各地解析分类汇编 数列6

第六章 数列第1节等差数列与等比数列题型70 等差、等比数列的通项及基本量的求解1. (2013安徽文7）设n S 为等差数列{}n a 的前项和，134S a =，22a =-，则9a =（）.A. B. C.2- D.1.分析借助等差数列前项和公式及通项公式的性质，计算数列的公差，进而得到9a 的值.解析由等差数列性质及前项和公式，得()18882a aS +=()36344a a a =+=，所以60a=.又72a =-，所以公差2d =-，所以9726a a d =+=-.故选A.2.（2013辽宁文14）已知等比数列{}n a 是递增数列，nS 是{}n a 的前项和.若13a a，是方程2540x x -+=的两个根，则6S =.2.解析：因为1a ，3a 是方程2540x x -+=的两个根，且数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，34a =，2q =，所以66126312S -==-. 3.（2013四川文16）在等比数列{}n a 中，212aa -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列{}n a 的首项、公比及前项和.3．分析由已知列出两个含1a 和的方程并求解，再借助等比数列求和公式得n S ． 解析设该数列的公比为．由已知，得1121112,43,a q a a q a a q -=⎧⎨=+⎩所以()1212,430,a q q q ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得11,3.a q =⎧⎨=⎩（1q =舍去） 故首项11a =，公比3q =.所以数列的前项和312n n S -=.4.（2013山东文20）设等差数列{}n a 的前项和为nS，且424S S =，221n n a a =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a ++⋅⋅⋅+=-，n *∈Ν，求数列{}n b 的前项和n T ．4.分析（1）由于已知{}n a 是等差数列，因此可考虑用基本量1,a d 表示已知等式，进而求出{}n a 的通项公式.（2）先求出nnb a ，进而求出{}n b 的通项公式，再用错位相减法求{}n b 的 前n 项和.解析（1）设等差数列{}n a 的前项为1a ，公差为d .由424S S =，221n n a a =+，得()()11114684,21221 1.a d a d a n d a n d +=+⎧⎪⎨+-=+-+⎪⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩因此*21,n a n n =-∈N .（2）由已知*121211,2n n n b b b n a a a +++=-∈N ， 当1n =时，1112b a =； 当2n ≥时，111111=222n n n n n b a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭.所以*1,2n n n b n a =∈N .由（1）知*21,n a n n =-∈N ，所以*21=,2n nn b n -∈N . 所以23135212222n n n T -=++++ . 231113232122222n n n n n T +--=++++ . 两式相减，得2311122221222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 113121222n n n -+-=--，所以2332n nn T +=-. 5.（2013浙江19）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （1）求d ，n a ；（2）若0d <，求123 .n a a a a +++⋯+5.分析（1）用1,a d 把23,a a 表示出来，利用123,22,5a a a +成等比数列列方程即可解出d ， 进而根据等差数列的通项公式写出n a .（2）根据（1）及0d <确定数列的通项公式，确定n a的符号，以去掉绝对值符号，这需要对n 的取值范围进行分类讨论.解析（1）由题意得，()2132522a a a ⋅=+，由110a =，{}n a 为公差为d 的等差数列得，2340d d --=，解得1d =-或4d =.所以()*11n a n n =-+∈N 或()*46n a n n =+∈N .（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S .因为0d <，由（1）得1d =-，11n a n =-+，所以当11n ≤时，123n a a a a ++++=212122n S n n =-+；当12n ≥时，212311121211022n n a a a a S S n n ++++=-+=-+ . 综上所述，123n a a a a ++++ 22121,11,22121110,12.22n n n n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩≤≥6.（2014重庆文2）在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =（）. A.5B.8C.10D.147.（2014江苏7）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，21a =，8642a a a =+，则6a 的值是． 8.（2014新课标Ⅰ文17）（本小题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 9.（2014山东文19）（本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，已知公差2d =，2a 是1a 与4a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n n n b a +=，记()12341nn n T b b b b b =-+-+-+-…，求n T .10.（2014福建文17）（本小题满分12分） 在等比数列{}n a 中，253,81a a ==.（1）求n a ； （2）设3log nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .11.（2014浙江文19）已知等差数列{}n a 的公差0d >，设{}n a 的前项和为n S ，11a =，2336S S ⋅=. （1）求d 及n S ；（2）求,m k ()*,m k ∈N 的值，使得1265m m m m k a a a a +++++++= .12.（2015北京文5）执行如果所示的程序框图，输出的值为（）. A.3 B. 4 C.5 D.6 12.