1.3函数性质复习学案(无答案)新人教A版必修1

1.3 函数的基本性质【入门向导】 数学与科技根据人类消耗的能源结构比例图的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．太阳能呢？从图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油所占比例在逐渐变小，天然气、核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也逐渐增大．解读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1．这个区间可以是整个定义域．如y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质．2．这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集，如y ＝x 2－2x ＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质．3．有的函数无单调性．如函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言，又如y ＝x 2＋1，x ∈{0,1,2}，它的定义域不是区间，也就不能说它在定义域上具有单调性．二、单调性的证明与判断函数单调性的证明与判断的主要方法是定义法．严格按照单调性定义进行证明．主要步骤有如下五步：(1)取值：定义域中x 1，x 2的选取，选取x 1，x 2时必须注意如下三点：①x 1，x 2取值的任意性，即“任意取x 1，x 2”中，“任意”二字不能省略或丢掉，更不可随意取两个特殊值替代x 1，x 2；②x 1与x 2有大小，一般规定x 1<x 2；③x 1与x 2同属一个单调区间．(2)作差：指求f (x 2)－f (x 1)．(3)变形：这一步连同下一步“定号”是单调性证明与判定的核心内容，即将②中的差式f (x 2)－f (x 1)进一步化简变形，变到利于判断f (x 2)－f (x 1)的正负为止．常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等．一般变形结果是将和差变形为积商，这样才便于定号．(4)定号：根据变形结果，确定f (x 2)－f (x 1)的符号．(5)判断：根据x 1与x 2的大小关系及f (x 1)与f (x 2)的大小关系，结合单调性定义得出结论．例1 证明：函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．证明 设x 1，x 2是R 上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 31－x 32＝(x 1－x 2)(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝(x 1－x 2)[(x 1＋12x 2)2＋34x 22]． ∵x 1<x 2，∴x 1－x 2<0.易得(x 1＋12x 2)2＋34x 22≥0. ∵上式等于零的条件是⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－12x 2，x 2＝0，即x 1＝x 2＝0，显然不成立，∴(x 1＋12x 2)2＋34x 22>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∴函数y ＝x 3(x ∈R )是增函数．三、单调区间的求解1．本节单调区间的求解主要是观察法得单调区间再进行证明，或者是图象法求出单调区间，对于利用定义探索函数单调区间问题，由于难度大，要求不可过高，适当了解即可．(单调区间的求解问题随着进一步学习，我们会找到更简单快捷的方法——导数法)2．书写单调区间时，注意区间端点的写法．对于某一个点而言，由于它的函数值是一个确定的常数，无单调性可言，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些不在定义域内的区间端点，书写时就必须去掉端点，因此，书写单调区间时，不妨约定“能闭则闭，须开则开”．函数奇偶性学法指导一、学习要点1．要注意准确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称，方可讨论函数f (x )的奇偶性．(2)f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇、偶函数的定义是判断奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式，即：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝±1(f (x )≠0)． 3．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形，反之亦成立．因此也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性和简化一些函数图象的画法．4．按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．5．在公共定义域内：(1)奇函数与奇函数的和(差)仍是奇函数；偶函数与偶函数的和(差)仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和(差)是非奇非偶函数．(2)奇函数与奇函数的积(商)是偶函数；偶函数与偶函数的积(商)是偶函数；奇函数与偶函数的积(商)是奇函数．以上两条同学们可以自行验证．6．设f (x )是定义域关于原点对称的一个函数，则F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．7．奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相反．二、典型例题选析例2 当a ，b ，c 满足什么条件时，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 是：(1)奇函数；(2)偶函数；(3)既奇又偶函数；(4)非奇非偶函数．解 (1)若是奇函数，应有f (－x )＝－f (x )，于是有ax 2－bx ＋c ＝－ax 2－bx －c ，即ax 2＋c ＝0对定义域内所有实数都成立，所以只有a ＝c ＝0.(2)若是偶函数，则有f (－x )＝f (x )，于是有ax 2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，即2bx ＝0对定义域内所有实数都成立，所以只有b ＝0.(3)若既是奇函数又是偶函数，则由(1)和(2)知a ＝b ＝c ＝0.(4)若是非奇非偶函数，则f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，即⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－bx ＋c ≠－ax 2－bx －c ，ax 2－bx ＋c ≠ax 2＋bx ＋c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋c ≠0，bx ≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0或c ≠0，b ≠0. 所以a ≠0且b ≠0或c ≠0且b ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．例3 已知f (x )＝ax 5＋bx 3＋cx －8，且f (－2)＝10，求f (2)的值．解 令g (x )＝f (x )＋8＝ax 5＋bx 3＋cx ，显然g (x )是奇函数，即g (－2)＝－g (2)．又g (－2)＝f (－2)＋8＝18，所以f (2)＝g (2)－8＝－26.判断函数奇偶性的常见错误一、忽略定义域出错例4 判断f (x )＝x 4－x 31－x的奇偶性． 错解 因为f (x )＝x 4－x 31－x ＝x 3(1－x )1－x＝x 3， 显然f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．剖析 判断函数奇偶性，首先要看函数的定义域，若定义域是关于原点的对称区间，则函数可能具有奇偶性；否则，函数一定不具有奇偶性．其次，要看f (x )与f (－x )之间的关系．正解 函数的定义域为{x |x ≠1}．显然，它的定义域不关于原点对称，于是该函数为非奇非偶函数．二、忽视对参数的讨论例5 判断函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(a ∈R )的奇偶性．错解 显然函数定义域为R .因为f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，所以f (－a )≠f (a )，且f (－a )≠－f (a )，所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．剖析 此解法错在没有对参数进行讨论，未考虑到a ＝0这种特殊情形，以致解题出错．正解 当a ＝0时，函数f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝x 2＋|x |＋1＝f (x )，此时f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1，f (－a )≠f (a )，f (－a )≠－f (a )，此时f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．三、忽视特殊函数f (x )＝0的存在例6 判断函数f (x )＝1－x 2＋x 2－1的奇偶性．错解 定义域为{－1,1}，关于原点对称．又f (－x )＝1－(－x )2＋(－x )2－1＝1－x 2＋x 2－1＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．剖析 上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f (x )＝0，既是奇函数又是偶函数．正解 函数定义域为{－1,1}，此时f (x )＝0，因而f (x )既是奇函数又是偶函数．四、不明分段函数奇偶性概念致错例7 判断f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋3， x <0，3， x ＝0，－x 2＋2x －3 x >0，的奇偶性．错解 当x >0时，－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝－(－x 2＋2x －3)＝－f (x )．当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )－3＝－(x 2＋2x ＋3)＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．剖析 尽管对于定义域内的每一个不为零的x ，都有f (－x )＝－f (x )成立，但当x ＝0时，f (0)＝3≠－f (0)，所以函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数.断函数单调性的方法一、用定义证明函数的单调性例1 证明：函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数．证明 f (x )＝－x 的定义域为[0，＋∞)，设0≤x 1<x 2，则x 2－x 1>0，且f (x 2)－f (x 1)＝(－x 2)－(－x 1)＝x 1－x 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2， ∵x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．∴f (x )＝－x 在定义域[0，＋∞)上是减函数．点评 (1)有的同学认为由0≤x 1<x 2，得0≤x 1<x 2多么直接呢，其实这种证明方法不正确，因为我们没有这样的性质作依据．其次，这种证明利用了函数y ＝x 的单调性，而y ＝x 的单调性，我们没有证明，因此不能直接使用．(2)在本题的证明中，我们使用了“分子有理化”这种证明技巧，在今后的学习中，我们还会经常遇到，因此要注意观察这类题目的结构特点，在今后的学习中学会使用这种方法．例2 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )对任意x ，y ∈(0，＋∞)，恒有f (xy )＝f (x )＋f (y )，且当0<x <1时f (x )>0，判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性．分析 抽象函数单调性的判断要紧扣定义，并且要注意对原题条件的应用．