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《坐标平面上的直线》拓展

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1 《坐标平面上的直线》的拓展

1．直线方程的应用

例1(.73.9)P课本第题 已知等腰直角ABC的斜边AB所在的直线为

350xy，直角顶点为(4,1)C，求两条直角边所在的直线方程。

分析：作出示意草图，知两条直角边所在的直线的斜率存在，并且与斜边AB所在直线的夹角为4。

解：设直角边所在的直线方程为：(1)(4)ykx，即41ykxk，由题意知，直线41ykxk与直线35yx的夹角为4，得： 3tan1134kk

|31||3|kk2k

或12k，

则两条直角边所在的直线方程为： 24(2)1yx或114122yx，

化为一般式方程为：270260xyxy或。 又解：设直角边所在的直线方程为：(4)(1)0axby（a、b不全为零），化为一般式方程为：40axbyab，该直线与直线350xy的夹角为4，则 (1)3tan13(1)4abab

|3||3|abab2ab或2ba

，

必有0ab，代入40axbyab得，270bxbyb或260axaya，因而两条直角边所在的直线方程为：270260xyxy或。 例2(.24.4)P《阶段综合测试卷集》三之 求过点(0,1)，且被两条平行直线260xy和4250xy截得长为72的线段的直线l的方程。

分析：作出示意草图，由两平行线之间的距离77225d知，问题应有两解

解：12:2605:202lxylxy两平行线之间的距离225|6()|77222521d，则l与 2

1l夹角的正弦值7125sin7521tan2；

1当直线l的斜率k存在时，设l：1ykx，即10kxy，则 12(1)1tan2(1)12kk

2|2||21|kk

3

4k，

可得l的方程为：3104xy，即3440xy； 2当直线l的斜率不存在时，l的方程为：0x，即y轴，由1(0,6)lyA轴、

25(0,)2lyB轴被截线段7||2AB；

综合可得，满足条件的直线l为：34400xyx或。 例3 已知直线l经过点(2,3)P，依下列条件求直线l的方程。 （1）直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等； （2）直线l在x轴、y轴上解得的线段分别为OA、OB且||||OAOB。 解（1）设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，分三种情形： 1当0ab时，直线l经过原点，设直线l的方程为：ykx，又点(2,3)Pl 32k32k，∴ 直线l方程为：32yx，即320xy；

2当0ab时，设直线l的方程为：1xyaa，又点(2,3)Pl231a， 直线l方程为：10xy； 3当0ab时，设直线l的方程为：1xyaa，又点(2,3)Pl 235a，直线l方程为：50xy；

综合可得，直线l方程为：3201050xyxyxy或或。 （2）设(,0)Aa，(0,)Bb(0)ab，由||||OAOB||||ab，分两种情形： 1当0ab时，设直线l的方程为：1xyaa，又点(2,3)Pl231a， 直线l方程为：10xy； 3

2当0ab时，设直线l的方程为：1xyaa，又点(2,3)Pl 235a，直线l方程为：50xy；

综合可得，直线l方程为：32010xyxy或。 例4(.89.17)P《知识、方法和实践》三之 在正方形ABCO中，O坐标原点，向量(3,4)OA，求正方形ABCO各边所在的直线方程。 解：正方形ABCO的边长||5aOA。 向量(3,4)OA是直线OA的方向向量，则直线OA的点方向式方程为：34xy，即 430xy；

(3,4)OA是直线OC的法向量，则则直线OC的点法向式方程为：340xy；

由直线CBOA∥可设直线CB：430xyc，平行直线OA与CB之间的距离为 5a22|0|54(3)c，从图形可得25c，则直线CB的方程为：43250xy；

由直线ABOA可设直线CB：340xyc，由(3,4)A直线AB得25c，则直线AB的方程为：34250xy。

2．直线的倾斜角和斜率 例5(.101.12)P《知识、方法和实践》二之 直线sin3yx的倾斜角的范围是 。 解：设直线的倾斜角为，由tansin[1,1]tan[1,0)[0,1] 3[0,][,)44。

例6(.89.12)P《知识、方法和实践》二之 已知直线l方程为0axbyc，若 0ac，0bc，则此直线l不经过 （ ）

（A）第一象限； （B）第二象限； （C）第三象限； （D）第四象限。

解：00acbc20abc0ab，直线l的斜截式方程为：acyxbb直线l 4

的斜率0akb、截矩0cb直线l不经过第二象限，∴ 选B。 例7(.66.11.22(3))P课本练习第题 已知直线l经过(0,0)P和(cos,sin)Q (([.0))2两点，求直线l的斜率和倾斜角。

