北师大版初三数学圆练习二 【知识点、多解题、易错题】
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练习二
一、知识点：
㈠、确定圆的条件
1．过已知两点的圆的圆心组成的图形是
_____________________________________，
_____________________________________确定一个圆．
2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的
_____________，它的圆心叫做三角形的_______，它是三角形
_______________________的交点；这个三角形叫做圆的
__________________-
3．三角形外心的位置：
锐角三角形的外心在_________________________;
直角三角形的外心是_________________________;
钝角三角形的外心在_________________________．
㈡直线和圆的位置关系
1．直线和圆的位置关系有三种：（1）_____________；（2）
____________；（3）____________
2．当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相交，此时圆
心到直线的距离_______半径；
当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相切，此时圆心
到直线的距离_______半径；
当直线和圆 _____________公共点时，叫做直线和圆相离，此时圆心
到直线的距离_______半径；
3．切线的性质：圆的切线___________________
P
A
O
如图可表述为：
或：PA切⊙O于点A____________________________
4．判定直线为圆的切线：经过_____________，并且垂直于_______________的直线是圆的切线。
如图可表述为：
5．和三角形各边____________的圆叫做三角形的___________，它的
圆心叫做三角形的__________，是三角形
__________________________________的交点; 这个三角形叫做圆的
__________________-
6.过圆外一点可引圆的______条切线，这个点到各个切点的距离
________。
二、一些常见关系及辅助线作法：
7.已知⊙O中，直径CD⊥AB于点E，
⑴若a＝r，则∠AOB＝_______º，d＝______（用含r的代数式表
示）．
⑵若a＝r，则∠AOB＝_______º，d＝______（用含r的代数式表
示）．
⑶若a＝r，则∠AOB＝_______º，d＝______（用含r的代数式表
示）．
8. 已知△ABC是⊙O的内接三角形，⊙I的外切三角形。设⊙O的半
径为R，⊙I的半径为r。
⑴若△ABC的周长为s，则△ABC的面积与s，r的关系为
_______________________．
⑵若△ABC是边长为a的等边三角形，则R＝_______，r＝
______（用含a的代数式表示）．
⑶若△ABC是直角边长为a, b，斜边长为c的直角三角形，则R＝
_______，r＝______________（用含a, b, c的代数式表示）．
⑷若△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，则R＝_______，r＝
_______（用含a的代数式表示）．
⑸若△ABC是腰长为a，顶角为120º的等腰三角形，则R＝
_______（用含a的代数式表示）．
9.已知直线是圆的切线，常作的辅助线是连接_____________得
________________
10.证明一条直线是圆的切线方法：
⑴证明直线和圆只有一个公共点（不常用）⑵已知直线和圆有一个公共点时所作的辅助线为_____________，证
明______________
⑶已知中没有说明直线和圆的公共点时所作的辅助线为
_____________，证明______________
11. 作△ABC的外接圆的方法：分别作两边的________________，使
这两条直线交于点O，以Ｏ为圆心，OA为半径作圆。所作的圆就是
△ABC的外接圆。
12．作△ABC的内切圆的方法：⑴分别作两内角的
________________，使这两条线段交于点I；⑵过I作IE⊥BC于E；⑶
以I为圆心，IE为半径作圆。所作的圆就是△ABC的内切圆。
三、课堂练习题：
13．下列命题中，真命题的个数是 （ ）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，
并且只有一个内接三角形。③任意一个三角形一定有一个外接圆，并
且只有一个外接圆，④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
14．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A、B、C，其中B点坐
标为（4，4），则该圆弧所在的圆的圆心的坐标 。
第14题 第15题 第16题
15. 图中△ABC外接圆的圆心坐标是
16. 如图，方格纸上一圆经过（2，5），（2，－3）两点，则该圆圆
心的坐标为
17. 一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，
这只猫应蹲在___________地方，才能最省力地顾及到三个洞口。
18.圆外切平行四边形是_____________形，圆内接平行四边形是
_______形。
19．已知直线a：y＝x－3和点A（0，－3），B（3，0）.设P为a上一
点，试判断P、A、B是否在同一个圆上。
20.如图，已知圆的内接三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一
点，E是直线AD的延长线与
△ABC外接圆的交点。
（1）求证：AB2＝AD·AE
（2）当D为BC延长线上一点时，第（1）问的结论成立吗？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由。
21.直线AB经过⊙O上一点C，且OA＝OB，CA＝CB，求证直线AB
是⊙O的切线。
A
D
E
BC
22.直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上一
点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，则以AB为直径的圆与边CD有怎
样的位置关系？
四、课后练习题：
1. Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5 ，AC＝12 则其外接圆半径
为
2. 若直角三角形的两直角边长分别为6，8，则这个三角形的外接圆
直径是
3. 等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则
△ABC的面积是
4. 在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4，那么Rt△ABC
的外接圆的面积为
5. 等边三角形的边长为4，则此三角形外接圆的半径为
6．边长为6的正三角形的内切圆的半径是（ ）
A. B. 2 C. D. 2
7．△ABC中∠A＝90°，AB＝AC，以A为圆心的圆切BC于Ｄ，若
BC＝12CM，则⊙A的半径d为 cm
8. 如图，AB是⊙Ｏ的直径，∠CAB＝30°，过C作⊙Ｏ的切线交AB
的延长线于D，OD＝15cm， 则AB＝ cm
第8题 第13题 第15题
9. 已知等边三角形ABC的边长为2，那么这个三角形的内切圆的半径
为 。10. Rt △ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以C为圆心作⊙C
与AB相切，则⊙C的半径为 。
11. 已知⊙O的直径为6，P为直线l上一点，OP＝3，那么直线l与⊙O
的位置关系是
12. 若一个直角三角形的斜边长为10，其内切圆半径为2，则这个三
角形的周长是 。
13. 如图，PA切⊙Ｏ于点A，PO交⊙Ｏ于点Ｂ，若PA＝６，BP＝4，
则⊙Ｏ的半径为（ ）
A. B. C.2 D.5
14. 以三角形的一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是
（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角
形 D.钝角三角形
15如图，是一块残破的圆轮片，A、B、C是圆弧上的三点
⑴作出弧ACB所在的⊙O（不写作法，保留作图痕迹）
⑵如果AC＝BC＝60cm，∠ACB＝120°，
求该残破圆轮片的半径。
16．已知圆的直经为13cm，如果直线和圆心的距离为4.5cm，那么
直线和圆有 公共点。
17. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm， AC＝3cm，以点C为
圆心，r为半径的圆与AB有何位置关系？为什么？
18．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CD，（ 点D在
⊙O外）AC平分∠BAD
（1）求证：CD是⊙O的切线
（2）若DC、AB的延长线相交于点E，且DE＝12，AD＝9，求BE的长。
19．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC 的平分线交BC于
D，E为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长的半径作圆，求
证：
（1）AC是⊙D的切线
（2）AB+EB＝AC
20．一个圆球放置在V形架中，如图是它的平面示意图，CA和CB是
⊙O的切线，切点分别为A，B，如果⊙O的半径为cm且AB＝6m，求
∠ACB的度数。
21. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AD是△ABC的高，⊙O的直径AE交
BC于点F，点P在BC的延长线上，∠CAP＝∠B
（1）求证：PA是⊙O的切线
（2）求证：PC·PB＝PD·PF
