.word 格式 .北京市旭日区 2016-2017 学年度高三年级第一学期一致考试数学试卷 （理工类 ）2016 ． 11（考试时间 120 分钟满分 150 分）本试卷分为选择题 （共 40 分）和非选择题 （共 110 分）两部分第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题 ：本大题共 8 小题 ，每题 5 分，共 40 分． 在每题给出的四个选项中，选出切合题目要求的一项 ．1． 已知全集 UR ，会合Ax | x 22x 0 ， B x | x 1 0 ，则AI(e U B)A ． x | 0 x 1B ． x | x 0C ． x | x 2D ． x |1 x 22． 以下函数中 ，在其定义域上既是偶函数又在(0 ， ) 上单一递减的是A ． y x 2B ． y x 1C ． ylg | x | D ． y2x3． 若 a log 2.1 0.6 ， b 2.10.6， c log 0.5 0.6 ，则 a ， b ， c 的大小关系是A ． a b cB ． b c aC ． c b aD ． b a c4 ． 已 知 函 数 f ( x)ax 2x ， 若 对 任 意 x 1 , x 2 [2,) ， 且 x 1x 2，不等式f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 恒建立 ，则实数 a 的取值范围是x 1 x 21 ) 1 )1 )1 )A ．( ,B ．[ ,C ．( ,D ．[ ,22445． 设 m R 且 m4 4 ”建立的一个充足不用要条件是0 ，“不等式 m+mA ． m 0B ． m 1C ． m 2D ． m 26．已知三角 形 ABC 外接圆 O 的半径为uuur uuur uuur0 ，1（ O 为圆心），且 2OA AB ACuuur uuur uuur uuur |OA| 2| AB |，则 CA BC 等于A．15B．15 15 15 4 2C．4D．27．已知函数f ( x) x 1, x 0,f ( f ( x))1的零点个数是log2 x , x则函数 g( x)0, 2A． 4 B．3 C． 2 D． 18. 5 个黑球和 4 个白球从左到右随意排成一排，以下说法正确的选项是A．总存在一个黑球，它右边的白球和黑球同样多B．总存在一个白球，它右边的白球和黑球同样多C．总存在一个黑球，它右边的白球比黑球少一个D．总存在一个白球，它右边的白球比黑球少一个第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．9．已知平面向量a (1,2), b ( 2, y) .若a//b，则y .10 ．函数f ( x) cos2 x sin 2 x 的单一递减区间为.11 ．各项均为正数的等比数列a n的前n项和为S n . 若a3 2，S4 5S2，则a1 ， S4 ．12．已知角3，则 tan A ，A 为三角形的一个内角，且 cos A5tan(A ) .413 ．已知函数f ( x)mx2 1,x 0,, ) 上是拥有单一性，则实数 m 的取值范在 (( m2 1)2x , x 0围.14 ．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有以下问题 :“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相遇．”其粗心为：“此刻有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是 3000 里，良马第一天行193 里，以后每日比前一天多行 13 里，驽马第一天行 97 里，以后每日比前一天少行 0.5 里．良马到齐后，马上返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确立走开长安后的第天，两马相逢．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15 ．（本小题满分 13 分）已知数列 { a n}( n N ) 是公差不为0 的等差数列，a11，且1 1 1a , , 成等比2a4a8数列 .（Ⅰ）求数列 { a n } 的通项公式；（Ⅱ）设数列{ 1}的前 n 项和为 T n，求证: T n 1.a nan 116 ．（本小题满分13 分）已知函数f ( x) a sin x 3 cos x （a R ）的图象经过点( ,0).3 （Ⅰ）求 f ( x) 的最小正周期；（Ⅱ）若 x [3] ，求 f (x) 的取值范围. ,2 2北京市旭日区2017届高中三年级上学期期中考试数学理试题含答案.word 格式 .17 ．（ 本小题满分 13 分）如图，已知A,B,C,D 四点共面，CD=1,BC 2,AB 4,2 7DABC 120o , cos BDC.7C（Ⅰ） 求 sin DBC 的值 ；（Ⅱ）求 AD 的长.AB18 ． （本小题满分 13 分）已知函数 x 2 π π f (x)ax cos x (a R ) ， x [ ,] ．42 2（Ⅰ） 若函数 f (x) 是偶函数 ，试求 a 的值 ；（Ⅱ） 当 a 0 时，求证 ：函数 f ( x) 在 (0, π) 上单一递减 .2 19 ．（ 本小题满分 14 分）已知函数f (x) e x (x 2a) ， a R ．（Ⅰ） 当 a1 时，求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程 ；（Ⅱ） 若函数 f (x) 在 ( 3,0) 上单一递减 ，试求 a 的取值范围 ；（Ⅲ） 若函数 f (x) 的最小值为2e ， 试求 a 的值 ．20 ．（ 本小题满分 14 分）设 a, b 是正奇数 ，数列 { c n } （ n N ）定义以下 ： c 1 a, c 2 b ，对随意 n 3 ，.word 格式 .c n是 c n 1 c n 2的最大奇约数．数列 { c n} 中的全部项组成会合A．（Ⅰ）若 a 9, b 15，写出会合A；（Ⅱ）对 k 1 ，令d k= max{c2k, c2k 1} (max{ p, q} 表示p, q中的较大值），求证：d k 1 d k；（Ⅲ）证明会合 A 是有限集，并写出会合 A 中的最小数．.word 格式 .北京市旭日区2016-2017 学年度第一学期高三年级一致考试数学答案（理工类）2016 ． 