解 设x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1x 2·x 2)－f (x 2) ＝f (x 1x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1x 2)． ∵x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，∴0<x 1x 2<1，∴f (x 1x 2)>0. ∴f (x 1)>f (x 2)．∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．二、利用已知函数的单调性判断较复杂函数的单调性例3 求函数f (x )＝－x 2＋a x(a >0)的单调区间．分析 此函数可化为f (x )＝－x ＋a x ，可根据y ＝1x的单调性判断． 解 f (x )＝－x 2＋a x ＝－x ＋a x. ∵a >0，y ＝a x的单调递减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)， y ＝－x 在R 上单调递减，∴f (x )＝－x 2＋a x(a >0)的单调区间是(－∞，0)和(0，＋∞)． 点评 运用已知的结论，直接得到函数的单调性．如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．了解以下结论，对于直接判断函数的单调性有好处：①函数y ＝－f (x )与函数y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反．②当f (x )恒为正或恒为负时，函数y ＝1f (x )与y ＝f (x )在相对应的区间上的单调性相反． ③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，增函数－减函数＝增函数等．三、图象法例4 求函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调区间．分析 “脱去”绝对值符号，画出函数图象，由图象观察得出．解 当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4.画出图象如图所示：故在(－∞，－1]和[0,1]上，函数是增函数；在[－1,0]和[1，＋∞)上，函数是减函数．函数单调性的应用一、比较大小例5 若函数f (x )＝x 2＋mx ＋n ，对任意实数x 都有f (2－x )＝f (2＋x )成立，试比较f (－1)，f (2)，f (4)的大小．解 依题意可知f (x )的对称轴为x ＝2，∴f (－1)＝f (5)．∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f (2)<f (4)<f (5)，即f (2)<f (4)<f (－1)．点评 (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．二、解不等式例6 已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)<f (1－2t )，求实数t 的取值范围．解 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<t －1<1，－1<1－2t <1，t －1<1－2t ，解得0<t <23. 点评 (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小，然后去解不等式；(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围；(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．三、求参数的值或取值范围例7 已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a 的取值范围．解 任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0.Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 32－ax 2)－(x 31－ax 1)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )．∵1≤x 1<x 2，∴x 21＋x 1x 2＋x 22>3.显然不存在常数a ，使(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )恒为负值．又f (x )在[1，＋∞)上是单调函数，∴必有一个常数a ，使x 21＋x 1x 2＋x 22－a 恒为正数，即x 21＋x 1x 2＋x 22>a .当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 21＋x 1x 2＋x 22>3，∴a ≤3.此时，∵Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy >0，即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴a 的取值范围是(0,3]．四、利用函数单调性求函数的最值例8 已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值； (3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．解 (1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， ∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2. 易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数．∴f (x )min ＝f (1)＝72. (3)函数f (x )＝x ＋a x＋2在(0，a ]上是减函数， 在[a ，＋∞)上是增函数．若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2.若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.五、利用函数单调性证明不等式例9 已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b >c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c. 证明 设f (x )＝x 1＋x(x >0)， 设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 1－x 21＋x 2＝x 1－x 2(1＋x 1)(1＋x 2)<0. ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∵a ＋b >c ，∴f (a ＋b )>f (c )，即a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c.又f (a )＋f (b )＝a 1＋a ＋b 1＋b >a 1＋a ＋b ＋b 1＋a ＋b＝a ＋b 1＋a ＋b， ∴a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c. 点评 本题通过构造函数，利用函数单调性证明不等式．判断函数奇偶性的方法函数奇偶性是函数的一个重要性质，在各种考试中屡次出现，其表现形式多种多样，求解方法也不单一，不同的形式对应不同的解决策略．现介绍三种常见的方法，供同学们学习时参考．一、定义法首先求出函数的定义域，确定其定义域是否关于原点对称，若对称再利用f (－x )＝f (x )(符合为偶函数)或f (－x )＝－f (x )(符合为奇函数)，否则既不是奇函数也不是偶函数．例10 判断函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3的奇偶性． 解 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0， 解得－2≤x ≤2且x ≠0，此函数的定义域[－2,0)∪(0,2]关于原点对称，且满足x ＋3>0，则函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ， f (－x )＝4－(－x )2－x＝－4－x 2x ＝－f (x )， 故函数f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3是奇函数． 点评 判断函数的奇偶性时，首先一定要观察函数定义域是否关于原点对称，这是判断奇偶性的前提条件．二、等价转化法利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理，往往借助f (－x )±f (x )＝0来解决，方法比较简便．三、图象法奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．例11 判断函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|的奇偶性．解 f (x )＝|x ＋2|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ， x >2，4， －2≤x ≤2，－2x ， x <－2，其图象(如图)关于y 轴对称，该函数为偶函数．点评 利用图象法(数形结合法)解题，形象直观、清晰可见．同时数形结合思想一直都是高考考查的重点，同学们要注意领会．一道课本习题的拓展证明：(1)若f (x )＝ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2；(2)若f (x )＝x 2＋ax ＋b ，则f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2. 探究 x 1＋x 22为自变量x 1、x 2中点，x 1＋x 22对应的函数值f (x 1＋x 22)为“中点的纵坐标”．而12[f (x 1)＋f (x 2)]为x 1、x 2对应的函数值所对应的点的中点，即“纵坐标的中点”．f (x )＝ax ＋b 的图象为直线，所以“中点的纵坐标”等于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)＝f (x 1)＋f (x 2)2.而f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象为开口向上的抛物线，图象向下凹进，由图象可得到“中点的纵坐标”不大于“纵坐标的中点”，即有f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2. 拓展 在给定区间内，若函数f (x )的图象向上凸出，则函数f (x )在该区间上为凸函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≥f (x 1)＋f (x 2)2；在给定区间内，若函数f (x )的图象向下凹进，则函数f (x )在该区间上为凹函数，结合图象易得到f (x 1＋x 22)≤f (x 1)＋f (x 2)2.这一性质，可以称为函数的凹凸性．活用函数的基本性质掌握函数与方程的互化，构造函数求值某些求值问题，若能根据问题的结构特征，注重揭示内在联系，挖掘隐含因素，用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系，利用函数的单调性，借助函数的奇偶性把问题解决．例12 已知实数x ，y 满足(x ＋x 2＋1)·(y ＋y 2＋1)＝1，求x ＋y 的值．解 由已知条件可得x ＋x 2＋1＝－y ＋(－y )2＋1.构造函数f (t )＝t ＋t 2＋1.显然f (t )＝t ＋t 2＋1是R 上递增函数．因为f (x )＝f (－y )，所以x ＝－y ，即x ＋y ＝0.例13 已知(x ＋2y )5＋x 5＋2x ＋2y ＝0，求x ＋y 的值．解 已知方程化为(x ＋2y )5＋(x ＋2y )＝－(x 5＋x )．①由①式的结构，构造函数f (t )＝t 5＋t .显然，f (t )是奇函数，且在R 上单调递增．由于①式可写成f (x ＋2y )＝－f (x )＝f (－x )，所以有x ＋2y ＝－x ，即x ＋y ＝0.三种数学思想在函数奇偶性中的应用一、数形结合思想例14 设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]．若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集为______________．解析 注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思想方法画全函数f (x )在[－5,5]上的图象(如图所示)，数形结合，得f (x )<0的解集为{x |－2<x <0或2<x ≤5}．