18学年高中物理能量守恒与可持续发展4.2.1研究机械能守恒定律一教学案沪科版2180308137
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1 4.2.1 研究机械能守恒定律(一)
——机械能守恒定律及其应用
[学习目标] 1.知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化.2.能够根据动能定理、重力做功与重力势能变化间的关系，推导出机械能守恒定律.3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒，能运用机械能守恒定律解决有关问题.
一、动能与势能的相互转化
1.重力势能与动能的转化
只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，物体的重力势能转化为动能，若重力对物体做负功，则物体的重力势能增加，动能减少，物体的动能转化为重力势能.
2.弹性势能与动能的转化
只有弹簧弹力做功时，若弹力对物体做正功，则弹簧的弹性势能减少，物体的动能增加，弹簧的弹性势能转化为物体的动能；若弹力对物体做负功，则弹簧的弹性势能增加，物体的动能减少，物体的动能转化为弹簧的弹性势能.
3.机械能：重力势能、弹性势能与动能统称为机械能.
二、机械能守恒定律
1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变.
2.表达式：E＝Ek＋Ep＝恒量.
[即学即用]
1.判断下列说法的正误.
(1)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用.(×)
(2)合力为零，物体的机械能一定守恒.(×)
(3)合力做功为零，物体的机械能保持不变.(×)
(4)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒.(√)
2.如图1所示，桌面高为h，质量为m的小球从离桌面高为H处自由下落，不计空气阻力，假设桌面处的重力势能为零，则小球落到地面前瞬间的机械能为________. 2
图1
答案
mgH
一、机械能守恒定律
[导学探究] 如图2所示，质量为m的物体自由下落的过程中，经过高度为h1的A处时速度为v1，下落到高度为h2的B处时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面.
图2
(1)求物体在A、B处的机械能EA、EB；
(2)比较物体在A、B处的机械能的大小.
答案 (1)物体在A处的机械能EA＝mgh1＋12mv 21
物体在B处的机械能EB＝mgh2＋12mv 22
(2)根据动能定理W＝12mv 22－12mv 21
下落过程中重力对物体做功，重力做的功等于物体重力势能变化量的相反数，则
W＝mgh1－mgh2
由以上两式可得：12mv 22－12mv 21＝mgh1－mgh2
移项得12mv 21＋mgh1＝12mv 22＋mgh2
由此可知物体在A、B两处的机械能相等.
[知识深化]
机械能守恒定律的理解
1.“守恒”是指系统能量的转化只限于动能、重力势能和弹性势能，没有其他能量参与，而且在整个过程中的任何时刻、任何位置，机械能的总量总保持不变. 3 2.条件：(1)只有重力或弹力做功，其他力不做功(注意：条件不是合力做功等于零，也不是合力等于零).
(2)只发生动能和势能(重力势能和弹性势能)的相互转化，无其他形式的能参与转化.
例1 (多选)不计空气阻力，下列说法中正确的是( )
A.用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和绳子的拉力对物体做功，物体机械能守恒
B.做竖直上抛运动的物体，只有重力对物体做功，物体机械能守恒
C.沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，物体机械能守恒
D.用水平拉力使物体沿光滑水平面做匀加速直线运动，物体机械能守恒
答案
BC
例2 (多选)如图3所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中(
)
图3
A.弹簧的弹性势能不断增加
B.弹簧的弹性势能不断减少
C.小球和弹簧组成的系统机械能不断减少
D.小球和弹簧组成的系统机械能保持不变
答案 AD
解析 从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确.
二、机械能守恒定律的应用
例3 如图4所示，质量m＝70 kg(包括雪具)的运动员以10 m/s的速度从高h＝10 m的滑雪场A点沿斜坡自由滑下，以最低点B所在的水平面为零势能面，一切阻力可忽略不计.求运动员：(g＝10 m/s2)
图4
(1)在A点时的机械能；
(2)到达最低点B时的速度大小；
(3)相对于B点能到达的最大高度.
答案 (1)10 500 J (2)103 m/s (3)15 m 4 解析 (1)运动员在A点时的机械能E＝Ek＋Ep＝12mv2＋mgh＝12×70×102 J＋70×10×10 J＝10 500 J.
(2)运动员从A点运动到B点的过程，根据机械能守恒定律得E＝12mv 2B，解得vB＝2Em＝2×10 50070 m/s＝103 m/s
(3)运动员从A点运动到斜坡上最高点的过程中，由机械能守恒定律得E＝mgh′，解得h′＝10 50070×10 m＝15 m.
1.机械能守恒定律的应用步骤
首先对研究对象进行正确的受力分析，判断各个力是否做功，并分析是否符合机械能守恒的条件.若机械能守恒，则根据机械能守恒定律列出方程，或再辅以其他方程进行求解.
2.机械能守恒定律常用的三种表达式
(1)从不同状态看：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2(或E1＝E2)
此式表示系统的两个状态的机械能总量相等.
(2)从能的转化角度看：ΔEk＝－ΔEp
此式表示系统动能的增加(减少)量等于势能的减少(增加)量.
(3)从能的转移角度看：ΔEA增＝ΔEB减.
此式表示系统A部分机械能的增加量等于系统B部分机械能的减少量.