解析解法一:执行程序框图，13322a =⨯=，1k =，3124a =<−−→否 313224a =⨯=，2k =，3144a =<−−→否313428a =⨯=，3k =，3184a =<−−→否3138216a =⨯=，4k =，31164a =<−−→是输出4k =.故选B.解法二：由算法图知是一个以3为首项，12为公比的等比数列，即13()2k k a =，解得4k =. 13.（2015全国文7）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前项和，若844S S =，则10a =（）. A.172 B. 192C.10D.1213.解析解法一：由844S S =，1d =，知()()118814418144122a a --⎡⎤+⨯=+⨯⎢⎥⎣⎦， 解得112a =.所以()10119101122a =+-⨯=.故选B. 解法二：由844S S =，即()()1814442a a a a +=⨯+，可得8142a a a =+. 又公差1d =，所以817a a =+，即427a =，解得472a =. 则1041962a a =+=.故选B. 14.（2015全国1文13）在数列{}n a 中，112,2n n a a a +==，n S 为{}n a 的前n 项和.若126n S =，则n =.14.解析由12n n a a +=，得12n na a +=，即数列{}n a 是公比为2的等比数列. ()()11212126112n n n a q S q--===--，得6n =.15.（2015全国Ⅱ文9）已知等比数列{}n a 满足411=a ，()35441a a a =-，则=2a （）. A. B. C.21 D.81 15.解析由等比数列的性质得2354a a a =，即()24441a a =-，则42a = .所以有3418a q a ==， 所以2q =.故2112a a q ==.故选C. 16.（2015陕西文13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的 首项为________.16.解析若这组数有21n +个，则11010n a +=，212015n a +=，又12112n n a a a +++=， 所以15a =；若这组数有2n 个，则1101022020n n a a ++=⨯=，22015n a =， 又121n n n a a a a ++=+，所以15a =.17.（2016江苏8）已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和.若2123a a +=-，510S =，则9a 的值是.17.20解析 设公差为d ，则由题意可得()2111351010a a d a d ⎧++=-⎪⎨+=⎪⎩，解得143a d =-⎧⎨=⎩，则948320a =-+⨯=.18.（2016全国甲文17）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设[]nn b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]2.62=.18.解析 （1）3415712542106a a a d a a a d +=+=⎧⎨+=+=⎩，解得1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()2231155n n a n +=+-=（*n ∈N ）. （2）[]121079111555b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L []1317192123355555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦111223334424+++++++++=.19.（2017江苏9）等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项的和为n S ，已知374S =，6634S =，则8a =．19.解析 解法一：由题意等比数列公比不为，由()()313616171416314a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，因此36319S q S =+=，得2q =．又3123S a a a =++()2117174a q qa =++==，得114a =，所以78132a a q ==．故填32． 解法二（由分段和关系）：由题意3363374634S S S q S ⎧=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，所以38q =，即2q =．下同解法一．20.（2017全国1文17）记n S 为等比数列{}n a 的前项和.已知22S =，36S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列. 20.解析（1）由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则2112311126S a a q S a a q a q =+=⎧⎨=++=-⎩，从而2131q q q ++=-+，即()2131q q q ++=-+， 整理得()220q +=，因此2q =-，所以12a =-， 数列{}n a 的通项公式为()2nn a =-．（2）由（1）知()()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--， 因此()()+121222121233n n n n S S +++⎡⎤⎡⎤+=------=⎣⎦⎣⎦()()+1222223n n +⎡⎤-----⎣⎦()()2222423n n ⎡⎤=-+⨯--⨯-⎣⎦()41223nn S ⎡⎤=---=⎣⎦．所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列．21.（2017全国2文17）已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，等比数列{}n b 的前项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .21.解析(1)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为()0q q ≠.由等差数列、等比数列的通项公式可得212125d q d q -++=⎧⎨-++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩， 故{}n b 的通项公式为12n n b -=.(2)由(1)及已知得2122121d q q q -++=⎧⎨++=⎩，解得41q d =⎧⎨=-⎩或58q d =-⎧⎨=⎩. 所以31336S a d =+=-或313321S a d =+=.22.（2017北京文15）已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求和：13521n b b b b -++++ ． 