答案 (－2,0)∪(2,5]二、分类讨论思想 例15 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，a ∈R )，试判断f (x )的奇偶性．解 当a ＝0时，f (x )＝x 2，对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(a ≠0，x ≠0)， 取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．三、方程思想例16 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋m x 2＋nx ＋1，试求f (x )． 分析 利用奇函数的性质、定义求出参数m 、n 的值是关键．解 由f (0)＝0知m ＝0.由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，即－x ＋0x 2－nx ＋1＝－x ＋0x 2＋nx ＋1， ∴x 2－nx ＋1＝x 2＋nx ＋1，∴n ＝0.∴f (x )＝x x 2＋1.二次函数在某区间上的最值——思维规律解读一、定函数在定区间上的最值例17 求函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[－1,4]上的最大值和最小值．解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.因为函数对称轴x ＝1在区间[－1,4]内，又函数开口向上，所以当x ＝1时，f (x )取到最小值为1.又f (－1)＝5，f (4)＝10，所以在x ＝4时，f (x )取到最大值为10.二、定函数在动区间上的最值例18 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在区间[t ，t ＋1]上的最小值为g (t )，求g (t )的表达式．解 f (x )＝(x －1)2＋1，其对称轴为x ＝1.当t ＋1<1时，即t <0时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的左侧，f (x )在此区间上是减函数．所以此时g (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2－2(t ＋1)＋2＝t 2＋1.当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，对称轴x ＝1在此区间内，又函数开口向上．所以此时g (t )＝f (1)＝12－2＋2＝1.当t >1时，区间[t ，t ＋1]在对称轴的右侧，f (x )在此区间上是增函数．所以此时g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1， t <0，1， 0≤t ≤1，t 2－2t ＋2， t >1.三、动函数在定区间上的最值例19 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3在区间[－2,2]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式．解 f (x )＝(x ＋a 2)2＋3－a 24， 其对称轴为x ＝－a 2. 当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]的右侧，即－a 2≥2，a ≤－4时，f (x )在此区间上是减函数． 所以此时g (a )＝f (－2)＝7－2a .当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]内时，如果－2<－a 2<0， 即0<a <4时，x ＝2距离对称轴较远，所以此时f (x )在x ＝2时取到最大值，为g (a )＝f (2)＝7＋2a ；如果0<－a 2<2，即－4<a <0时， 则x ＝－2距离对称轴较远，此时f (x )在x ＝－2时取到最大值，为g (a )＝f (－2)＝7－2a .当对称轴x ＝－a 2在区间[－2,2]的左边， 即－a 2≤－2，a ≥4时，f (x )在此区间上是增函数． 所以此时g (a )＝f (2)＝7＋2a .综上得：g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7＋2a ， a >0，7－2a ， a ≤0. 四、动函数在动区间上的最值例20 设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1(x ∈R )，求f (x )的最小值．解 ①当x ≤a 时，函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34， 若a ≤12，则函数f (x )在(－∞，a ]上单调递减， 从而f (x )在(－∞，a ]上的最小值为f (a )＝a 2＋1；若a ＞12，则f (x )在(－∞，a ]上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫12＝34＋a .②当x ≥a 时，f (x )＝x 2＋x －a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－a ＋34， 若a ≤－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫－12＝34－a ； 若a ＞－12，则函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，从而函数f (x )在[a ，＋∞)上的最小值为f (a )＝a 2＋1. 综上，当a ≤－12时，函数f (x )的最小值为34－a ； 当－12＜a ≤12时，函数f (x )的最小值为a 2＋1； 当a ＞12时，函数f (x )的最小值为a ＋34. 点评 当二次函数在某个区间上求最值时，其关键在于明确函数的对称轴与自变量取值范围的相对位置关系，分对称轴在区间内、在区间左边、在区间右边三种情况讨论．形如“y ＝x ＋a x(a >0)”的函数图象的探究例21 试探究函数f (x )＝x ＋a x(a >0)，x ∈(0，＋∞)的单调区间． 解 任取0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋a x 1－x 2－a x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－a )x 1x 2. 由于x 1－x 2及x 1x 2的符号已定，从而f (x 1)－f (x 2)的符号取决于x 1x 2－a 的符号．由于x 1，x 2只能取f (x )的某个单调区间上的值，因此考虑x 1＝x 2这一极端情形，则x 1x 2－a ＝x 21－a ，若为零，得x 1＝x 2＝a ，从而将定义域(0，＋∞)分为两个区间(0，a )及[a ，＋∞)，由此讨论它的单调性即可．任取0<x 1<x 2<a ，则x 1－x 2<0，0<x 1x 2<a ，所以x 1x 2－a <0.于是f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(0，a )上单调递减．同理可知，函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增． 由f (x )是奇函数，知f (x )在(－∞，－a )上单调递增，在(－a ，0)上单调递减．由函数的单调性及奇偶性，可作出如下图象：知识延伸 (1)函数y ＝x ＋a x(a >0)是一个常用且重要的函数，其图象如图所示，记住这个图象和性质会给解题带来方便．(2)对形如f (x )＝x 2＋2x ＋3x这种“分式型”的函数，求它在区间[a ，b ]上的最值，常用“分离变量”法转化为y ＝x ＋a x(a >0)模型求解．谈复合函数的单调性设y ＝f (t )是t 的函数，t ＝g (x )是x 的函数，若t ＝g (x )的值域是y ＝f (t )定义域的子集，则y 通过中间变量t 构成x 的函数，称为x 的复合函数，记作y ＝f (t )＝f [g (x )]．如函数y ＝1－x ，若设t ＝1－x ，则y ＝t .这里t 是x 的函数，y 是t 的函数，所以y ＝1－x 是x 的复合函数，把t 称为中间变量．问题1 已知函数y ＝f (t )的定义域为区间[m ，n ]，函数t ＝g (x )的定义域为区间[a ，b ]，值域D ⊆[m ，n ]．若y ＝f (t )在定义域内单调递增，t ＝g (x )在定义域内单调递增，那么y ＝f [g (x )]是否为[a ，b ]上的增函数？为什么？探究 y ＝f [g (x )]是区间[a ，b ]上的增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈[a ，b ]，且x 1<x 2，则t 1＝g (x 1)，t 2＝g (x 2)，且t 1，t 2∈[m ，n ]．因为t ＝g (x )在[a ，b ]上递增，所以g (x 1)<g (x 2)，即t 1<t 2，而y ＝f (t )在[m ，n ]递增，故f (t 1)<f (t 2)，即f [g (x 1)]<f [g (x 2)]，所以y ＝f [g (x )]在[a ，b ]上是增函数．问题2 若将g (x )在区间[a ，b ]上“递增”改为“递减”或将f (x )在区间[m ，n ]上“递增”改为“递减”等，这时复合函数y ＝f [g (x )]在区间[a ，b ]上的单调性又如何呢？探究 利用解决问题1的方法就可以得出相应的结论(你不妨一试)．由此可得到如下复合函数单调性的结论：义域；要确定t ＝g (x )(常称内层函数)的值域，否则无法确定f (t )(常称外层函数)的单调性．例22 求函数y ＝1(x ＋1)2的单调区间．解 函数y ＝1(x ＋1)2的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 设t ＝(x ＋1)2，则y ＝1t(t >0)． 当x ∈(－∞，－1)时，t 是x 的减函数，y 是t 的减函数，所以(－∞，－1)是y ＝1(x ＋1)2的递增区间； 当x ∈(－1，＋∞)时，t 是x 的增函数，y 是t 的减函数，所以(－1，＋∞)是y ＝1(x ＋1)2的递减区间． 综上知，函数y ＝1(x ＋1)2的递增区间为(－∞，－1)，递减区间为(－1，＋∞)． 试一试 求y ＝1x 2－2x －3的单调区间． 解 由x 2－2x －3≠0，得x ≠－1或x ≠3，令t ＝x 2－2x －3(t ≠0)，则y ＝1t， 因为y ＝1t在(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数， 而t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1)，(－1,1)上为减函数，在(1,3)，(3，＋∞)上是增函数，所以函数y ＝1x 2－2x －3的递增区间为(－∞，－1)，(－1,1)， 递减区间为(1,3)，(3，＋∞).函数基本性质如何考？1．(辽宁高考)设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之和为( )A ．－3B ．3C ．－8D ．8 解析 因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4； ②x ＋x ＋3x ＋4＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.由②知x 2＋5x ＋3＝0，故两根之和为x 3＋x 4＝－5.因此满足条件的所有x 之和为－8.答案 C2．(全国Ⅱ高考)函数f (x )＝1x－x 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称解析 f (x )＝1x－x 的定义域为{x |x ≠0}， ∵f (－x )＝－1x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫1x －x ＝－f (x )． ∴f (x )是一个奇函数．∴f (x )的图象关于原点对称．答案 C3．(重庆高考)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析 令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2f (0)＋1，所以f (0)＝－1.令x 2＝－x 1，得f (0)＝f (x 1)＋f (－x 1)＋1，即f (－x 1)＋1＝－f (x 1)－1.所以f (x )＋1为奇函数．答案 C4．(湖南高考)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析 结合图象，由f (x )在[1,2]上为减函数知a ≤1，由g (x )在[1,2]上是减函数知a >0.∴0<a ≤1.答案 D5．(上海高考)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝____________.解析 ∵f (－x )＝f (x )且f (x )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴b (－x )2＋(2a ＋ab )(－x )＋2a 2＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2，∴－(2a ＋ab )＝2a ＋ab ，即2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.当a ＝0时，f (x )＝bx 2，∵f (x )值域为(－∞，4]，而y ＝bx 2值域不可能为(－∞，4]，∴a ≠0.当b ＝－2时，f (x )＝－2x 2＋2a 2，值域为(－∞，2a 2]．∴2a 2＝4，∴a 2＝2.∴f (x )＝－2x 2＋4.答案 －2x 2＋46．(上海高考)若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b ，的取值范围是________．解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax －ab ＋2 (x ≥b )，－ax ＋ab ＋2 (x <b ). ∵函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴必有a >0，且[0，＋∞)是[b ，＋∞)的子集，即a >0，且b ≤0.答案 a >0且b ≤0。

