大学一年级医用高数期末考试题与答案
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第一学期高等数学期末考试试卷答案
第一学期高等数学期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分），
1 cos x x 2 x
1．求极限 lim ．
sin 3 x
x 0
解：
1 cosx x
1 c o xs x
2 x
1
1
1 cosx x 2x
2
2
lim lim lim
sin 3 x
x 3
x 3
x 0 x 0 x 0
x ln 1 cosx ln 1 cosx
x ln 2 xln 2
1 cos x 1 c oxs
lim e x3 1 lim e 1 1 lim 2 lim 2
x 0 x 0 cosx x 0 x 3 x 0 x2
x ln 2
lim
1 s i nx 1 ．
x 0 c o sx 2x 4
与 x 2 3 x
2．设 x 0 时， f x 是等价无穷小， f t dt 与 Axk 等价无穷小，求常数 k 与 A ．
2 0
解：
3 x
3 x f t dt
由于当 x 0 时， f t dt 与 Axk 等价无穷小，所以 lim 0 k 1 ．而
0 x 0 Ax
3 x 2
1 x 3 1
f t dt f 3 x 22
f 3 x 2 3 3 x 2
x 3 x 3
1
lim 0 lim 3 3 x2 lim lim lim
Ax k k 1 2 Akx k 1 6Akx k 1 6Akx k 1
x 0 x 0 Akx x 0 x 0 x 0
x 3
2
所以， lim 1 1．因此， k 1, A 1
．
x 0 6 Akxk 1 6
3．如果不定积分 x2 ax b dx 中不含有对数函数，求常数 a 与 b 应满足的条件．
x 1 2 1 x2
解：
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x2 ax b
化为部分分式，有
将 2
x2
x 1 1
x2 ax b A B
2 Cx D ，
2
x 1
x 1 1 x 2
x 1 1 x2
因此不定积分 x2 ax b dx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数
x 1 2 1 x2
A C 0 ．
即 x2 ax b B D B 1 x 2 D x 1 2
x 1 2 1 x2
x 1 2 1 x2
x 1 2 ．
1 x 2
所以，有 x2 ax b B 1 x 2 D x 1 2 B D x2 2Dx B D ．
比较上式两端的系数，有 1 B D , a 2D, b B D ．所以，得 b 1．
5
2
5．计算定积分 min 1, x 2 dx ．
0
解：
m i n1, x 2 x 2 x 2 1
1 x 2 1
1 x 1
2 x 1 x 2
x 2 2
x ．
3
1 x 3
5
1
2 5
2 2 13
所以， min 1, x 2 dx 1dx 2 x dx x 2 dx
．
0 0 1 2 8
5．设曲线 C 的极坐标方程为 r a sin 3 ，求曲线 C 的全长．
3
解：
曲线 r a sin3 一周的定义域为 0
3 ，即 0 3 ．因此曲线 C 的全长为
3
3
2
2 3 3 3
s r r d 2 6 a 2 4 2 2 a ． a s i n s i n c o s d a s i n d
0 0 3 3 3 0 3 2
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二．（本题满分 45 分，共有 5 道小题，每道小题 9 分），
6．求出函数 f x lim sin x 的所有间断点，并指出这些间断点的类型．
2 n
n 1 2 x
解：
sin x 1
x
1 2
1
sin x x
f x lim 2 2 ．
n 1 2n 1 1
2 x
2 x
2
0 1
x
2
因此 x1 1 与 x2 1 是函数 f x 的间断点．
22
l i m f x l i m0 0， lim f x lim sin x 1 ，因此 x 1 是函数 f x 的第一类可
x 1 x 1 x 1 x1 2
2 2 2 2
去型间断点．
lim f x lim s i n x 1 ， lim f x lim 0 0 ，因此 x 1
是函数 f x 的第一类可去型
x 1 1 1 x 1 2
2 x x
2
2 2
间断点．
7．设 是函数 f x arcsinx 在区间 0, b 上使用 Lagrange （拉格朗日） 中值定理中的 “中值 ”，
求极限 lim ．
b 0 b
解：
f x a r c sixn在区间
0, b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在 0, b ，使得
arcsinb arcsin0 1 ．
b 0
1 2
b 2
所以， 2 1 ．因此，
arcsinb
b 2
2 1
2
2
arcsinb b
lim lim a r c sib n
2 b2 lim 2
b 0 b b 0 b 0 b2 a r c s bin
令 t arcsin b ，则有
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2 t 2 2 t 2 2
l i m 2 si n t s i n t
l i m 2 2 l i m 4
b 0 b t 0 t s i nt t 0 t
lim 2t sin 2t 2 2 cos2t 1 1 c o s2t 1 2s i n2t 1
4t 3 lim
12t 2 l i m
t 2 l i m
3 t 0 t 0 6 t 0 6 t 0 2t
所以， lim
b 1 ．
b 0 3
1 x 1
8．设 f x ey 2 y dy ，求 f x dx ．
0 0
解：
1 1 1
f x dx xf
x xf x dx
0
0 0
1 x
在方程 f x ey 2 y dy 中，令 x 1 ，得
0
1 1 0
f 1 ey 2 y dy ey 2 y dy 0 ．
0 0
1 x