22解析（1）设{}n a 的公差为，10311=+++d d ，所以2=d ，所以1(1)21n a a n d n =+-=-()*n ∈N .（2）设{}n b 的公比为，24b b ⋅=5a ⇒93=qq ，所以32=q ，所以{}2-1n b 是以11=b 为首项，23q =为公比的等比数列，所以1352-11(13)31132n n n b b b b ⋅--==- ＋＋＋＋. 题型71 等差、等比数列的求和问题的拓展1.（2013广东文11）设数列{}n a 是首项为，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++=．1.分析由首项和公比写出等比数列的前4项，然后代入代数式1234a a a a +++求值.也 可以构造新数列，利用其前n 项和公式求解.解析方法一：()()()231234112121215a a a a +++=+⨯-+⨯-+⨯-=.方法二：因为12341234a a a a a a a a +++=+++，数列{}n a 是首项为，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为4121512-=-. 2.（2015安徽理13）已知在数列{}n a 中，11a =，()1122n n a a n -=+…，则数列{}n a 的 前9项和等于.2.解析由题意可得112n n a a --=，又11a =，所以{}n a 是以为首项，12为公差的等差数列， 所以()()*11112,22n n a n n n +=+-⨯=∈N ….又11a =满足上式，所以()*12n n a n +=∈N ， 所以95a =.所以()9159272S +⨯==.题型72 等差、等比数列的性质及其应用1.（2013辽宁文4）下面是关于公差>0d 的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列；3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为A. 12p p ，B. 34p p ，C. 23p p ，D. 14p p ， 1.分析根据等差数列的性质判定.解析因为0d >，所以1n n a a +>，所以1p 是真命题．因为1n n +>，但是n a 的符号不知道，所以2p 是假命题.同理3p 是假命题．由13(1)340n n a n d a nd d +++--=>，所以4p 是真命题．故选D.2.（2013江西文12）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植棵，以后每天植树 的棵树是前一天的倍，则需要的最少天数（n *∈Ν）等于.2.解析每天植树的棵数构成以为首项，为公比的等比数列，其前项和()()11121222112n n n n a q S q+--===---.由122100n +-≥，得12102n +≥.由于67264,2128==，则17n +≥，即6n ≥.3.（2013江苏14）在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足 n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数的值为.3.分析首先由已知条件求出{}n a 的公比与首项，然后根据求和公式和通项公式将不等式的两边求出，用n 表示，得到关于n 的不等式，然后对不等式进行转化，求得n 的取值范围并 进行估算和验证，从而得到n 的最大值.解析设{}n a 的公比为()0q q >，则由已知可得()4121,213,2a q q q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,322.a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩于是()()12112132211232n n n a a a -+++==-- ，()()11221211232n n n n n nn a a a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭ .由1212n n a a a a a a +++ >可得()()12112123232nn n n-⎛⎫- ⎪⎝⎭>，整理得2111522212n n n-+->.由211152222n n n-+>可得2111522n n n -+>，即213100n n -+<，n <<，即12n =，可以验证当12n =时满足1212n n a a a a a a +++ >，13n ≥时不满足1212n n a a a a a a +++ >，故n 的最大值为12.4.(2013重庆文12）若29a b c ，，，，成等差数列，则c a -=. 4.分析利用等差数列的有关知识先求出公差再运算求解. 解析由题意得该等差数列的公差927514d -==-，所以722c ad -==. 5.(2013陕西文17）设n S 表示数列{}n a 的前项和. （1）若{}n a 是等差数列，推导n S 的计算公式；（2）若111a q =≠，，且对所有正整数，有11nn q S q-=-.判断{}n a 是否为等比数列，并证明你的结论.5.分析利用等差数列的性质倒序相加求和；等比数列的证明通过定义进行. 解析（1）方法一：设{}n a 的公差为d ，则12n n S a a a =++…+()()1111a a d a n d =+++⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦.又()()1n n n n S a a d a n d =+-+⋅⋅⋅+--⎡⎤⎣⎦，所以()12n n S n a a =+，所以()12n n n a a S +=．方法二：设{}n a 的公差为d ，则()1211n n S a a a a a d =++=+++…+()11a n d ⋅⋅⋅++-⎡⎤⎣⎦．又11n n n S a a a -=++⋅⋅⋅+()()11112a n d a n d a =+-++-+⋅⋅⋅+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以()()1122121n S a n d a n d =+-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()112121a n d na n n d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，所以()112n n n S na d -=+. （2）{}n a 是等比数列.证明如下：因为11n n q S q -=-，所以1111111n n n n n q q a S S q q+++--=-=---()11nn q q q q -==-． 因为11a =，0q ≠，所以当1n ≥时，有11nn n n a q q a q+-==. 因此，{}n a 是首项为且公比为()0q q ≠的等比数列． 