1．3.2 奇 偶 性[提出问题]已知函数(1)f (x )＝x 2－1，(2)f (x )＝－1x，(3)f (x )＝2x 的图象分别如图所示：问题1：各个图象有怎样的对称性？提示：题图(1)关于y 轴对称；题图(2)(3)关于坐标原点对称．问题2：对于以上三个函数，分别计算f (－x )，观察对定义域内的每一个x ，f (－x )与f (x )有怎样的关系？提示：(1)f (－x )＝f (x )；(2)f (－x )＝－f (x )；(3)f (－x )＝－f (x )．[导入新知]理解函数的奇偶性应注重四点(1)函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对其定义域内的每一个x ，都有f (－x )＝－f (x )[或f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇(偶)函数．(2)函数y ＝f (x )是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称．换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．例如，函数y ＝x 2在区间(－∞，＋∞)上是偶函数，但在区间[－1,2]上却无奇偶性可言．(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f (0)＝0.(4)若f (－x )＝－f (x )，且f (－x )＝f (x )，则f (x )既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f (x )＝0，x ∈D ，D 是关于原点对称的实数集．[例1] (1)f (x )＝x ＋1；(2)f (x )＝x 3＋3x ，x ∈[－4,4)； (3)f (x )＝|x －2|－|x ＋2|； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0.[解] (1)函数f (x )＝x ＋1的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝－x ＋1＝－(x －1)，－f (x )＝－(x ＋1)，即f (－x )≠－f (x )，f (－x )≠f (x )，所以函数f (x )＝x ＋1既不是奇函数又不是偶函数．(2)因为函数的定义域不关于原点对称，即存有－4∈[－4,4)，而4∉[－4,4)，所以函数f (x )＝x 3＋3x ，x ∈[－4,4)既不是奇函数又不是偶函数．(3)函数f (x )＝|x －2|－|x ＋2|的定义域为实数集R ，关于原点对称．因为f (－x )＝|－x －2|－|－x ＋2|＝|x ＋2|－|x －2|＝－(|x －2|－|x ＋2|)＝－f (x )，所以函数f (x )＝|x －2|－|x ＋2|是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，f (－x )＝－12(－x )2－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋1＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (－x )＝12(－x )2＋1＝12x 2＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2－1＝－f (x )．综上可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋1，x >0，－12x 2－1，x <0是奇函数．[类题通法]判断函数奇偶性的方法(1)定义法：根据函数奇偶性的定义实行判断．步骤如下：①判断函数f (x )的定义域是否关于原点对称．若不对称，则函数f (x )为非奇非偶函数，若对称，则实行下一步．②验证．f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )． ③下结论．若f (－x )＝－f (x )，则f (x )为奇函数； 若f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数；若f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )，则f (x )为非奇非偶函数． (2)图象法：f (x )是奇(偶)函数的等价条件是f (x )的图象关于原点(y 轴)对称．(3)性质法：①偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； ②奇函数的和、差仍为奇函数；③奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； ④一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数． [活学活用]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋4x，x >0，－x 2－x ＋4x，x <0.解：(1)函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|的定义域为R.因为对于任意的x ∈R ，都有f (－x )＝|－x －2|＋|－x ＋2|＝|x ＋2|＋|x －2|＝f (x )， 所以函数f (x )＝|x －2|＋|x ＋2|是偶函数．(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，则f (－x )＝－－x2－－x ＋4－x ＝x 2＋x ＋4x＝f (x )；当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x2＋－x ＋4－x ＝－x 2－x ＋4x＝f (x )．综上可知，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋4x，x >0，－x 2－x ＋4x，x <0是偶函数.[例2] (1)若函数f (x )＝x ＋x －a为奇函数，则a ＝( )A.12 B.23 C.34D ．1(2)若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________；(3)已知函数f (x )＝ax 2＋2x 是奇函数，则实数a ＝________.[解析] (1)要使函数式有意义，则x ≠－12，且x ≠a ，而函数f (x )为奇函数，所以其定义域应关于原点对称，由此得a ＝12，经验证当a ＝12时，函数f (x )是奇函数．(2)因为偶函数的定义域关于原点对称， 所以a －1＝－2a ，解得a ＝13.又函数f (x )＝13x 2＋bx ＋b ＋1为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b ＝0.(3)由奇函数定义有f (－x )＋f (x )＝0，得a (－x )2＋2(－x )＋ax 2＋2x ＝2ax 2＝0，故a ＝0. [答案] (1)A (2)13 0 (3)0[类题通法]由函数的奇偶性求参数应注重两点(1)函数奇偶性的定义既是判断函数的奇偶性的一种方法，也是在已知函数奇偶性时能够使用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用．(2)利用常见函数如一次函数、反比例函数、二次函数具有奇偶性的条件也可求得参数． [活学活用]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，ax 2＋x ，x <0是奇函数，则a ＝________.解析：当x <0时，－x >0，f (－x )＝－(－x )2＋(－x )＝－x 2－x .又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝x 2＋x ，即ax 2＋x ＝x 2＋x ，∴a ＝1. 答案：1[例3] 2x .(1)求出函数f (x )在R 上的解析式； (2)画出函数f (x )的图象．[解] (1)因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，则f (0)＝0. 当x ＜0时，－x ＞0.∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )] ＝－x 2－2x .综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ＞0，0， x ＝0，－x 2－2x ， x ＜0.(2)f (x )的图象如图所示．[类题通法]利用奇偶性求解析式的方法首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．[活学活用]已知f (x )是R 上的偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x 2＋x －1，求x ∈(－∞，0) 时，f (x )的解析式． 解：设x <0，则－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2＋(－x )－1. ∴f (－x )＝x 2－x －1. ∵函数f (x )是偶函数， ∴f (－x )＝f (x )． ∴f (x )＝x 2－x －1.∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x 2－x －1.3.函数的单调性与奇偶性的综合问题[典例] (12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．[解题流程][活学活用]设函数f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，求a 的取值范围．解：由f (x )在R 上是偶函数，在区间(－∞，0)上递增，可知f (x )在(0，＋∞)上递减．∵2a 2＋a ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋142＋78>0，2a 2－2a ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋52>0，且f (2a 2＋a ＋1)<f (2a 2－2a ＋3)，∴2a 2＋a ＋1>2a 2－2a ＋3， 即3a －2>0，解得a >23，∴a 的取值范围为⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a >23.[随堂即时演练]1．函数f (x )＝3－x2x的图象关于( )A ．x 轴对称B ．原点对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称 解析：选B 由题意知f (x )＝3－x2x的定义域为[－3，0)∪(0，3]，∴定义域关于原点对称， 又∵f (－x )＝3－x2－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，其图象关于原点对称．2．定义在R 上的偶函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则( ) A ．f (3)>f (－4)<f (－π) B ．f (－π)<f (－4)<f (3) C ．f (3)<f (－π)<f (－4) D ．f (－4)<f (－π)<f (3)解析：选C ∵f (x )在R 上是偶函数， ∴f (－π)＝f (π)，f (－4)＝f (4)． 