11一、选择题：（满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D C A B A 二、填空题：（满分 30 分）题号9 10 11 12 13 144 [kπ,kππZ )1 15 4(1, 2] 16答案]( k2 2 72 3 （注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分）三、解答题：（满分 80 分）15 ．（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）设{ an}的公差为d．1 1 1 12 1 1由于a2,a4,a8 成等比数列，因此(a4 ) a2 a8 ．即(1 )2 1d a11 ．a1 3d a1 7d化简得 (a1 3d )2 (a1 d) ( a1 7d ) ，即 d 2 a1d ．又a11，且 d 0 ，解得 d 1 ．因此有an a1 ( n 1)d n ．7 分1 1 1 1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：a n a n 1 n (n 1) n n 1．.word 格式 .T n1 111L 11 11n 1 12 23 nn1T n1131613f (x)asin x3 cos x(,0)3f ( )3 a 3 0.322a13f ( x)sin x3 cos x 2sin( x3 )f (x)6x 3 6 x7 .2 236xx 5f ( x) 23 2 6x73 f ( x)1.x2 3 6f ( x)[1,2]131713BDC cosBDC2 7sin BDC2177DC= BCsinDBCBDCsinsin DBC =DCsin BDC 21 5BC 14BDC BC 2 DC 2 DB 2 2DCDB cos BDC4 1 DB 2 2 DB 2 77DB 24 7 DB 3 0DB7DB3 777cosABD =cos （120oDBC ）=cos120 o cos DBC sin120 o sin DBC= 1 5 73 21 =7 ．2 14 2 14在△ ABD 中，由于 AD 2=AB 2BD 22AB BD cos ABD=16 72 47 (7) 27，14因此 AD 3 3 ．13 分18 ．（ 本小题满分 13 分）解 ：（Ⅰ） 由于函数 f (x) 是偶函数 ，因此 f ( x) ( x)2a( x) cos( x)x 2 ax cos x4 4f ( x)x 2 ax cos x 恒建立 ．4因此 a 0 ．4 分（Ⅱ） 由题意可知 f(x)x sin x a ．x21设 g( x) sin x a ，则 g ( x) cosx ． 注意到 x (0, π) ， a 0 ．2 1 2 π2 由 g ( x) 0 ，即 cosx 0，解得 0x ．2 3 由 g ( x) 0 ，即 1 cosx 0，解得 π π2 3 x ．2 π π π因此 g( x) 在 (0,)单一递减，( , )单一递加 ．33 2因此当 x(0, πg(0) 0 a 0 ，因此 f ( x) 在 xπ) ， g (x) (0, ) 单一递减 ，33 π π π π 0 ，因此 f (x) 在 x π π当 x ( , ) ， g( x) g( ) 4 1 a( , )单一递减 ， 3 2 2 π3 2 因此当 a 0 时，函数 f ( x) 在 (0,13 分 ) 上单一递减 .219 ．（ 本小题满分 14 分）解： 由题意可知 f ( x) e x (x 22x a) ．（Ⅰ） 由于 a 1 ，则 f (0)1 ， f (0) 1 ，因此函数 f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ( 1) ( x 0) ．即 x y1 0 ．3 分（Ⅱ） 由于函数 f ( x) 在 ( 3,0) 上单一递减 ，因此当 x ( 3,0) 时， f (x) e x ( x 2 2x a) 0恒建立 ．即当 x( 3,0) 时， x 22xa 0 恒建立 ．明显 ，当 x ( 3, 1) 时，函数 g(x)x 22x a 单一递减 ，当 x( 1,0) 时，函数 g( x)x 2 2x a 单一递加 ．因此要使得 “当 x ( 3,0) 时， x22xa 0 恒建立 ”，g( 3) 0, a 3, 3 ．8 分等价于g(0) 0. 即因此 aa 0.（Ⅲ） 设 g (x) x 2 2x a ，则4 4a ．①当4 4a 0 ，即 a1 时， g(x)0，因此 f ( x) 0 ．因此函数 f ( x) 在 ( ,) 单增 ，因此函数 f ( x) 没有最小值 ．②当4 4a 0 ，即 a1 时，令 f ( x) e x ( x 22 x a) 0 得 x 22 x a 0 ，解得 x 11a 1, x 21 a 1跟着 x 变化时 ， f (x) 和 f ( x) 的变化状况以下 ：x(, 1 1 a )1 1 a( 11 a , 1+ 1 a ) 1+ 1 a( 1+ 1 a, )f ' ( x) ＋ 0－ 0 ＋ f (x)↗极大值↘极小值↗当 x (, 1 1 a ] 时， x 2( 1 1 a )22 a 2 1 a .因此 x 2a 2 2 1 a 0 .因此 f ( x) e x ( x 2a) 0 .又由于函数 f ( x) 的最小值为2e<0，因此函数 f (x) 的最小值只好在 x 21 a 1处获得 . 因此 f ( 1a 1) e 1a 1[( 1a1)2a] 2e 1 a 1 (1 a 1) 2e .因此e 1 a 1( a 1 1) .e易得 a 1 1 1 .解得 a3 ．14 分以下证明解的独一性 ，仅供参照 ：设 g (a) e 1a1(1 a 1)由于 a0 ，因此 1+ 1 a0 ， 1 1a 0 ．设 x1+ 1 a 0 ，则x 1 1 a .设 h(x) xe x ，则 h (x)e x ( x 1) .当 x0 时， h ( x) 0 ，进而易知 g(a) 为减函数 .当 a (0,3) ， g(a) 0 ；当 a (3,) ， g( a)0 ．因此方程 e 1a1( a 1 1) e 只有独一解 a 3 ．20 ．（ 本小题满分 14 分）解：（Ⅰ） 数列 { c n } 为：9 ， 15， 3， 9 ， 3， 3， 3， ．