解：1当(,0)2时，直线l的斜率sintan0cosk，倾斜角满足： tantan0；

2当2时，直线l的斜率不存在，倾斜角2；综合可得：

tan,(,0)2,2kk不存在，,(,0)2,22







。

例8 研究直线l的斜率k(0)k的几何意义。 解：设直线1l、2l的斜截式方程分别为：1ykxb、2ykxb，120kk。 1当120kk时， 任取00x，则1020kxbkxb，即12yy；任取00x，则1020kxbkxb，即12yy；作出大致图形可知，直线1l比直线2l更靠近y轴； 2当120kk时， 任取00x，则1020kxbkxb，即12yy；任取00x，则1020kxbkxb，即12yy；作出大致图形可知，直线2l比直线1l更靠近y轴； 综合可得，||k越大，直线越靠近y轴或与y轴平行的直线。 例9(.75.3)P课本例 已知直线l：1ykx与两点(1,5)A、(4,2)B，若直线l与线段AB相交，求直线l的斜率k和倾斜角的取值范围。 解：易知直线l过定点(0,1)P，直线PA、PB的斜率分别为51410PAk、 213404PBk

，作出大致草图，则

直线l与线段AB相交4PAkk或34PBkk 3(,4][,)4k；

倾斜角3[0,)(,arctan4][arctan,)224。 5

3．对称问题 （1）中心对称：

设点00(,)Pxy，点(,)Mmn，由中点坐标公式可得，点P关于M点的对称点(,)Pxy 的坐标公式为： 00

22xmxyny



，即(2,2)Pmxny。

例10 求直线1l：330xy关于点(5,4)M的对称直线2l的方程。 解：任取点2(,)Pxyl，则点P关于M点的对称点1(10,8)Qxyl，将Q点的坐标代入直线1l的方程可得： 3(10)(8)30xy，

整理可得直线2l的方程为：310350xy。

例10中求直线（轨迹）2l的方程的方法称为“代入法”，这是一个非常基础、也是非常重要的方法

例11(.80.5)P《知识、方法和实践》例 已知直线l经过点(0,1)P，若直线l被直线1l：3100xy和直线2l：280xy截得的线段AB的中点恰为点P，求直线l 的方程。 解：设1(310,)llAtt，2llB，由条件知，A、B关于点P对称，则B点