6.（2014辽宁文9）设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}12na a 为递减数列，则（）A ．0d >B ．0d <C ．10a d >D ．10a d < 7.（2014陕西文8）原命题为“若12n n n a a a n ++<∈+N ，，则{}n a 为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）.A.真，假，真B.假，假，真C.真，真，假D.假，假，假 8.（2014广东文13）等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122332425log log log log log a a a a a ++++=________.9.（2014江西文13）在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取得最大值，则d 的取值范围是. 10.（2014陕西文16）（本小题满分12分）ABC △的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，.（1）若c b a ，，成等差数列，求证：()C A C A +=+sin 2sin sin ； （2）若c b a ，，成等比数列，且2c a =，求B cos 的值.11.（2015广东文13）若三个正数，，成等比数列，其中5a =+5c =-则b =．11.解析因为三个正数，，成等比数列，所以(2551b ac ==+-=.因为0b >，所以1b =.12.（2015全国Ⅱ文5）设n S 是等差数列}{n a 的前项和，若3531=++a a a ，则=5S （）. A. B. C. D.11 12.解析由已知1353a a a ++=，则333a =，31a =. 又因为()15353552=5=522a a a S a +⨯== .故选A. 13.（2017江苏19）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足1111+n k n kn n n k a a a a a --+-++-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+2n k n a k a +=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“()3P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 13.解析（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则()11n a a n d =+-，从而当4n …时，()()1111=n k n k a a a n k d a n k d -++=+--+++- ()12212n a n d a +-=，1,2,3k =，所以321123+++6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=，因此等差数列{}n a 是“()3P 数列”． （2）由数列{}n a 既是“()2P 数列”，又是“()3P 数列”，因此，当3n …时，21124n n n n n a a a a a --+++++=① 当4n …时，3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=② 由①知，()()321144n n n n n a a a a a n ---++=-+≥③()()231142n n n n n a a a a a n +++-+=-+≥④ 将③④代入②，得112n n n a a a -++=，其中4n …， 所以345,,,a a a ⋅⋅⋅是等差数列，设其公差为d '．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d '=-，在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以312a a d '=-，从而数列{}n a 是等差数列． 评注这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．（2015南通基地密卷7第20题）设数列{}n a 的各项均为正数，若对任意的*n ∈N ，存在*k ∈N ，使得22n k n n k a a a ++=成立，则称数列{}n a 为“k J 型”数列．（1）若数列{}n a 是“2J 型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{}n a 既是“3J 型”数列，又是“4J 型”数列，证明数列{}n a 是等比数列． 解析（1）由题意得，2468,,,,a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，且公比138212a q a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以412212n n n a a q --⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）由{}n a 是“4J 型”数列得159131721,,,,,,a a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为， 由{}n a 是“3J 型”数列得1471013,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为1α；2581114,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为2α； 3691215,,,,,a a a a a ⋅⋅⋅成等比数列，设公比为3α；则431311a t a α==，431725a t a α==，432139a t a α==， 所以123ααα==，不妨令123αααα===，则43t α=．所以()32113211k k k a a a α----==，()2311223315111k k k k k a a a t a a ααα------====，所以131323339111k k k k k a a a t a a ααα----====，综上11n n a a -=，从而{}n a 是等比数列．题型73判断或证明数列是等差、等比数列1.（2014江苏20）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2n n S =()*n ∈N ，求证：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值； （3）求证：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+()*n ∈N 成立．