而3<π<4，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴f (3)<f (π)<f (4)，即f (3)<f (－π)<f (－4)． 3．已知函数f (x )＝x ＋mx 2＋nx ＋1是定义在(－1,1)上的奇函数，则常数m ，n 的值分别为________．解析：由题意知f (0)＝0，故得m ＝0.由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，即－xx 2－nx ＋1＝－xx 2＋nx ＋1，∴x 2－nx ＋1＝x 2＋nx ＋1， ∴n ＝0.答案：0,04．设偶函数f (x )的定义域为[－5,5]，若当x ∈[0,5]时，f (x )的图象如图所示，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：因为偶函数的图象关于y 轴对称，所以可根据对称性确定不等式f (x )<0的解集． ∵当x ∈[0,5]时，f (x )<0的解集为{x |2<x ≤5}， 所以当x ∈[－5,0]时，f (x )<0的解集为{x |－5≤x <－2}． ∴f (x )<0的解集是{x |－5≤x <－2，或2<x ≤5}． 答案：{x |－5≤x <－2，或2<x ≤5} 5．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝1x2＋x 2，x ∈(－1,0)∪(0,1]；(2)f (x )＝1－x2|x ＋2|－2.解：(1)因为函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0,1]，不关于原点对称，故此函数为非奇非偶函数．(2)由1－x 2≥0，得－1≤x ≤1， 又∵|x ＋2|－2≠0， ∴x ≠0，∴－1≤x ≤1且x ≠0，∴定义域关于原点对称，且x ＋2>0， ∴f (x )＝1－x 2x ＋2－2＝1－x2x .∵f (－x )＝1－－x2－x ＝－1－x2x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( ) A ．y ＝1x2B ．y ＝1xC ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A 易判断A，C为偶函数，B，D为奇函数，但函数y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以选A.2．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( ) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))解析：选B ∵f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a)，∴点(－a，－f(a))在函数y＝f(x)图象上．3．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f(6)＋f(－3)的值为( )A．10 B．－10C．9 D．15解析：选C 由已知得，f(6)＝8，f(3)＝－1，又∵f(x)是奇函数，∴f(6)＋f(－3)＝f(6)－f(3)＝8－(－1)＝9，故选C.4．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于( )A．－26 B．－18C．－10 D．10解析：选A 令g(x)＝x5＋ax3＋bx，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．又∵f(x)＝g(x)－8，∴f(－2)＝g(－2)－8＝10⇒g(－2)＝18.∴g(2)＝－18.∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.5．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( )A．3 B．1C．－1 D．－3解析：选D 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.二、填空题6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为________．解析：令x <0，则－x >0. ∴f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x . 又∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0－x 2－2x ， x <07．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 取值范围是________．解析：偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，所以函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13. 由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1<13 ①或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，2x －1>－13②，解①得12≤x <23，解②得13<x <12.综上，得13<x <23，故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23 8．设函数f (x )(x ∈R)为奇函数，f (1)＝12，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)＝________.解析：令x ＝－1，得f (1)＝f (－1)＋f (2)＝－f (1)＋f (2)． 故12＝－12＋f (2)，则f (2)＝1. 令x ＝1，得f (3)＝f (1)＋f (2)＝12＋1＝32.令x ＝3，得f (5)＝f (3)＋f (2)＝32＋1＝52.答案：52三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1，a ∈R. (1)试判断f (x )的奇偶性； (2)若a ＝0时，求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝0时，f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1＝x 2＋|x |＋1＝f (x )． 当a ≠0时，f (a )＝a 2＋1，f (－a )＝a 2＋2|a |＋1， 此时f (a )≠f (－a )，f (a )≠－f (a )．∴当a ＝0时，f (x )为偶函数，当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数． (2)当a ＝0时，f (x )＝x 2＋|x |＋1为偶函数， ∴x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ＋1，x ＝0时，f (x )min ＝1，∴f (x )min ＝1. 10．函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25. (1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明：f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0.解：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝25，即⎩⎪⎨⎪⎧b1＋02＝0，a 2＋b1＋14＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，∴f (x )＝x1＋x2.(2)证明：任取x 1，x 2且满足－1<x 1<x 2<1， 则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 21＝x 2－x 1－x 1x 2＋x 21＋x 22. ∵－1<x 1<x 2<1，∴－1<x 1x 2<1,1－x 1x 2>0. 于是f (x 2)－f (x 1)>0， ∴f (x )为(－1,1)上的增函数． (3)f (t －1)<－f (t )＝f (－t )． ∵f (x )在(－1,1)上是增函数， ∴－1<t －1<－t <1，解得0<t <12.11．已知函数f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，b ∈R 都满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )．(1)求f (0)，f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论． 解：(1)令a ＝b ＝0，则f (0×0)＝0×f (0)＋0×f (0)＝0， ∴f (0)＝0.令a ＝b ＝1，则f (1×1)＝f (1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0.(2)f (x )是奇函数．证明如下：∵f (1)＝f ((－1)2)＝－f (－1)－f (－1)＝0， ∴f (－1)＝0. 令a ＝－1，b ＝x ，则f (－x )＝f (－1·x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．12．已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)判断函数f (x )在(－∞，0)上的单调性，并加以证明． 解：(1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n. 比较得n ＝－n ，则n ＝0. 又∵f (2)＝53，∴4m ＋26＝53， 解得m ＝2，故实数m 和n 的值分别是2和0.(2)函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数，在(－1,0)上为减函数． 证明如下：由(1)可知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .设x 1<x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)＝23(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝23(x 1－x 2)·x 1x 2－1x 1x 2. 当x 1<x 2≤－1时，x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2－1>0， 则f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)．故函数f (x )在(－∞，－1]上为增函数； 当－1<x 1<x 2<0时，x 1－x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2－1<0.则f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 故函数f (x )在(－1,0)上为减函数．(A 卷 学业水平达标) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1．设全集U ＝{x ∈Z|－1≤x ≤5}，A ＝{1,2,5}，B ＝{x ∈N|－1<x <4}，则B ∩(∁U A )＝( ) A ．{3} B ．{0,3} C ．{0,4}D ．{0,3,4}解析：选B ∵U ＝{－1,0,1,2,3,4,5}，B ＝{0,1,2,3}， ∴∁U A ＝{－1,0,3,4}． ∴B ∩(∁U A )＝{0,3}．2．设集合A ＝{－1,3,5}，若f ：x →2x －1是集合A 到集合B 的映射，则集合B 能够是( )A ．{0,2,3}B ．{1,2,3}C ．{－3,5}D ．{－3,5,9}解析：选D 将A 中的元素－1代入得－3，A 中的元素3代入得5，A 中的元素5代入得9，故选D.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋3，x ∈－6，－，1x ，x ∈[－1，，x ，x ∈[1，6]，则f (2)等于( )A.22B. 2 C ．7D ．无法确定解析：选B ∵1<2<6， ∴f (2)＝ 2.4．若f (x )为R 上的奇函数，给出下列结论：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )－f (－x )＝2f (x )；③f (x )·f (－x )≤0；④f xf －x＝－1.其中不准确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个解析：选A 由奇函数的性质可知①②③准确，④错误，故选A.5．