的坐标为(0(310),2)Btt，即(310,2)Btt由2Bl得： 2(310)(2)80tt7140t2t(4,2)A，

直线l的斜率为211404k，则直线l的方程为：114yx，整理得： 440xy。

（2）轴对称：

已知直线l：0axbyc（a、b不同时为零）和点00(,)Pxy，则点P关于直线l

的对称点(,)Pxy的坐标计算公式为：

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《坐标平面内的图形》第2课时示范教学方案

《坐标平面内的图形》第2课时示范教学方案

第十一章平面直角坐标系11.1 平面内点的坐标第2课时坐标平面内的图形一、教学目标1．在给定的平面直角坐标系中，会按要求连线，识别图形，计算面积.2．根据实际问题建立合理的直角坐标系，解决一些简单的实际问题，发展数形结合思想和运用数学解决问题的能力.二、教学重点及难点重点：在给定的直角坐标系中，会根据坐标描出点的位置，并能求出顺次连接所得图形的面积.难点：能建立适当的直角坐标系，描述图形的位置．三、教学用具多媒体课件．四、相关资源《空地》图片、《坐标平面》图片、《求三角形面积》图片、《长方形》图片、《直角坐标系》图片、《三角形》图片．五、教学过程【课堂导入】教师进行情境导入：小军家里有一块如图所示的空地，打算进行装修，小军要在电话中告诉装修队如图所示的图形，为了描述清楚，他使用了直角坐标系的知识．你知道小军是怎样叙述的吗？插入图片《空地》设计意图：通过情境导入，引出坐标平面内的图形．【新知讲解】1．在坐标平面内描点作图．教师用PPT展示习题：在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各点用线段依次连接起来：A(0，2)，B(－1，－2)，C(2，0)，D(－2，0)，E(1，－2)，A(0，2).学生绘图观察，回答问题.教师讲解习题.插入图片《坐标平面》设计意图：通过练习的方式，使学生学会在坐标平面内描点作图．2．坐标平面内图形面积的计算．教师用PPT展示习题：如图，A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，求△ABC的面积．学生观察图形特点，回答问题.教师讲解习题.插入图片《求三角形面积》设计意图：通过练习，归纳出平面内计算图形面积的方法．3．建立适当的直角坐标系描述图形的位置．教师用PPT展示习题：长方形的两条边长分别为4，6，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为(－2，－3)请你写出另外三个顶点的坐标．学生观察图形特点，回答问题.教师讲解习题.总结知识点：坐标平面内图形面积的计算：方法一：直接法，求出三角形一边的长，并求出该边上的高.方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．插入图片《长方形》设计意图：通过练习，学会根据几何图形建立直角坐标系并求点的坐标． 【典型例题】例1在如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD 的各个顶点的坐标分别是A （0，0），B （2，5），C （9，8），D （12，0）求出这个四边形的面积．解：S 四边形ABCD=S △ABE +S 梯形BCEF ＋ S △CDF= 12×2×5+ 12×（5+8）×7+12×3×8=62.5．插入图片《直角坐标系》设计意图：本题巩固平面内计算图形面积的分割法．【随堂练习】1. 如图，三角形AOB 中，A ，B 两点的坐标分别为（2，4），（6，2），求三角形AOB 的面积．解：△AOB 的面积为：4×6－(×2×4＋×2×6＋×2×4)＝10点拨：将△AOB 的面积看作是一个长方形的面积减去3个三角形的面积是解本题的基本方法插入图片《三角形》y xD(12,0)C(9,8)0121110131211987654321987654321B(2,5)A(0,0)10设计意图：本题巩固平面内计算图形面积的补形法．通过学生的练习，使教师及时了解学生对坐标平面的图形知识点的理解情况，以便教师及时对学生进行矫正．六、课堂小结1.在坐标平面内描点作图：在平面直角坐标系中准确找出各点的位置是解题的关键2.坐标平面内图形面积的计算：方法一：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高.方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差.方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．3.建立适当的直角坐标系描述图形的位置：由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决问题的关键.设计意图：巩固所学知识，培养学生解决的问题的能力．七、板书设计第2课时坐标平面内的图形直接法、补形法、分割法.。

利用坐标系解决平面几何问题

利用坐标系解决平面几何问题

利用坐标系解决平面几何问题在平面几何中，我们经常需要解决一些与坐标有关的问题。

利用坐标系可以将几何问题转化为代数问题，从而更容易进行分析和求解。

本文将介绍如何利用坐标系解决平面几何问题，并通过实例说明其应用。

1. 坐标系的建立在解决平面几何问题时，我们通常会建立一个二维坐标系。

坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别称为x轴和y轴。

通过在这个坐标系上标记点的坐标，我们可以用数字来表示几何图形的位置和性质。

2. 点的坐标表示在建立坐标系后，我们可以用坐标表示平面上的点。

通常，我们用一个有序数对(x, y)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

例如，点A的坐标为(2, 3)，表示它在x轴上的位置为2，在y轴上的位置为3。

3. 直线的方程在坐标系中，直线可以用方程表示。

一条直线的方程通常有两种形式：斜截式和一般式。

斜截式方程的形式为y = mx + b，其中m为直线的斜率，b为直线在y轴上的截距。

一般式方程的形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

4. 直线的性质利用坐标系，我们可以轻松地分析直线的性质。

例如，两条直线的交点可以通过求解它们的方程得到。

如果两条直线的方程相等，那么它们是重合的；如果两条直线的斜率相等，但截距不同，那么它们是平行的。

5. 线段的长度在坐标系中，我们可以通过计算两个点的距离来求解线段的长度。

根据勾股定理，如果两个点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，那么它们之间的距离d可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)。

6. 面积的计算利用坐标系，我们可以计算平面上一些几何图形的面积。

例如，一个三角形的面积可以通过计算它的底边长度和高的乘积的一半来求解。

如果三角形的三个顶点的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)和(x3, y3)，那么它的面积可以通过以下公式计算：S = 0.5 * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|。