2.（2015广东文19）设数列{}n a 的前项和为n S ，*n ∈N ．已知11a =，232a =，354a =， 且当2n …时，211458n n n n S S S S ++-+=+． （1）求4a 的值； （2）求证：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （3）求数列{}n a 的通项公式．2.解析（1）当2n =时，4231458S S S S +=+， 即435335415181124224a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得478a =.（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n …）， 所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-（2n …），即2144n n n a a a +++=（2n …），亦即()2114222n n n n a a a a n +++-=-…， 则()2111112222n n n n a a a a n +++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭…. 当1n =时，3221111222a a a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，满足上式. 故数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列.（3）由（2）可得111122n n n a a -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即1141122n n n na a ++-=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以数列12n na ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩⎭是以122a =为首项，为公差的等差数列， 所以()2144212nna n n =+-⨯=-⎛⎫⎪⎝⎭，即()11214222nn n n a n --⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭， 所以数列{}n a 的通项公式是()*1212n n n a n --=∈N .3.（2015湖南文19）设数列{}n a 的前项和为n S ，已知11a =，22a =，且()*1133,n n n a S S n +-=-+∈N .（1）证明：23n n a a +=； （2）求n S .3.解析（1）由条件，对任意*n ∈N ，有2133n n n a S S ++=-+，因而对任意*,2n n ∈N …，有1133n n n a S S +-=-+，两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即()*232,n n a a n n +=∈N …，又121,2a a ==，所以()3121121333333a S S a a a a =-+=-++==，故对一切*n ∈N ，23n n a a +=.（2）由（I ）知，0n a ≠，所以23n na a +=，于是数列{}21n a -是首项11a =，公比为的等比数列，数列{}2n a 是首项22a =，公比为的等比数列，所以112123,23n n n n a a ---==⨯， 于是()()21221321242.........n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++=()()()()11133113...3213...3313 (32)n n n n ----+++++++=+++=，从而2122n n n S S a -=-()1331232n n --=-⨯()235312n -=⨯-， 综上所述，()()*3*22353121,23312,2n n nn k k S n k k -⎧⎛⎫⨯-=+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-=∈ ⎪⎪⎝⎭⎩N N .4.（2015湖南文21）函数()()e cos [0,)x f x a x x =∈+∞，记n x 为()f x 的从小到大的第()*n ∈N 个极值点.（1）证明：数列(){}nf x 是等比数列；（2）若对一切()*,n n n x f x ∈N …恒成立，求的取值范围.4.解析（1）()π'e cos e sin e cos 4xxx f x a x a x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，令()'0f x =，由0x …，得πππ42x m +=-，即*3ππ4x m m =-∈N ，若πππ2π2π242k x k -<+<+，即3ππ2π2π44k x k -<<+，则πcos 04x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭； 若ππ3π2π2π242k x k +<+<+，即π5π2π2π44k x k +<<+，则πcos 04x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭. 因此，在区间()3π1π,π4m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭与3πππ,π44m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上，()'f x 的符号总相反， 于是当*3ππ4x m m =-∈N 时，()f x 取得极值，所以*3ππ,4n n x n =-∈N ， 此时，()()3π3πππ1443πecos π1e 42n n n n f x a n a --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，易知()0n f x ≠，而()()()()3π1π241π1e e n n n n f x f x +-++-==-是常数， 故数列(){}n f x 是首项为()π41e 2f x a =，公比为πe -的等比数列.（2）对一切*n ∈N 恒成立，即3π43πe 42n n a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫-⎪⎝⎭…恒成立，亦即3π4e 3π4n a n ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭…恒成立（因为0a >）.