已知函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (3)＝( )A ．8B ．9C ．11D ．10解析：选C ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2，∴f (3)＝9＋2＝11.6．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选B ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.又∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，f (x )是周期为4的奇函数，∴f (6)＝f (2)＝f (0＋2)＝－f (0)＝0.7．函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图，则函数y ＝f (x )·g (x )的图象可能是( )解析：选A 因为函数y ＝f (x )·g (x )的定义域是函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的定义域的交集(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以函数图象在x ＝0处是断开的，故能够排除C ，D ；因为当x 为很小的正数时，f (x )>0且g (x )<0，故f (x )·g (x )<0，可排除B ，故选A. 8．偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：选D 因为f (x )是偶函数，所以f (|x |)＝f (x )，所以f (x )＞f (1)可转化为f (|x |)＞f (1)，又因为x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，所以|x |＞1，即x ＜－1或x ＞1.9．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x －f －xx<0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 由f (x )为奇函数可知，f x －f －x x ＝2f xx<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数．所以0<x <1，或－1<x <0.10．设奇函数f (x )在[－1,1]上是增函数，且f (－1)＝－1，若对所有的x ∈[－1,1]及任意的a ∈[－1,1]都满足f (x )≤t 2－2at ＋1，则t 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 C ．(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选C 由题意，得f (1)＝－f (－1)＝1. 又∵f (x )在[－1,1]上是增函数， ∴当x ∈[－1,1]时，有f (x )≤f (1)＝1. ∴t 2－2at ＋1≥1在a ∈[－1,1]时恒成立． 得t ≥2，或t ≤－2，或t ＝0.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．当A ，B 是非空集合，定义运算A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若M ＝{x |y ＝1－x }，N ＝{y |y ＝x 2，－1≤x ≤1}，则M －N ＝________.解析：集合M ：{x |x ≤1}，集合N ：{y |0≤y ≤1}， ∴M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }＝{x |x <0}． 答案：{x |x <0}12．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)＝________. 解析：设g (x )＝ax 3＋bx ，显然g (x )为奇函数， 则f (x )＝ax 3＋bx －4＝g (x )－4，于是f (－2)＝g (－2)－4＝－g (2)－4＝2， 所以g (2)＝－6，所以f (2)＝g (2)－4＝－6－4＝－10. 答案：－1013．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2，0≤x ≤3，x 2＋6x ，－2≤x ≤0的值域是________．解析：设g (x )＝2x －x 2,0≤x ≤3，结合二次函数的单调性可知：g (x )min ＝g (3)＝－3，g (x )max ＝g (1)＝1；同理，设h (x )＝x 2＋6x ，－2≤x ≤0， 则h (x )min ＝h (－2)＝－8，h (x )max ＝h (0)＝0. 所以f (x )max ＝g (1)＝1，f (x )min ＝h (－2)＝－8.答案：[－8,1]14．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则不等式f (x )<0的解集为________．解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (2)＝0，所以f (－2)＝0. 又因为f (x )在(－∞，0]上是减函数，故f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 故满足f (x )<0的x 的取值范围应为(－2,2)， 即f (x )<0的解集为{x |－2<x <2}． 答案：{x |－2<x <2}三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(10分)已知集合A ＝{x |2≤x ≤8}，B ＝{x |1＜x ＜6}，C ＝{x |x ＞a }，U ＝R. (1)求A ∪B ，(∁U A )∩B ；(2)若A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 解：(1)A ∪B ＝{x |2≤x ≤8}∪{x |1＜x ＜6} ＝{x |1＜x ≤8}．∵∁U A ＝{x |x ＜2或x ＞8}， ∴(∁U A )∩B ＝{x |1＜x ＜2}．(2)∵A ∩C ≠∅，作图易知，只要a 在8的左边即可， ∴a ＜8.∴a 的取值范围为(－∞，8)．16．(12分)已知集合P ＝{x |－2≤x ≤10}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)求集合∁R P ；(2)若P ⊆Q ，求实数m 的取值范围； (3)若P ∩Q ＝Q ，求实数m 的取值范围． 解：(1)∁R P ＝{x |x <－2或x >10}；(2)由P ⊆Q ，需⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，得m ≥9，即实数m 的取值范围为[9，＋∞);(3)由P ∩Q ＝Q 得，Q ⊆P ，①当1－m >1＋m ，即m <0时，Q ＝∅，符合题意；②当1－m ≤1＋m ，即m ≥0时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，1－m ≥－2，1＋m ≤10，得0≤m ≤3；综上得：m ≤3，即实数m 的取值范围为(－∞，3]．17．(12分)若f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ，y >0，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2. 解：(1)在f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )中，令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)－f (1)， ∴f (1)＝0. (2)∵f (6)＝1，∴f (x ＋3)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<2＝f (6)＋f (6)， ∴f (3x ＋9)－f (6)<f (6)， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32<f (6)．∵f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，x ＋32<6.解得－3<x <9，即不等式的解集为(－3,9)．18．(12分)已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0.(1)求实数m 的值，并画出函数f (x )的图象；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上是增函数，结合函数f (x )的图象，求实数a 的取值范围；(3)结合图象，求函数f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值． 解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又∵函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x 2－2x )＝x 2＋2x . 又∵当x <0时，f (x )＝x 2＋mx ，∵对任意x <0，总有x 2＋2x ＝x 2＋mx ，∴m ＝2. 函数f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0.由图象可知，函数f (x )的图象在区间[－1,1]上的图象是“上升的”， ∴函数f (x )在区间[－1,1]上是增函数． 要使f (x )在[－1，a －2]上是增函数，需有⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3，即实数a 的取值范围是(1,3]．(3)由图象可知，函数f (x )的图象在区间[－2,2]上的最高点是(1，f (1))，最低点是(－1，f (－1))．又因为f (1)＝－1＋2＝1，f (－1)＝1－2＝－1，所以函数f (x )在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1.19．(12分)已知函数f (x )＝x ＋m x，且此函数的图象过点(1,5)． (1)求实数m 的值； (2)判断f (x )的奇偶性；(3)讨论函数f (x )在[2，＋∞)上的单调性，并证明你的结论． 解：(1)∵f (x )过点(1,5)，∴1＋m ＝5⇒m ＝4. (2)对于f (x )＝x ＋4x，∵x ≠0，∴f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∴f (－x )＝－x ＋4－x ＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)证明：任取x 1，x 2∈[2，＋∞)且x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2－x 1x 2.∵x 1，x 2∈[2，＋∞)且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0，x 1x 2>4，x 1x 2>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0.∴f (x )在[2，＋∞)上单调递增．20．(12分)小张周末自己驾车旅游，早上八点从家出发，驾车3 h 后到达景区停车场，期间因为交通等原因，小张的车所走的路程s (单位：km)与离家的时间t (单位：h )的函数关系式为s (t )＝－5t (t －13)．因为景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h 的速度沿原路返回．(1)求这天小张的车所走的路程s (单位：km)与离家时间t (单位：h)的函数解析式； (2)途经一加油站，距离小张家60 km ，求这天小张的车途经该加油站的时间． 解：(1)依题意得，当0≤t ≤3时，s (t )＝－5t (t －13)， ∴s (3)＝－5×3×(3－13)＝150. 即小张家距离景点150 km ，小张的车在景点逗留时间为16－8－3＝5(h)． ∴当3<t ≤8时，s (t )＝150， 小张从景点回家所花时间为15060＝2.5(h)， 故s (10.5)＝2×150＝300. ∴当8<t ≤10.5时，s (t )＝150＋60(t －8)＝60t －330.综上所述，这天小张的车所走的路程 s (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－5t t －， 0≤t ≤3，150， 3<t ≤8，60t －330， 8<t ≤10.5.