直角坐标平面两直线平行垂直的判定

直角坐标平面两直线平行垂直的判定


详细描述
在直角坐标平面中，有时两条直线的斜率相等且截距相等时，需要结合其他条件来判断 它们是否平行或垂直。例如，直线$y = x + 1$和$y = x - 1$是平行的，因为它们的斜
率相等且截距分别为1和-1，互为相反数。
谢谢
THANKS
垂直直线判定实例
总结词
垂直直线的斜率互为相反数
详细描述
在直角坐标平面中，如果两 条直线垂直，那么它们的斜 率互为相反数。例如，直线 $y = x + 1$和$y = -x + 2$是垂直的，因为它们的 斜率分别为1和-1，互为相 反数。
总结词
垂直直线的斜率不存在
详细描述
在直角坐标平面中，如果两 条直线垂直且其中一条直线 的斜率不存在（例如直线$x = 1$），那么另一条直线 的斜率必为无穷大。例如， 直线$y = x + 1$与直线$x = 1$垂直，因为当$x = 1$ 时，$y = x + 1 = 2$，斜 率为无穷大。
截距不相等
总结词
如果两条直线在直角坐标平面上的截距不相等，则这两条直线平行。
详细描述
在平面直角坐标系中，如果两条直线的截距不相等，即$b_1 neq b_2$，其中 $b_1$和$b_2$分别是两条直线的截距，那么这两条直线平行。这是因为截距不 相等的直线在平面上不会相交，而是平行。
方向向量平行
详细描述
直线的方向向量是直线上任意两点的 向量差分比上该两点之间的距离，如 果两直线的方向向量互相垂直，则这 两条直线垂直。
斜率不存在与水平线垂直
总结词
当一条直线斜率不存在且与水平线垂直时，另一条直线也与这条直线垂直。
详细描述
如果一条直线与x轴垂直，即斜率不存在，那么与它垂直的直线也必须与x轴垂直 ，即斜率也不存在。
上海二期课改高中数学教材目录(全)