针对训练 某游乐场过山车简化模型如图5所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动.
图5
(1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？
(2)考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过游客自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度不得超过多少？
答案 (1)2.5R (2)3R 5 解析 (1)设过山车总质量为M，从高度h1处开始下滑，恰能以v1通过圆形轨道最高点.
在圆形轨道最高点有：Mg＝Mv 21R ①
运动过程机械能守恒：Mgh1＝2MgR＋12Mv 21 ②
由①②式得：h1＝2.5R
即高度至少为2.5R.
(2)设从高度h2处开始下滑，游客质量为m，过圆周最低点时速度为v2，游客受到的支持力最大是N＝7mg.
最低点：N－mg＝mv 22R ③
运动过程机械能守恒：mgh2＝12mv 22 ④
由③④式得：h2＝3R
即高度不得超过3R.
1.(机械能是否守恒的判断)(多选)下列物体中，机械能守恒的是( )
A.做平抛运动的物体
B.被匀速吊起的集装箱
C.光滑曲面上自由运动的物体
D.以45g的加速度竖直向上做匀减速运动的物体
答案 AC
2.(机械能守恒定律的应用)如图6所示，从光滑的14圆弧槽的最高点静止滑下的小物块，滑出槽口时速度沿水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面在水平面内，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1与R2的关系为(
)
图6
A.R1≤R2 B.R1≥R2 C.R1≤R22 D.R1≥R22 6 答案 D
解析 小物块沿光滑的14圆弧槽下滑的过程，只有重力做功，机械能守恒，故有
mgR1＝12mv2 ①
要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，即做平抛运动，则
mg≤mv2R2 ②
由①②解得R1≥R22.
3.(机械能守恒定律的应用)如图7所示，装置由一理想弹簧发射器及两个轨道组成.其中轨道Ⅰ由光滑轨道AB与粗糙直轨道BC平滑连接，高度差分别是h1＝0.20 m、h2＝0.10 m，BC水平距离L＝1.00 m，轨道Ⅱ由AE、螺旋圆形EFG和GB三段光滑轨道平滑连接而成，且A点与F点等高，当弹簧压缩量为d时，恰能使质量m＝0.05 kg的滑块沿轨道Ⅰ上升到B点；当弹簧压缩量为2d时，恰能使滑块沿轨道Ⅰ上升到C点.(g取10 m/s2，已知弹簧弹性势能与压缩量的平方成正比)
图7
(1)当弹簧压缩量为d时，求弹簧的弹性势能及滑块离开弹簧瞬间的速度大小.
(2)求滑块与轨道BC间的动摩擦因数.
(3)当弹簧压缩量为d时，若沿轨道Ⅱ运动，滑块能否上升到B点？请通过计算说明理由.
答案 (1)0.1 J 2 m/s (2)0.5
(3)不一定，原因见解析
解析 (1)以A点所在的水平面为参考平面，由机械能守恒定律可得
E弹＝ΔEk＝ΔEp＝mgh1＝0.05×10×0.2 J＝0.1 J
由ΔEk＝12mv 20可得v0＝2 m/s
(2)由E弹∝d2可得ΔEk′＝E弹′＝4E弹＝4mgh1
由动能定理可得－mg(h1＋h2)－μmgL＝－ΔEk′
解得μ＝0.5
(3)恰能通过圆形轨道最高点必须满足的条件是mg＝mv2Rm
由机械能守恒定律有v＝v0＝2 m/s 7 得Rm＝0.4 m
当R≤0.4 m时，滑块能上升到B点；
当R>0.4 m时，滑块不能上升到B点.
课时作业
一、选择题(1～7题为单选题，8～10题为多选题)
1.一个物体在运动的过程中所受的合力为零，则这个过程中( )
A.机械能一定不变
B.物体的动能保持不变，而势能一定变化
C.若物体的势能变化，机械能一定变化
D.若物体的势能变化，机械能不一定变化
答案 C
解析 由于物体在平衡力的作用下运动，速度不变，即物体的动能不变，当物体的势能变化时机械能一定变化，C正确，A、B、D错误.
2.下列运动的物体，机械能守恒的是( )
A.物体沿斜面匀速下滑
B.物体从高处以0.9g的加速度竖直下落
C.物体沿光滑曲面下滑
D.拉着一个物体沿光滑的斜面匀速上升
答案 C
解析 物体沿斜面匀速下滑时，动能不变，重力势能减小，所以机械能减小.物体以0.9g的加速度竖直下落时，除重力外，其他力的合力向上，大小为0.1mg，其他力的合力在物体下落时对物体做负功，物体的机械能不守恒.物体沿光滑曲面下滑时，只有重力做功，机械能守恒.拉着物体沿光滑斜面上升时，拉力对物体做功，物体的机械能不守恒.综上所述，机械能守恒的是C项.
3.质量为1 kg的物体从倾角为30°、长2 m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置所在的平面为零势能面，那么，当物体滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10 m/s2)( )
A.0 J，－5 J B.0 J，－10 J C.10 J，5 J D.20 J，－10 J
答案 A
4.如图1所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施.管道除D点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑.若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、第二个圆管形管道A、B内部(管道A比管道B高).某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过管道A内部最高点时，对管壁恰好无压力.则这名挑战者( )