(2)当0≤t ≤3时，令－5t (t －13)＝60得t 2－13t ＋12＝0， 解得t ＝1或t ＝12(舍去)， 当8<t ≤10.5时，令60t －330＝2×150－60＝240，解得t ＝192.答：小张这天途经该加油站的时间分别为9点和17时30分．(B 卷 水平素养提升) (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题6分，共60分)1．设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2＞4，x ∈N}，B ＝{0,2,3}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x ＞2，x ∈N}B ．{x |x ≤2，x ∈N}C ．{0,2}D ．{1,2}解析：选C 由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B ∩(∁U A )，∁U A ＝{x |x 2≤4，x ∈N}＝{x |－2≤x ≤2，x ∈N}＝{0,1,2}，∵B ＝{0,2,3}，∴B ∩(∁U A )＝{0,2}，选C. 2．函数y ＝2x ＋3＋1－xx的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32<x ≤1B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32≤x ≤1C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32≤x ≤1且x ≠0D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －32≤x <1且x ≠0解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，1－x ≥0，x ≠0，∴－32≤x ≤1且x ≠0.3．下列各组函数表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1，g (x )＝x 0C ．f (x )＝3x 2，g (x )＝(3x )2D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1解析：选C 选项A 、B 、D 中函数的定义域不同，不是同一函数． 4．函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5]，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2]C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞)解析：选A 因为函数y ＝2x －1在(－∞，1)和[2,5]上都是减函数，故y ∈(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 5．函数f (x )＝x 2＋2ax －b 在(－∞，1)上为减函数，则a 的取值范围为( ) A ．[－1，＋∞) B ．(－∞，－1] C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选B ∵对称轴是x ＝－a ，∴－a ≥1，∴a ≤－1.6．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1 C. 1D. 3解析：选C 在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，即f (1)＋g (1)＝1.7．若函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (－2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－2)C ．f (－2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1) 解析：选D ∵f (x )在(－∞，－1]上是增函数，且－2<－32<－1，所以f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．8．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0，故选A.9．小明去上学，因为担心迟到所以一 就跑，等跑累了再走完余下的路程．如果用纵轴表示与学校的距离d ，横轴表示出发后的时间t ，则下列四个图象中比较符合此人走法的是( )解析：选D t ＝0时，小明在家，与学校的距离d ≠0，所以排除A ，C ；小明先跑后走，所以d 随t 的变化是先快后慢，故选D.10．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定准确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数解析：选C 令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝2f (0)＋1，所以f (0)＝－1.令x 2＝－x 1，得f (0)＝f (x 1)＋f (－x 1)＋1，即f (－x 1)＋1＝－f (x 1)－1，所以f (x )＋1为奇函数．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．满足条件{1,2,3}∪A ＝{1,2,3,4,5}的所有集合A 有________个．解析：A ＝{4,5}，{1,4,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．答案：812．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.解析：当x >0时，－x <0，f (－x )＝x 2－x ，－f (x )＝－ax 2－bx ，故x 2－x ＝－ax 2－bx ，所以－a ＝1，－b ＝－1，即a ＝－1，b ＝1，故a ＋b ＝0.答案：013．若f (x )＝x 2－2ax ＋4在(－∞，2]上是减函数，则a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝a ，要使f (x )在(－∞，2]上是减函数，故a ≥2.答案：[2，＋∞)14．定义在R 上的函数y ＝f (x ＋1)的图象如图所示，它在定义域上是减函数，给出如下命题：①f(0)＝1；②f(－1)＝1；③若x>0，则f(x)<0；④若x<0，则f(x)>1.其中，准确的命题是________．解析：由y＝f(x＋1)的图象知y＝f(x)的图象如图所示．∴①准确，②不准确，③不准确，④准确．答案：①④三、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|1≤x≤5，x∈Z}，C＝{x|2<x<9，x∈Z}．求(1)A∪(B∩C)；(2)(∁U B)∪(∁U C)．解：(1)依题意有：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4,5}，C＝{3,4,5,6,7,8}，∴B∩C＝{3,4,5}，故有A∪(B∩C)＝{1,2}∪{3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．(2)由∁U B＝{6,7,8}，∁U C＝{1,2}；故有(∁U B)∪(∁U C)＝{6,7,8}∪{1,2}＝{1,2,6,7,8}．16．(12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)．(1)证明：函数f(x)是偶函数；(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数的形式，然后画出函数图象；(3)写出函数的值域．解： (1)证明：∵f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|－(x＋1)|＋|－(x－1)|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，∴函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)为偶函数．(2)由x －1＝0，得x ＝1；由x ＋1＝0，得x ＝－1.当x <－1时，f (x )＝－2x ； 当－1≤x ≤1时，f (x )＝2； 当x >1时，f (x )＝2x . ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.f (x )的图象如图所示．(3)由函数图象知，函数的值域为[2，＋∞)．17．(12分)已知函数f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1.(1)求f (9)，f (27)的值；(2)若f (3)＋f (a －8)<2，求实数a 的取值范围． 解：(1)由原题条件，可得到f (9)＝f (3×3)＝f (3)＋f (3)＝1＋1＝2， f (27)＝f (3×9)＝f (3)＋f (9)＝1＋2＝3.(2)f (3)＋f (a －8)＝f (3a －24)，又f (9)＝2， ∴f (3a －24)<f (9)． 又函数在定义域上为增函数， 即有3a －24<9，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a －24<9，a －8>0，解得8<a <11，∴a 的取值范围为(8,11)．18．(12分)某市营业区内住宅电话通话费用为前3分钟0.20元，以后每分钟0.10元(前3分钟不足3分钟按3分钟计，以后不足1分钟按1分钟计)．(1)在直角坐标系内，画出一次通话在6分钟内(包括6分钟)的话费y (元)关于通话时间t (分钟)的函数图象；(2)如果一次通话t 分钟(t >0)，写出话费y (元)关于通话时间t (分钟)的函数关系式(可用[t ]表示不小于t 的最小整数)．解：(1)如下图所示．(2)由(1)知，话费y 与时间t 的关系是分段函数． 当0<t ≤3时，话费y 为0.2元；当t >3时，话费y 应为(0.2＋[t －3]×0.1)元．所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.2，0<t ≤3，0.2＋[t －3]×0.1，t >3.19．(12分)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≤0时，f (x )＝1＋1x －1. (1)求f (2)的值及y ＝f (x )的解析式；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0]上的单调性．解：(1)由函数f (x )为偶函数，知f (2)＝f (－2)＝1＋1－2－1＝23；又x >0时，－x <0，由函数f (x )为偶函数，知f (x )＝f (－x )＝1＋1－x －1＝1－1x ＋1，综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x －1，x ≤0，1－1x ＋1，x >0.(2)在(－∞，0]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1x 1－x 2－；由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．20．(12分)已知二次函数f (x )满足f (x )－f (x ＋1)＝－2x 且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，不等式 f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的范围； (3)设G (t )＝f (2t ＋a )，t ∈[－1,1]，求G (t )的最大值． 解：(1)令f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，代入已知条件，得：⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋2＋b x ＋＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x ，c ＝1，图1图2∴⎝ ⎛a ＝1，b ＝－1，c ＝1，∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)当x ∈[－1,1]时，f (x )>2x ＋m 恒成立， 即x 2－3x ＋1>m 恒成立；令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，x ∈[－1,1]．则对称轴：x ＝32∉[－1,1]，g (x )min ＝g (1)＝－1，∴m <－1.(3)G (t )＝f (2t ＋a )＝4t 2＋(4a －2)t ＋a 2－a ＋1，t ∈[－1，1]，对称轴为：t ＝1－2a4.①当1－2a 4≥0时，即：a ≤12；如图1：G (t )max ＝G (－1)＝4－(4a －2)＋a 2－a ＋1＝a 2－5a ＋7，②当1－2a 4<0时，即：a >12；如图2：G (t )max ＝G (1)＝4＋(4a －2)＋a 2－a ＋1＝a 2＋3a ＋3，综上所述：G (t )max＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a ＋7，a ≤12，a 2＋3a ＋3，a >12.。