故会合 A {9,15,3} ．3 分（Ⅱ） 证明：由题设 ，对 n3 ， c n 2 ， c n 1 都是奇数 ，因此 c n 1 c n 2 是偶数 ．进而 c n 1c n 2 的最大奇约数 c nc n1cn 2 ，2因此 c n max{ c n 1 ,c n 2} ，当且仅当 c n 1 c n 2 时等号建立 ．因此 ，对 k1有c2k 1max{ c 2k ,c 2k1}d k ，且 c 2k2max{ c 2k 1,c 2k}max{ d k , d k } d k ．北京市旭日区2017届高中三年级上学期期中考试数学理试题含答案 11 / 1111 / 11 .word 格式 .d k 1 max{ c 2 k 2 , c 2k 1} d k c 2kc 2k 19 n 3c nmax{ c n 1 , c n 2 } n3c n max{ c 1 , c 2 } max{ a, b} c n max{a,b}{ c n }AAa, b14 . 专业资料 . 学习参照 .。
2016届北京市朝阳区高三第一次综合练习（一模）数学（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1. 为虚数单位，复数A. B. C. D.2. 已知全集，函数的定义域为，集合，则下列结论正确的是A. B.C. D.3. “”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.5. 在中，角，，的对边分别为，，．若，则角的值为A. B. C. 或 D. 或6. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是结余收入支出）A. 收入最高值与收入最低值的比是B. 结余最高的月份是7 月C. 1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同D. 前个月的平均收入为万元7. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是A. B. C. D.8. 若圆与曲线没有公共点，则半径的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 二项式的展开式中含的项的系数是______（用数字作答）．10. 已知等差数列中，，，则数列的通项公式 ______；______．11. 在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线与的交点的极坐标为______．12. 不等式组所表示的平面区域为．若直线与区域有公共点，则实数的取值范围是______．13. 已知为所在平面内的一点，且．若点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是______．14. 某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第（，，，）项能力特征用表示，如果某学生不具有第项能力特征如果某学生具有第项能力特征．若学生，的十二项能力特征分别记为，，则，两名学生的不同能力特征项数为______（用，表示）．如果两个同学不同能力特征项数不少于，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有名学生两两综合能力差异较大，则这名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数，．（1）若，求的单调递增区间；（2）若，求的最小正周期的最大值．16. 为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．阅读名著的本数 本 男生人数 人 女生人数 人（1）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为 的概率? （2）若从阅读名著不少于 本的学生中任选 人，设选到的男学生人数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望；（3）试判断男学生阅读名著本数的方差 与女学生阅读名著本数的方差的大小（只需写出结论）．17. 如图，在直角梯形 中， ， ， ．直角梯形通过直角梯形 以直线 为轴旋转得到，且使得平面 平面 ． 为线段 的中点， 为线段 上的动点．（1）求证： ；（2）当点 是线段 中点时，求二面角 的余弦值；（3）是否存在点 ，使得直线 平面 ?如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由．18. 已知函数 ， ．（1）求函数 的单调区间；（2）当 时，都有 成立，求 的取值范围；（3）试问过点 可作多少条直线与曲线 相切?并说明理由．19. 已知点 和椭圆．（1）设椭圆的两个焦点分别为 ， ，试求 的周长及椭圆的离心率；（2）若直线 与椭圆 交于两个不同的点 ， ，直线 ， 与 轴分别交于 ， 两点，求证： ．20. 已知等差数列 的通项公式 ．设数列 为等比数列，且 ．（1）若 ，且等比数列 的公比最小， （i ）写出数列 的前 项； （ii ）求数列 的通项公式；（2）证明：以 为首项的无穷等比数列 有无数多个．答案第一部分1. D2. D3. A4. B5. C6. D7. A8. C第二部分9.10. ；11.12.13.14. ；第三部分15. （1）当时，令，．解得，．所以的单调递增区间是，．（2）由因为，所以．则，．解得．又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为．16. （1）设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅读本数之和为．由题意可知，．（2）阅读名著不少于本的学生共人，其中男学生人数为人，故的取值为，，，，．由题意可得；；；；；所以随机变量的分布列为随机变量的均值．（3）．17. （1）由已知，且平面平面，所以，即．又因为且，所以平面．由已知，所以平面．因为平面，所以．（2）由（1）可知，，两两垂直．分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示．，所以，，，，．