设()()e 0tg t t t =>，则()()2e 1't t g t t -=，令()'0g t =得1t =，当01t <<时，()'0g t <，所以()g t 在区间()0,1上单调递减； 当1t >时，()'0g t >，所以()g t 在区间()1,+∞上单调递增；因为()0,1n x ∈，且当2n …时，()11,,n n n x x x +∈+∞<， 所以()()(){}12minπ5πmin ,min ,44n g x g x g x g g ⎧⎫⎛⎫⎛⎫==⎡⎤⎨⎬ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎩⎭π4π4e 4πg ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此()*,n n n xf x ∈N 刦恒成立，当且仅当π44e πa ，解得π4e 4a-…，故实数的取值范围是π4e ,4-⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 5.（2016浙江文8）如图所示，点列{}{},n n A B 分别在•••某锐角的两边上，且1n n A A +=*122,,n n n n A A A A n +++≠∈N ，*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N (P Q ≠表示点P 与Q 不重合) .若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（）.A .{}n S 是等差数列 B.{}2n S 是等差数列 C.{}n d 是等差数列 D.{}2n d 是等差数列5.A 解析设点n A 到对面直线的距离为n h ，则112n n n n +S h B B =.由题目中条件可知1n n B B +的长度为定值，则1212n n S h B B =.那么我们需要知道n h 的关系式，过点1A 作垂直得到初始距离1h ，那么1,n A A 和两个垂足构成了直角梯形，那11tan n n h h A A θ=+⋅，其中θ为两条线的夹角，那么11121(tan )2n n S h A A B B θ=+⋅，由题目中条件知112n n n n A A A A +++=，则()1121n A A n A A =-.所()1121211tan 2n S h n A A B B θ=⎡+-⋅⎤⎣⎦，其中θ为定值，所以n S 为等差数列.故选A.6.（2017全国1文17）记n S 为等比数列{}n a 的前项和.已知22S =，36S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并判断1n S +，n S ，2n S +是否成等差数列. 6.解析（1）由题意设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则2112311126S a a q S a a q a q =+=⎧⎨=++=-⎩，从而2131q q q ++=-+，即()2131q q q ++=-+， 整理得()220q +=，因此2q =-，所以12a =-，数列{}n a 的通项公式为()2nn a =-．（2）由（1）知()()()()212212123nn nS ⎡⎤-⨯--⎣⎦⎡⎤==---⎣⎦--，因此()()+121222121233n n n n S S +++⎡⎤⎡⎤+=------=⎣⎦⎣⎦()()+1222223n n +⎡⎤-----⎣⎦()()2222423n n ⎡⎤=-+⨯--⨯-⎣⎦()41223nn S ⎡⎤=---=⎣⎦．所以1n S +，n S ，2n S +成等差数列．。

2021年高考数学分项汇编专题6 数列（含解析）文一．基础题组1. 【xx课标全国Ⅰ，文6】设首项为1，公比为的等比数列{a n}的前n项和为S n，则( )．A．S n＝2a n－1 B．S n＝3a n－2 C．S n＝4－3a n D．S n＝3－2a n【答案】：D2. 【xx全国1，文6】已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，S n＝2a n＋1，则S n＝( )A．2n－1 B． C． D．【答案】B3. 【2011全国1，文6】设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ( )（A）8 （B）7 （C）6 （D）5【答案】D4. 【xx全国1，文4】已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于( ) A．5 B．7 C．6 D．4【答案】：A5. 【xx全国1，文7】已知等比数列满足，则（）A．64 B．81 C．128 D．243【答案】A6. 【xx全国卷Ⅰ,文14】设等差数列{a n}的前n项和为S n.若S9=72,则a2+a4+a9=__________. 【答案】:247. 【xx全国1，文17】已知是递增的等差数列，，是方程的根。

（I）求的通项公式；（II）求数列的前项和.8. 【xx全国1，文18】已知数列{a n}中，a1＝1，前n项和.(1)求a2，a3；(2)求{a n}的通项公式．9. 【2011全国1，文17】10. 【xx全国1，文17】记等差数列{a n}的前n项和为S n，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求S n.11. 【xx全国卷Ⅰ,文17】设等差数列{a n}的前n项和为S n,公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n,已知a1=1,b1=3,a3+b3=17,T3-S3=12,求{a n},{b n}的通项公式.12. 【xx全国1，文19】在数列中，，．（Ⅰ）设．证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．13. 【xx全国1，文21】（本小题满分12分）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，（Ⅰ）求、的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和。