1.3.1 函数的基本性质课堂导学三点剖析一、函数单调性【例1】 证明函数y=x-x1在(0,+∞)上单调递增. 思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明.证明:设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=x 1-11x -(x 2-21x )=(x 1-x 2)+21x -11x =(x 1-x 2)+2121)(x x x x -=(x 1-x 2)(1+211x x ). ∵0<x 1<x 2,∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0,1+211x x >0. 因此（x 1-x 2）(1+1x 1x 2)<0,∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)=x-x1在（0，+∞）上单调递增. 温馨提示1.函数单调性的证明不同于对它判断，应严格按单调性定义加以证明.2.利用定义证明单调性，一般要遵循：(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x 1)-f(x 2)进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式，且有(x 1-x 2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.3.有时需要通过观察函数的图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，这是研究函数性质的一种常用方法.【例2】 f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，又f(2)<f(π),试判断f(-2)与f(2)的大小.思路分析：解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小. 解：由于f(x)是二次函数，且在x=1处取得最值，因此x=1是二次函数的对称轴.又∵1<2<π,f(2)<f(π),可以得f(x)在［1,+∞)上单调递增，∴二次函数的图象开口方向向上，f(x)在(-∞,1)上单调递减.由于0与2关于x=1对称，∴f(2)=f(0).∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2).温馨提示利用函数的单调性比较两函数值的大小，关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上，才能进行比较.二、函数的最值【例3】 求f(x)=x+1-x 的最小值.思路分析：该题函数f(x)由x 与1-x 相加构成，x 与1-x 具有相同的单调性，因此该题可借助单调性直接解决，同时由于x 的次数不一致，出现了相当于2倍的关系，因此该题也可先转化为二次函数再利用二次函数的单调性解决.解法一：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］,在［1,+∞］上x 、1-x 同时单调递增，因此f(x)=x+1-x 在［1,+∞］上单调递增，最小值为f(1)=1+11-=1.解法二：f(x)=x+1-x 的定义域为［1,+∞］，令1-x =t ≥0,x=t 2+1, ∴f(x)=g(t)=t 2+1+t=t 2+t+1=(t+21)2+43(t ≥0).由于g(t)的对称轴t=-21在［0,+∞)的左侧，g(t)的开口方向向上，如右图所示.二次函数在［0,+∞)上单调递增，当t=0时,g(t)min =1，∴f(x)的最小值为1.温馨提示1.本题的两种解法都是利用函数的单调性求最值，其中解法二是利用换元法，将原函数转化为已知二次函数在给定区间上的最值问题，该方法要特别注意正确确定中间变量的取值范围.2.利用单调性求最值，其规律为：若f(x)在［a,b ］上单调递增，则f(a)≤f(x)≤f(b)，即最大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在［a,b ］上单调递减，则f(b)≤f(x)≤f(a)，即最大值为f(a),最小值为f(b).三、函数单调性的应用【例4】 (1)若函数f(x)=x 2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4］上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)y=kx 2-32x+1在［0,+∞)上单调递减，求实数k 的取值范围. 思路分析：(1)二次函数的单调区间依赖于其对称轴的位置，处理二次函数的单调性问题需对对称轴进行讨论.(2)y=kx 2-32x+1中的k 是否为零要注意讨论. 解：(1)f(x)=x 2+2(a-1)x+2，其对称轴为x=12)1(2⨯--a =1-a ，若要二次函数在(-∞,4］上单调递减，必须满足1-a ≥4,即a ≤-3.如图所示.(2)k=0时，y=-32x+1满足题意；k>0时，抛物线开口向上，在［0,+∞)上不可能单调递减；k<0时，对称轴x=k31<0在［0,+∞］上单调递减. 综上，k ≤0.温馨提示f(x)在（-∞,4］上是减函数，只说明区间（-∞,4］是函数f(x)在定义域上单调递减区间的一个子集.各个击破类题演练1证明二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a<0)在区间（-∞，-a b 2）上是增函数. 证明：设x 1、x 2∈(-∞,-ab 2)，且x 1<x,则f(x 1)-f(x 2)=ax 12+bx 1-ax 22-bx 2=(x 1-x 2)［a(x 1+x 2)+b ］. ∵x 1,x 2∈(-∞,-ab 2), ∴x 1+x 2<-ab ，∴a(x 1+x 2)>-b, ∴a(x 1+x 2)+b>0.∵x 1-x 2<0，∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴y=ax 2+bx+c 在（-∞,-a b 2］上单调递增. 变式提升1若函数f(x)=x+x1定义在(0,+∞)上，试讨论函数的单调区间. 解析：设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2, 则f(x 1)-f(x 2)=x 1+11x -(x 2+21x ) =(x 1-x 2)+2112x x x x - =(x 1-x 2)(1-211x x ) =(x 1-x 2)·21211x x x x -. 由于x 1-x 2<0,x 1x 2>0,只有x 1x 2-1>0或x 1x 2-1<0时，f(x)才具有单调性，而显然0<x 1<x 2≤1时，有x 1x 2<1,x 1x 2-1<0,f(x 1)-f(x 2)>0,即f(x 1)>f(x 2).∴f(x)在(0,1)上单调递减.当1≤x 1<x 2时，则有x 1x 2>1,从而x 1x 2-1>0,f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)<f(x 2).∴f(x)在［1,+∞］上单调递增.当0<x 1<1<x 2时，x 1x 2与1的大小关系无法确定，在(0,+∞)上不具备单调性.综上，f(x)在(0,1)上单调递减，在［1，+∞］上单调递增.类题演练2f(x)在(0,+∞)上单调递减，那么f(a 2-a+1)与f(21)的大小关系是_______________. 解析：∵a 2-a+1=(a-21)2+43>21, 又∵f(x)在（0，+∞）上单调递减，∴f(a 2-a+1)<f(21). 答案：f(a 2-a+1)<f(21) 变式提升2如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f （2+t ）=f(2-t)，比较f(1),f(2),f(4)的大小.解析：∵f(2+t)=f(2-t),∴f(x)的对称轴为x=2.故f(x)在［2，+∞］上是增函数，且f(1)=f(3).∴f(2)<f(3)<f(4),即f(2)<f(1)<f(4).类题演练3已知函数f(x)=x x x 2122++,x∈［1,+∞］，求函数f(x)的最小值.解析：f(x)=x+x 21+2, 设1≤x 1<x 2,f(x 2)-f(x 1)=(x 2-x 1)(1-2121x x ). 2x 1x 2>1,0<2121x x <1,得1-2121x x >0, 又x 2-x 1>0,∴f(x 2)-f(x 1)>0,f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在区间［1，+∞］上为增函数，∴f(x)在区间［1，+∞］上的最小值为f(1)=27. 变式提升3求函数f(x)=-x 2+2ax+1在［0,2］上的最大值.解析：f(x)=-x 2+2ax+1=-(x 2-2ax+a 2)+a 2+1=-(x-a)2+a 2+1.由于f(x)的对称轴x=a 对于［0,2］有三种位置关系，如下图所示.当a<0时，f(x)在［0,2］上单调递减，则最大值为f(0)=1;当0≤a≤2时，x=a∈［0,2］，则最大值在顶点处取得，为f(a)=a 2+1;当a>2时，f(x)在［0,2］上单调递增，则最大值为f(2)=4a-3.综上，f(x)在［0,2］上的最大值为 g(a)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤+<.2,34,20,1,0,12a a a a a 类题演练4二次函数y=x 2+mx+4在(-∞,-1］上是减函数，在［-1,+∞)上是增函数，则：（1）m 的值是多少？（2）此函数的最小值是多大？解析：（1）由于y=x 2+mx+4在（-∞,-1］上是减函数，在［-1，+∞）上是增函数，∴其对称轴为x=-1，故m=2.(2)y min =3.变式提升4已知f(x)=21++x ax 在区间（-2，+∞）上单调递增，求a 的取值范围. 解析：f(x)=21++x ax =221)2(+-++x a x a =a+221+-x a . ∴y-a=221+-x a 与y ′='x k 比较，知f （x ）要在区间（-2，+∞）上单调递增只须1-2a<0即可.∴a>21. 温馨提示本题关键是将它化为y=m+cx n +型，再根据函数y=x k 的单调性来考虑a 应满足的条件，从而求出a 的取值.。

A．
0，5 2
B．[－1,4]
C．[－5,5]
D．[－3,7]
(2)已知函数 y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则 y＝f(2x－1)的
定义域是
()
A．0，52 C．[－5,5]
B．[－1,4] D．[－3,7]
[解析](2)设 u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所
以 y＝f(u)的定义域为[－1,4]．再由－1≤2x－1≤4，
(2)单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这
一区间具有(严格的) 单调性 ，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间 ．
6.奇偶函数定义
（1）.偶函数的定义： 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
5. 函数的单调性 (1)增函数与减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I： ①如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个 自变量的值x1，x2，当x1＜x2 时②时，，如都都果有有对于ff((定xx11))义＜ ＞域ff((Ixx内22))某，，个那那区么么间就就D说说上函函的数数任ff((意xx))两在 在个区 区自间 间变DD上 上量是 是的减值增函x函1，数数x2，当x．．1＜x2
① f(x)是整式，则定义域是R； ② f(x)是分式，则分母不为0；
③ 偶次方根的被开方数非负； ④ 若f(x)= x0 ,则定义域 {x R | x 0}
表格形式给出时,定义域就是表格中数的集合.
4．分段函数 若函数在定义域的不同子集上的对应关系也不同，这种形式的函数叫做 分段函数，它是一类重要的函数．
（2）.奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一 个x都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.