因为为线段的中点，为线段的中点，所以，．易知平面的一个法向量．设平面的一个法向量为，由得取，得．由图可知，二面角的大小为锐角，所以．所以二面角的余弦值为．（3）存在点，使得直线 平面．设，且，，则，所以，，．所以．设平面的一个法向量为由得取，得（显然不符合题意）．又，若 平面，则．所以．所以．所以在线段上存在点，且时，使得直线 平面．18. （1）函数的定义域为．．（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；（2）当时，令，得．当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数．综上所述，当时，函数的单调递增区间为．当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．（2）由（1）可知，（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；（2）当时，即时，函数在上为减函数，在上为增函数，所以．依题意有，解得，所以．（3）当时，即时，在区间上为减函数，所以．依题意有，解得，所以．综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．（3）设切点为，则切线斜率，切线方程为．因为切线过点，则．即．令，则．（1）当时，在区间上，，单调递增；在区间上，，单调递减，所以函数的最大值为．故方程无解，即不存在满足式．因此当时，切线的条数为．（2）当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以函数的最小值为．取，则．故在上存在唯一零点．取，则．设，，则．当时，恒成立．所以在单调递增，恒成立．所以．故在上存在唯一零点．因此当时，过点存在两条切线．（3）当时，，显然不存在过点的切线．综上所述，当时，过点存在两条切线；当时，不存在过点的切线．19. （1）由题意可知，，，所以．因为是椭圆上的点，由椭圆定义得．所以的周长为．易得椭圆的离心率．（2）由得．因为直线与椭圆有两个交点，并注意到直线不过点，所以解得或．设，，则，，，．显然直线与的斜率存在，设直线与的斜率分别为，，则因为，所以．所以．20. （1）观察数列的前若干项：，，，，，，，，，，，，因为数列是递增的整数数列，且等比数列以为首项，显然最小公比不能是，最小公比是．（i）以为首项，且公比最小的等比数列的前四项是，，，．（ii）由（i）可知，公比，所以．又，所以，，即，．再证为正整数．显然为正整数，时，，即，故，为正整数．所以，所求通项公式为，．（2）设数列是数列中包含的一个无穷等比数列，且，，所以公比．因为等比数列各项为整数，所以为整数．取，则，故．只要证是数列的项，即证．只要证为正整数，显然为正整数．又时，，即，又因为，都是正整数，故时，也都是正整数．所以数列是数列中包含的无穷等比数列，其公比有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故数列所包含的以为首项的不同无穷等比数列有无数多个．。
2017北京市朝阳区高三数 学（文）（上）期中2017.11（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{|1}A x x =>，2{|log 1}B x x =>，则AB =A. {|2}x x >B. {|12}x x <<C. {|1}x x >D. {|0}x x > 2. 执行如右图所示程序框图，则输出i 的值为 . A ．3 B ．4C ．5D ．63. 已知,m n 表示两条不同的直线，α表示平面，下列说法正确的是A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥ 4. 要想得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需将函数sin y x =的图象上所有的点 A. 先向右平移π3个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B. 先向右平移π6个单位长度，横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变C. 横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度D. 横坐标变伸长原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度5. 已知非零平面向量,a b ，则“+=+a b a b ”是“存在非零实数λ，使λb =a ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．5 B ．6 C ．7 D ．87. 函数()f x 在其定义域内满足()xf x '()e xf x +=，（其中()f x '为函数()f x 的导函数），(1)e f =，则函数()f xA ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值又无极小值21 1正视图侧视图俯视图1 1开始 i =1，S =2 结束i =i +1S >14?输出i 是否S=S+2i8. 袋子里有编号为2,3,4,5,6的五个球，某位教师从袋中任取两个不同的球. 教师把所取两球编号的和只告诉甲，其乘积只告诉乙，让甲、乙分别推断这两个球的编号. 甲说：“我无法确定.” 乙说：“我也无法确定.”甲听完乙的回答以后，甲又说：“我可以确定了.” 根据以上信息, 你可以推断出抽取的两球中A ．一定有3号球 B.一定没有3号球 C.可能有5号球 D.可能有6号球 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，48a =，则{}n a 的前5项和5S =___________.10.在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A ，将线段OA 绕原点O 按逆时针方向旋转60︒，得到线段OB ，则向量OB 的坐标为___________.11. 已知函数12log , 0< 1,()21, 1.x x x f x x -<⎧⎪=⎨⎪+≥⎩若方程()f x m =有2个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．12. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的 体积为 ；表面积为 ．13. 某品牌连锁便利店有n 个分店，A,B,C 三种商品在各分店均有销售，这三种商品的单价和重量如表1所示：商品A 商品B 商品C 单价（元） 15 20 30 每件重量（千克）0.20.3 0.4表1某日总店向各分店分配的商品A,B,C 的数量如表2所示：商品 分店分店1 分店2 …… 分店nA 12 20 m 1B 15 20 m 2 C2015m 3表2表3表示该日分配到各分店去的商品A,B,C 的总价和总重量：分店1分店2……分店n俯视图正视图 4侧视图23总价（元） a总重量（千克）b表3则a = ；b = . 14. 已知函数()f x 同时满足以下条件： ①定义域为R ； ②值域为[0,2]； ③()()0f x f x --=.试写出一个函数解析式()f x = .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）已知函数π()2sin cos()3f x x x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当π[0,]2x ∈时，求函数()f x 的取值范围.16. （本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ，满足21n n S a =-.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a 的前n 项积为n T ，求n T .17. （本小题满分13分） 已知ABC ∆中，3B π=，2a =. （Ⅰ）若3b =，求A ；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为332，求b 的值.18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 上的一个动点． （Ⅰ）若E 为PA 的中点，求证：//PC 平面BDE ； （Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面BDE ；（Ⅲ）若三棱锥P BDE -的体积是四棱锥P ABCD -体积的13，求EA PA的值．19. （本小题满分13分） 已知函数1()(1)ln f x kx k x x=--+，k ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0k >时，若函数()f x 在区间(1,2)内单调递减，求k 的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数12()ln e e xf x x x=-- . （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； （Ⅱ）求证：1ln e x x≥-； （Ⅲ）判断曲线()y f x =是否位于x 轴下方，并说明理由.PA DB EC数学试题答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACDCAABD二、填空题 题号91011121314答案 3131(,)22-3(1,]28； 14413+1080；1230.20.30.4m m m ++2|cos |y x =或 cos 1y x =+或24||1x y x =+等三、解答题15. （本小题满分13分）解：因为π()2sin cos()3f x x x =⋅-， 所以ππ()2sin (cos cos sin sin )33f x x x x =⋅+2sin cos 3sin x x x =⋅+13sin 2(1cos2)22x x =+- π3sin(2)32x =-+（Ⅰ）函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. ……………………………… 8分（Ⅱ）因为π[0,]2x ∈，所以ππ2π2[,]333x -∈-.所以π3sin(2)[,1]32x -∈-.所以3()[0,1]2f x ∈+. ……………………………… 13分16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ） 由21n n S a =-可得， 当1n =时，11a =.当2n ≥时1n n n a S S -=-,122n n n a a a -=-，即1=2n n a a - 则数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列, 即1=2n n a -，n *∈N . ………………………………8分（Ⅱ）(1)0123(1)212322n n n n n T a a a a -++++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅== ………………………………13分17. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：由正弦定理sin sin a b A B =，可得23sin sin 3A =π.所以2sin 2A =. 在三角形中，由已知b a >，所以4A π=. ………………………………6分 （Ⅱ）由面积公式1sin 2S ac B =可得33132222c =⨯⨯，解得32c =. 由余弦定理知2222cos 218614b a c ac B =+-=+-=，所以14b =………………………………13分18. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）证明：如图，设AC 交BD 于O ,连接EO ．因为底面ABCD 是菱形， 所以O 是AC 的中点． 又因为E 为PA 的中点， 所以//EO PC ．因为PC ⊄平面BDE , EO ⊂平面BDE ， 所以//PC 平面BDE ． ……………………4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥．又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥． 因为PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC ． 因为BD ⊂平面BDE ，所以平面PAC ⊥平面BDE ． ………………………………10分（Ⅲ）设四棱锥P ABCD -的体积为V ．因为PA ⊥平面ABCD ，所以13ABCD V S PA ∆=⋅⋅． 又因为底面ABCD 是菱形，所以12ABD BCD ABCD S S S ∆∆∆==， 所以1132P ABD ABD V S PA V -∆=⋅⋅=．根据题意，13P BDE V V -=， 所以111236E ABD P ABD P BDE V V V V V V ---=-=-=．又因为13E ABD ABD V S EA -∆=⋅⋅，PADBE CPADBCOE所以13E ABD P ABD V EA PA V --==． ………………………………14分 19. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >.211()k f x k x x+'=-+ 22(1)1kx k x x-++= 2(1)(1)kx x x --=（1）当0k ≤时，令()0f x '>，解得01x <<，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得1x >，此时函数()f x 为单调递减函数.（2）当0k >时，①当11k<，即1k > 时， 令()0f x '>，解得10x k <<或1x >，此时函数()f x 为单调递增函数；令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数.②当1k = 时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 在()0+∞，上为单调递增函数； ③当11k>，即01k << 时， 令()0f x '>，解得01x <<或1x k>，此时函数()f x 为单调递增函数； 令()0f x '<，解得11x k<<，此时函数()f x 为单调递减函数. ……………9分 综上所述，当0k ≤时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1+∞，； 当01k <<时，函数()f x 的单调递增区间为()0,1，(+)k∞1，，单调递减区间为(1)k1，； 当1k =时，函数()f x 的单调递增区间为()0+∞，； 当1k >时，函数()f x 的单调递增区间为(0)k 1，，()1+∞，,单调递减区间为(+)k∞1，. （Ⅱ）2(1)(1)()kx x f x x --'=，因为函数()f x 在(1,2)内单调递减，所以不等式在2(1)(1)0kx x x --≤在(1,2)上成立.设()(1)(1)g x kx x =--，则(1)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩即00210,k ≤⎧⎨-≤⎩，解得102k <≤. …………13分20. （本小题满分14分） 解：函数的定义域为(0,)+∞，2112()e e x f x x x '=--+. （Ⅰ）1(1)1e f '=-，又1(1)e f =-，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为111(1)1e e e y x +=--+，即12()+10e ex y -1--=. ┈┈ 4分（Ⅱ）“要证明1ln (0)e x x x≥->”等价于“1ln e x x ≥-”设函数()ln g x x x =. 令()=1+ln 0g x x '=，解得1ex =. x1(0,)e1e 1(,)e+∞ ()g x ' -+()g x1e-因此，函数()g x 的最小值为11()e e g =-.故1ln ex x ≥-. 即1ln e x x≥-. ┈┈ 9分 （Ⅲ）曲线()y f x =位于x 轴下方. 理由如下：由（Ⅱ）可知1ln e x x ≥-，所以1111()()e e e ex x x f x x x ≤-=-. 设1()e e x x k x =-，则1()ex xk x -'=.令()0k x '>得01x <<；令()0k x '<得1x >. 所以()k x 在()0,1上为增函数，()1+∞，上为减函数.所以当0x >时，()(1)=0k x k ≤恒成立,当且仅当1x =时，(1)0k =. 又因为1(1)0ef =-<， 所以()0f x <恒成立. 故曲线()y f x =位于x 轴下方. ………………………14分。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{3,}A x x x =≤∈R ，{10,}B x x x =-≥∈N ，则AB =（ ）A ．{0,1}B ．{0,12},C ．{2,3}D ． {1,2,3} 【答案】.D 【解析】试题分析：{10,}{1,}B x x x x x x =-≥∈=≥∈N N 又{3,}A x x x =≤∈R所以{1,2,3}AB =故答案选.D考点：1.常见数集的表示；2.集合的运算.2．已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-【答案】.D考点：同角三角函数关系.3. 已知等差数列{}n a 的公差为2，若124, , a a a 成等比数列，那么1a 等于（ ）A. 2B. 1C. 1-D. 2- 【答案】A 【解析】试题分析：因为数列{}n a 的公差为2的等差数列 所以212a a =+，411(41)26a a a =+-⨯=+ 因为1a ，2a ，3a 成等比数列所以2214a a a =，即2111(2)(6)a a a +=+，解得12a = 故答案选A .考点：1.等差数列的通项公式；2.等比数列中项. 4. 给出下列命题：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ； ②若q p ∧为假命题，则q p ,均为假命题；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 ,0232=+-x x 则2≠x其中正确的命题序号是（ ）A ．