若1->x ，则x 为何值时11++x x 有最小值，最小值为几？7. 设x、y 满足约束条件，若目标函数（其中0,0a b >>)的最大值为3,则的最小值为（ ）A ． 3B 。

当且仅当 = = 10米，即围成正方形时，有最短长度40米
基本不等式的实际应用
【例题】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和
宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，米，且 > 0， > 0
所以篱笆的面积为平方米，根据基本不等式，
2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，
下列各式中最大的是(
A．a2＋b2
B．2 ab
)
D
[∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，
b2＜b，
∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞
2ab(∵a≠b)，
C．2ab
∴2ab＜a2＋b2＜a＋b.
D．a＋b
又∵a＋b＞2 ab(∵a≠b)，∴a
＋bห้องสมุดไป่ตู้大．]
3．已知ab＝1，a>0，b>0，则a
＋b的最小值为(
)
B [∵a>0，b>0，∴a＋
b≥2 ab＝2，当且仅当a＝b＝1时取
A．1
B．2
C．4
D．8
等号，故a＋b的最小值为2.]
4．当a，b∈R时，下列不等关系
成立的是________．
x2＋y2
a＋b
③ [根据 2 ≥xy， 2
≥ ab成立的条件判断，知①②④
a＋b
① 2 ≥ ab；②a－b≥2 ab；
当，，为正实数时，
++

≥

.
当且仅当 = = 时成立
②n元基本不等式：
+ + ⋯ +
≥


⋯
当且仅当 = = ⋯ = 时成立