2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编专题06数列解答题1．(2022年全国甲卷理科·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．(1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．2．(2022新高考全国II 卷·第17题)已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．(1)证明：11a b =；(2)求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．3．(2022新高考全国I 卷·第17题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++< ．4．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)求使n n S a >成立的n 的最小值．5．(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n +⎧+=⎨+⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；(2)求{}n a 的前20项和．6．(2020年新高考I 卷(山东卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．7．(2020新高考II 卷(海南卷)·第18题)已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．(1)求{}n a 通项公式；(2)求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-．8．(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知12nb +=．(1)证明：数列{}n b 是等差数列;(2)求{}n a 的通项公式．9．(2021年高考全国甲卷理科·第18题)已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．10．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．(1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-．(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n ．12．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =，10b =，1434n n n a a b +=-+，1434n n n b b a +=--．()1证明：{}n n a b +是等比数列，{}n n a b -是等差数列；()2求{}n a 和{}n b 的通项公式．13．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题)(12分)等比数列{}n a 中，11a =，534a a =(1)求{}n a 的通项公式；的(2)记n S 为{}n a 的前n 项和，若63m S =，求m ．(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =14．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题)(12分)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值．15．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a λ=+,其中0λ≠.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列,并求其通项公式;(Ⅱ)若53132S =,求λ.16．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(本题满分12分)n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S ，=记[]=lg n nb a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg 99=1，．(I)求111101b b b ，，；(II)求数列{}n b 的前1 000项和．17．(2015高考数学新课标1理科·第17题)(本小题满分12分)n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知20,24 3.n n n n a a a S >+=+(Ⅰ)求{}n a 的通项公式：(Ⅱ)设112n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和18．(2014高考数学课标2理科·第17题)(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+．(Ⅰ)证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(Ⅱ)证明：1231112na a a ++<…+19．(2014高考数学课标1理科·第17题)已知数列的前项和为,,,,其中为常数．(1)证明:;{}n a n n S 11a =0n a ≠11n n n a a S +=-λλ2n n a a l +-={}n a(2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由．。

1. 【2014高考北京版理第5题】设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1>q ”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 【2014高考福建卷第3题】等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( ).8A .10B .12C .14D3. 【2014高考江苏卷第7题】在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是 .4. 【2014辽宁高考理第8题】设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列1{2}n a a 为递减数列，则（ ） A ．0d < B ．0d > C ．10a d < D ．10a d >5. 【2014重庆高考理第2题】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是( )139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列6. 【2014天津高考理第11题】设{}n a 是首项为1a ，公差为1-的等差数列，n S 为其前n 项和．若124,,S S S 成等比数列，则1a 的值为__________．7. 【2014大纲高考理第10题】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】C ．8. 【2014高考广东卷理第13题】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .9. 【2014高考安徽卷理第12题】数列{}n a 是等差数列，若1351,3,5a a a +++构成公比为q 的等比数列，则q =________.10. 【2014高考北京版理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.【答案】8。