分式方程的增根与无解详解
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分式方程的增根与无解讲解
例1 解方程2
344222+=---x x x x . ① 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x+2)-4x=3(x-2).②
解这个方程,得x=2.
经检验:当x=2时,原方程无意义,所以x=2是原方程的增根.
所以原方程无解.
例2 解方程22321++-=+-x
x x x . 解:去分母后化为x -1=3-x +2(2+x ).
整理得0x =8.
因为此方程无解,所以原分式方程无解.
例3(2007湖北荆门)若方程
32x x --=2m x
-无解,则m=——————. 解:原方程可化为32x x --=-2m x -. 方程两边都乘以x -2,得x -3=-m .
解这个方程,得x=3-m .
因为原方程无解,所以这个解应是原方程的增根.即x=2,
所以2=3-m ,解得m=1.
故当m=1时,原方程无解.
例4当a 为何值时,关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①会产生增根? 解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x +2)+ax =3(x -2)
整理得(a -1)x =-10 ②
若原分式方程有增根,则x =2或-2是方程②的根.
把x =2或-2代入方程②中,解得,a =-4或6.
若将此题“会产生增根”改为“无解”,即:
当a 为何值时,关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①无解? 此时还要考虑转化后的整式方程(a -1)x =-10本身无解的情况,解法如下:
解:方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2(x +2)+ax =3(x -2)
整理得(a -1)x =-10 ②
若原方程无解,则有两种情形:
(1)当a -1=0(即a =1)时,方程②为0x =-10,此方程无解,所以原方程无解。
(2)如果方程②的解恰好是原分式方程的增根,那么原分式方程无解.原方程若有增根,增根为x =2或-2,把x =2或-2代入方程②中,求出a =-4或6.
综上所述,a =1或a =一4或a =6时,原分式方程无解.
例5:(2005扬州中考题)
若方程)1)(1(6-+x x -1
-x m =1有增根,则它的增根是( ) A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1或-1
分析:使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。
原方程易化成整式方程:
6-m(x+1)=x 2-1
整理得:
m(x+1)=7-x 2
当x= -1时,此时m 无解;
当x=1时,解得m=3。
由此可得答案为B 。
例6:关于x 的方程3-x x -2=3
-x m 有一个正数解,求m 的取值范围。 分析:把m 看成常数求解,由方程的解是正数,确定m 的取值范围,但不能忽略产生增根时m 的值。 原方程易化为整式方程:
x-2 (x-3)=m
整理得:
x=6-m
∵原方程有解,故6-m 不是增根。
∴6-m ≠3 即m ≠3
∵x >0
∴m <6
由此可得答案为m 的取值范围是m <6且m ≠3。
一、分式方程有增根,求参数值
例7 a 为何值时,关于x 的方程3
42-+-x a x x =0有增根? 解:原方程两边同乘以(x-3)去分母整理,得
x 2-4x+a=0(※)
因为分式方程有增根,增根为x=3,把x=3代入(※)得,9-12+a=0 a=3
所以a=3时,3
42-+-x a x x =0有增根。 例8 m 为何值时,关于x 的方程11-x +2-x m =23222+-+x x m 有增根。
解:原方程两边同乘以(x-1)(x-2)去分母整理,得
(1+m )x=3m+4(※)
因为分式方程有增根,据性质(2)知:增根为x=1或x=2。把x=1代入(※),解得m=-23;把x=2代
入(※)得m=-2
所以m=-23或-2时,原分式方程有增根
点评:分式方程有增根,不一定分式方程无解(无实根),如方程1+x k +1=)2)(1(2-+x x 有增根,可求得k=-32,但分式方程这时有一实根x=38。
二、分式方程是无实数解,求参数值
例9 若关于x 的方程52--x x =5-x m +2无实数,求m 的值。
解:去分母,得x-2=m+2x-10,x=-m+8
因为原方程无解,所以x=-m+8为原方程的增根。
又由于原方程的增根为x=5,所以-m+8=5
所以m=3
例10.若解分式方程2111x x m x x x x
+-++=+产生增根,则m 的值是( ) A. -
-12或 B. -12或 C. 12或 D. 1
2或- 分析:分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:x x ==-01或,化简
原方程为:21122
x m x -+=+()(),把x x ==-01或代入解得m =-12或,故选择D 。 例11. m 为何值时,关于x 的方程
22432x m x x x -+-=+2会产生增根? 解:方程两边都乘以x 24-,得2
436x m x x ++=-
整理,得()m x -=-110
当时,如果方程产生增根,那么,即或()若,则()若,则()综上所述,当或时,原方程产生增根
m x m x x x x m m x m m m ≠=---===-=--=∴=-=---=-∴==-1101
4022
12101
2422101
263462 说明:分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根
例12、 解方程:121043323489242387161945
x x x x x x x x --+--=--+-- 分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
解:由原方程得:31434289328741
45
--++-=--++-x x x x
即2892862810287x x x x ---=---
于是,所
以解得:经检验:是原方程的根。
189861810878986810871
1()()()()
()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==
例13、若解分式方程2111x x m x x x x
+-++=+产生增根,则m 的值是( ) A. -
-12或 B. -12或 C. 12或 D. 1
2或- 分析:分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:x x ==-01或,化简
原方程为:21122
x m x -+=+()(),把x x ==-01或代入解得m =-12或,故选择D 。 练习题
1 解方程
2
344222+=---x x x x .