① B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】A 【解析】试题分析：①若给定命题p ：x ∃∈R ，使得210x x +-<，则p ⌝：,x ∀∈R 均有012≥-+x x ；故①是正确的；②若q p ∧为假命题，则p 或q 为假命题，故②是错误的；③命题“若0232=+-x x ，则2=x ”的否命题为“若 2320,x x -+≠则2≠x ，故③是错误的. 故答案选A .考点： 命题的真假判断.5. 已知函数()sin()(00)2f x A x x A ωϕωϕπ=+∈>><R ，，，的图象（部分）如图所示，则()f x 的解析式是（ ）A ．()2sin()6f x x π=π+B ．()2sin(2)6f x x π=π+C ．()2sin()3f x x π=π+D ．()2sin(2)3f x x π=π+【答案】A . 【解析】试题分析：由题图可知函数的周期514()263T =-=，2A = 由周期公式2T πω=，得ωπ=所以()2sin()f x x πϕ=+ 由题图知，当13x =时，()f x 取得最大值 所以22326k k πππϕπϕπ+=+⇒=+，k Z ∈因为||2πϕ<，所以6πϕ=所以()2sin()6f x x ππ=+故答案选A .考点：三角函数的图像和性质. 6. 设p ：2101x x -≤-，q ：2(21)(1)0x a x a a -+++<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(0,)2B ．1[0,)2C ．1(0,]2D ．1[,1)2【答案】B考点：1.解不等式；2.命题的充分必要性.7. 在ABC ∆中，已知4AB AC ⋅=3=，,M N 分别是BC 边上的三等分点，则ANAM ⋅的值是（ ） A ．5 B ．421C ．6D ．8【答案】C 【解析】试题分析：因为M 、N 分别是BC 边上的三等分点所以2133AM AB AC =+,1233AM AB AC =+ 所以222112252()()3333999AM AN AB AC AB AC AB AB AC AC ⋅=+⋅+=+⋅+2225()99AB AC AB AC =++⋅又BC AC AB =-所以2222222()2324BC AC AB AC AB AC AB AC AB =-=+-⋅⇒=+-⨯ 得2217AC AB += 所以25174699AM AN ⋅=⨯+⨯= 故答案选C考点：1.向量的线性关系；2.向量的数量积.8. 已知定义在R 上的函数⎩⎨⎧-∈-∈+=),0 ,1[,2),1 ,0[,2)(22x x x x x f 且)()2(x f x f =+．若方程()2=0f x kx --有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1(,1)3B ．11(,)34--C ．11(,1)(1,)33--D ．1111(,)(,)3443--【答案】C 【解析】试题分析：由(2)()f x f x +=，知函数()f x 的周期为2 作函数()f x 和函数()2g x kx =+的图像，如下图所示：函数()2g x kx =+恒过定点(0,2)321303l k -==---32110m k -==---32110n k -==-321303q k -==-结合图像可知，k 的取值范围为11(,1)(1,)33--故答案选C考点：1.方程根的存在性；2.函数零点个数；3.函数的周期性.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. 9. 已知三个数π221(),log 3,log π2，其中最大的数是 ． 【答案】2log π考点：指数函数的性质.10．已知平面向量2113()(-)，，，a =b =．若向量()λ⊥a a +b ，则实数λ的值是 ． 【答案】5- 【解析】试题分析：因为平面向量21()，a =，13(-)，b = 所以(2,13)a b λλλ+=-+ 由()a a b λ⊥+所以()0a a b λ⋅+=，即(2,1)(2,13)02(2)1(13)0λλλλ⋅-+=⇒⨯-+⨯+= 解得5λ=-考点：向量的数量积.11．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE xAB yAD =+，则x y += ．【答案】12【解析】试题分析：连接BD ，又E 为CD 的中点所以1122BE BD BC =+ 又BD AD AB =-,BC AD = 所以111()222BE AD AB AD AD AB =-+=- 又BE xAB yAD =+ 所以1x =，12y =- 所以12x y +=考点：向量的线性运算.12. 若函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0ωϕ≠>)是偶函数，则ϕ的最小值为 ． 【答案】2π考点：三角函数的性质. 13. 若函数sin ()cos a xf x x-=在区间ππ(,)63上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[2,)+∞ 【解析】试题分析：因为函数sin ()cos a xf x x-=在区间ππ(,)63上单调递增所以()0f x '≥在区间ππ(,)63恒成立， 22cos sin (sin )(sin )sin 1()cos cos x x a x x a x f x x x-⋅--⋅--'== 因为2cos 0x >，所以sin 10a x -≥在区间ππ(,)63恒成立所以1sin a x≥因为(,)63x ππ∈，所以11sin 2223sin x x<<⇒<<所以a 的取值范围是[2,)+∞考点：1.恒成立问题；2.导函数的应用.14. 如图，已知边长为4的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，作EF ⊥AE 交∠BCD 的外角平分线于F .