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上海二期课改高中数学教材目录（全）高一（上）第1章集合和命题一、集合1.1 集合及其表示法1.2 集合之间的关系1.3 集合的运算二、四种命题的形式1.4 命题的形式及等价关系三、充分条件与必要条件1.5 充分条件, 必要条件四、逻辑初步（* 拓展内容）1.6 命题的运算五、抽屉原则与平均数原则（* 拓展内容）1.7 抽屉原则与平均数原则第2章不等式2.1 不等式的基本性质2.2 一元二次不等式的解法2.3 其他不等式的解法2.4 基本不等式及其应用课题一最大容积问题2.5 不等式的证明（拓展内容）第3章函数的基本性质3.1 函数的概念3.2 函数关系的建立课题二邮件与邮费问题课题三上海出租车计价问题3.3 函数的运算3.4 函数的基本性质函数的零点（拓展内容）第4章幂函数、指数函数和对数函数一、幂函数4.1 幂函数的性质与图像二、指数函数4.2 指数函数的图像与性质三、对数4.3 对数概念及其运算换底公式（拓展内容）四、反函数4.4 反函数的概念五、对数函数4.5 对数函数的图像与性质六、指数方程和对数方程4.6 简单的指数方程4.7 简单的对数方程课题四声音传播问题高一（下）第5章三角比一、任意角的三角比5.1 任意角及其度量5.2 任意角的三角比课题一用单位圆中有向线段表示三角比二、三角恒等式5.3 同角三角比的关系和诱导公式5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切5.5 二倍角与半角的正弦、余弦和正切5.6 三角比的积化和差与和差化积（拓展内容）三、解斜三角形5.7 正弦定理、余弦定理和解斜三角形课题二测建筑物的高度第6章三角函数一、三角函数的性质与图像6.1 正弦函数和余弦函数的性质与图像6.2 正切函数的性质和图像课题三制作弯管6.3 函数的图像函数的性质（拓展内容）二、反三角函数与最简三角方程（拓展内容）6.4 反三角函数6.5 最简三角方程第7章数列7.1 数列7.2 等差数列与等比数列7.3 等差数列与等比数列的通项公式7.4 等差数列的前n项和7.5 等比数列的前n项和雪花曲线（* 拓展内容）课题五组合贷款购房中的数学问题第8章数学归纳法8.1 归纳——猜想——证明8.2 数归纳法的应用高二（上）第9章行列式初步9.1 二阶行列式9.2 三阶行列式第10章平面向量10.1 向量10.2 向量的加减法10.3 实数与向量的乘积10.4 向量的坐标表示及其运算10.5 向量的数量积10.6 向量的应用（* 拓展内容）课题一宇航员的训练第11章坐标平面上的直线11.1 直线的方程11.2 直线的倾斜角和斜率11.3 两条直线的位置关系11.4 点到直线的距离第12章圆锥曲线12.1 曲线和方程12.2 圆的方程课题二追捕走私船12.3 椭圆的标准方程12.4 椭圆的性质12.5 双曲线的标准方程12.6 双曲线的性质课题三探索点的轨迹12.7 抛物线的标准方程12.8 抛物线的性质课题四做一个有趣的实验高二（下）第13章排列与组合一、排列13.1 计数原理I——乘法原理13.2 排列二、组合13.3 组合13.4 计数原理II——加法原理课题一旅行商问题第14章数列的极限14.1 数列的极限14.2 极限的运算法则14.3 无穷等比数列各项的和课题二数列极限在面积计算中的应用第15章复数15.1 复数的概念15.2 复数的坐标表示15.3 复数的加法与减法15.4 复数的乘法与除法15.5 复数的平方根与立方根复数的立方根（* 拓展内容）15.6 实系数一元二次方程第16章空间图形一、平面16.1 平面及其表示法16.2 平面的基本性质二、空间点、直线、平面的位置关系16.3 空间直线与直线的位置关系16.4 空间直线与平面的位置关系16.5 空间平面与平面的位置关系（* 拓展内容）三、多面体16.6 多面体的概念16.7 多面体的直观图16.8 棱柱、棱锥和棱台的体积及表面积课题三凸多面体的顶点数、棱数和面数的关系高中三年级（文科）第17章经济生活中的数学问题17.1 存款课题一连续复利17.2 货款17.3 现值和终值17.4 保险第18章线性规划18.1 满足条件的解集18.2 线性规划问题及其解法课题二线性规划在生活中的应用第19章优选与统筹一、试验设计的若干方法19.1 二分法19.2 0.618法二、统筹规划19.3 统筹规划课题三组装一辆自行车的工序流程第20章概率初步20.1 概率20.2 频率20.3 期望值20.4 事件和的概率20.5 独立事件积的概率课题四福利彩票中的概率计算第21章基本统计方法21.1 总体和样本21.2 抽样技术21.3 实例分析课题五抽样调查实习高中三年级（理科）第17章参数方程和极坐标方程一、参数方程17.1 曲线的参数方程17.2 直线和圆锥曲线的参数方程课题一轨迹探究二、极坐标方程17.3 极坐标系第18章空间向量及其应用18.1 空间向量18.2 空间向量的坐标表示18.3 空间直线的方向向量和平面的法向量18.4 空间向量在度量问题中的应用课题二飞行机器人位置的确定第19章线性规划19.1 线性规划问题19.2 线性规划的可行域19.3 线性规划的解课题三线性规划在生活中的应用第20章概率初步20.1 随机事件和概率20.2 概率的性质和加法公式20.3 独立随机事件20.4 期望值课题四中国邮政贺年有奖明信片的中奖率计算第21章基本统计方法21.1 总体和样本21.2 抽样技术21.3 实例分析21.4 正态分布（拓展内容）拓展型课程专题1矩阵初步1.1 向量的另一种定义1.2 矩阵的概念1.3 矩阵加减法及矩阵与实数的乘积1.4 矩阵的乘法1.5 逆矩阵课题平面图形的矩阵变换专题2 坐标变换与一般二次曲线2.1 坐标系的平移变换2.2 坐标系的旋转变换2.3 一般二元二方方程的讨论与化简专题3 二项式定理3.1 二项式定理3.2 二项式系数的应用专题4 数学建模初步4.1 数学建模的一般步骤4.2 简单数学模型举例专题5 曲线拟合5.1 直接观察法5.2 最小二乘法专题6 复数的三角形式6.1 复数的三角表示6.2 复数三角形式的乘法和除法6.3 复数的乘方和开方6.4 复数三角形式的应用专题7 常见曲线的极坐标方程7.1 圆锥曲线的统一的极坐标方程7.2 几种特殊曲线的极坐标方程课题玫瑰线专题8 随机变量8.1 随机变量8.2 二项式分布8.3 随机变量的数学期望和方差附一期课改高三年级数学课本目录第17章导数及其应用一、导数的概念17.1 变化率与导数17.2 切线与导数17.3 导函数二、导数的运算17.4 导数的运算法则17.5 基本导数公式三、导数的应用17.6 函数的增减性17.7 函数的极值与最大值、最小值第18章定积分及其应用一、定积分的概念18.1 定积分的概率18.2 定积分的性质18.3 基本定积分公式二、定积分的应用18.4 平面图形的面积18.5 体积三、微积分史话。