设BE x =，记()f x EC CF =⋅，则函数()f x 的值域是 ；当ECF ∆面积最大时，EF = .F EDCBA【答案】(0,4]，【解析】试题分析：如图，作FG BC ⊥,交BC 延长线于G ，则CGFG =,易证得ABE EGF ∆∆∽，所以AB BEEG FG= 设FG CG m ==，则4EG EC CG x m =+=-+ 所以44xm x x m m=⇒=-+所以()(4)cos (4)4f x EC CF x x x π=⋅=-⋅=-由题知04x <<，所以0()4f x <≤ 故()f x 的值域是(0,4]2111(4)[(2)4]222ECF S EC FG x x x ∆=⨯=-=--+ 因为04x <<，所以当BCF ∆面积最大时，2x =，即2BE CG FG === 则4EG EC CG =+=在Rt EGF ∆中，222224220EF EG FG =+=+=所以EF =考点：1.向量的数量积；2.二次函数的最值.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. （本小题满分13分）已知函数2()cos2cos 222xx x f x =-. （Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调递减区间及对称轴方程. 【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）25[2,2],33k k k Z ππππ++∈，2,3x k k Z ππ=+∈.试题解析：由2()cos2cos 222x x x f x =-则()(cos 1)f x x x -+cos 1x x --2sin()16x π=--（Ⅰ）()2sin()10336f πππ=--=（Ⅱ）令322,262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，得2522,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递减区间是25[2,2],33k k k Z ππππ++∈ 令,62x k k Z πππ-=+∈，得2,3x k k Z ππ=+∈ 即函数()f x 的对称轴方程2,3x k k Z ππ=+∈ 考点：1.三角函数的恒等变换；2.三角函数的性质. 16. （本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差1d =，前n 项和为n S ，且1n nb S =. （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求证：1232n b b b b ++++<.【答案】（Ⅰ）2(1)n b n n =+；（Ⅱ）证明略，详见解析.试题解析：（Ⅰ）因为数列{}n a 是首项11a =，公差1d =的等差数列 所以由等差数列的前n 项和公式得，数列{}n a 前n 项和为21122n S n n =+ 由1n nb S =，得2(1)n b n n =+（Ⅱ）由（Ⅰ）知222(1)1n b n n n n ==-++所以123222222222212233411n b b b b n n n ++++=-+-+-++-=-++ 又201n >+，所以1232n b b b b ++++< 考点：1.等差数列的求和公式；2.数列的求和方法. 17．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．且21cos -=B ． （Ⅰ）若322==b a ,，求角C ； （Ⅱ）求C A sin sin ⋅的取值范围． 【答案】（Ⅰ）6C π=；（Ⅱ）1(0,]4.试题解析： （Ⅰ）因为1cos 02B =-<，且B 是ABC ∆的内角，所以23B π=，得sin 2B =， 再由正弦定理sin sin a b A B =，得1sin 2A =， 所以6A π=又A B C π++= 所以6C π=（Ⅱ）因为1cos 02B =-<，且B 是ABC ∆的内角， 所以23B π=， 故3A C π+=，既得3C A π=-，所以21sin sin sin sin()cos cos 32A C A A A A A π⋅=⋅-=-11112cos 2sin(2)44264A A A π=+-=+- 因为3A C π+=，所以5102sin(2)1366626A A A πππππ<<⇒<+<⇒<+≤ 所以1110sin(2)2644A π<+-≤ 故sin sin A C ⋅的取值范围1(0,]4考点：1.正弦定理；2.三角函数的性质. 18. （本小题满分13分）已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+． （Ⅰ）当0a >时，求函数()f x 的单调区间; （Ⅱ）当1a =-时，证明1()2f x ≥. 【答案】（Ⅰ）当1a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间， 当1a >时，函数()f x 的单调递增区间是(,),(0,1)a +∞，单调递减区间为(1,)a ， 当1a <时，函数()f x 的单调递增区间是(1,),(0,)a +∞，单调递减区间为(,1)a ； （Ⅱ）证明略. 【解析】试题分析：（Ⅰ）易求得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，由函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+，则2(1)()x a x af x x -++'=，令()0f x '>或()0f x '<，即可求得函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当1a =-时，2()ln 2x f x x =-+，要证1()2f x ≥，只需证min 1()2f x ≥，所以此问就是求函数()f x 在定义域区间的最小值.试题解析： （Ⅰ）易求得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，已知函数2()ln (1)2x f x a x a x =+-+， 所以2(1)()(1)a x a x af x x a x x-++'=+-+=，令()0f x '>，即2(1)0(1)()0x a x a x x a -++>⇒-->当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞，无单调递减区间。
