铜仁市2023-2024学年第一学期期末质量监测试卷高一数学（答案在最后）本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}1,1,0,1A x x B =>-=-，则A B = （）A.[]0,1 B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.()1,-+∞2.cos300︒=（）A.12B.32C.12-D.3.命题[]2:1,4,340p x x x ∀∈---≤，则p ⌝为（）A.[]21,4,340x x x ∀∈---> B.[]21,4,340x x x ∃∈---≤C.[]21,4,340x x x ∃∈---> D.()()2,14,,340x x x ∀∈-∞-+∞--> 4.已知0.5333,log 0.5,log 0.9a b c ===，则它们的大小关系为（）A.a c b<< B.b a c<< C.a b c<< D.b<c<a5.已知幂函数()y f x =的图象过点2,2⎛⎫⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()f x =B.()f x 的定义域是(),-∞+∞C.()f x 在()0,∞+上为减函数D.()f x 为奇函数6.设函数()21ln f x x x=-，则使得()()23f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A.()3,-+∞ B.()(),31,-∞-⋃+∞ C.()3,1- D.(),3-∞-7.设函数()sin f x x ω=，若函数()()1g x f x =-在[]0,π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是（）A.913,22⎛⎫⎪⎝⎭B.913,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1317,22⎛⎫⎪⎝⎭ D.1317,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭8.当()1,1x ∈-时，不等式23208kx kx --<恒成立，则k 的取值范围是（）A.()3,0- B.[)3,0- C.13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,8⎛⎤- ⎥⎝⎦二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列函数为偶函数的是（）A.()4cos f x x x=+ B.()5sin f x x a x=+C.()21f x x x =+ D.()22f x x x =++10.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.14ab ≤B.22log log 2a b +≤-C.221a b +≥ D.22a b +≥11.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数()cos (0,0,π)y A x b A ωϕωϕ=++>><，则（）A.π8ω= B.20A =C.π4ϕ=D.这段曲线的解析式是ππ20cos 1084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭12.已知函数()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩设()f x k =的实数解个数为t ，则（）A.当1t =时，(],4k ∈-∞-B.当2t =时，()3,k ∞∈-+C.当3t =时，(]43k ,∈-- D.函数()f x 的值域为R三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()4cos 455α-︒=，则()sin 45α︒+=________．14.函数2(0)24xy x x x =>-+的最大值为________．15.将函数π2cos(2)3y x =+的图象向右平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式是________．16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，函数32()6f x x x =-图象的对称中心为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}15A x x =≤≤，集合{}12B x m x m =+≤≤-．（1）若1m =-，求R A B ⋃ð；（2）若集合,A B 满足条件：①A B B ⋃=；②A B A = ；③x A ∈是x B ∈的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数m 的取值范围．18.（1）计算132ln372log e 9-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为3%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）．19.（1）计算)tan 70cos10201︒︒︒-．（2）已知()111cos ,cos 714ααβ=+=-，且π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求β的值．20.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值．21.已知()22xxf x b -=+⋅是奇函数，()()lne1xg x ax =+-是偶函数．（1）求,a b 的值；（2）若不等式()()()f g x f m x >-恒成立，求[)0,x ∈+∞时实数m 的取值范围．22.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()112,22f x y f x y f x f y f ⎛⎫++-== ⎪⎝⎭（1）求()0f 的值，并证明函数()f x 是偶函数；（2）判断函数()f x 是否为周期函数并说明理由，求出()()20242024f f -+的值铜仁市2023-2024学年第一学期期末质量监测试卷高一数学本试卷共4页，22题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}1,1,0,1A x x B =>-=-，则A B = （）A.[]0,1 B.{}0,1 C.{}1,0,1- D.()1,-+∞【答案】B 【解析】【分析】根据集合的交集运算求解即可.【详解】因为集合{}{}1,1,0,1A x x B =>-=-，所以{}0,1A B = ，故选：B.2.cos300︒=（）A.12B.32C.12-D.【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.【详解】1cos300cos(36060)cos 602︒=︒-︒=︒=.故选：A3.命题[]2:1,4,340p x x x ∀∈---≤，则p ⌝为（）A.[]21,4,340x x x ∀∈---> B.[]21,4,340x x x ∃∈---≤C.[]21,4,340x x x ∃∈---> D.()()2,14,,340x x x ∀∈-∞-+∞--> 【答案】C 【解析】【分析】根据含有一个量词的否定即可得到答案.【详解】因为命题[]2:1,4,340p x x x ∀∈---≤，所以根据含有一个量词的否定可知[]2:1,4,340p x x x ⌝∃∈--->，故选：C.4.已知0.5333,log 0.5,log 0.9a b c ===，则它们的大小关系为（）A.a c b <<B.b a c <<C.a b c<< D.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性及指数、对数运算判定大小即可.【详解】易知3log y x =在定义域()0,∞+上单调递增，故b c <，又3x y =也在定义域R 单调递增，所以0.5033331log 3log 0.9a c =>==>=，所以<<b c a .故选：D5.已知幂函数()y f x =的图象过点22,2⎛⎫⎪⎝⎭，下列说法正确的是（）A.()f x =B.()f x 的定义域是(),-∞+∞C.()f x 在()0,∞+上为减函数D.()f x 为奇函数【答案】C 【解析】【分析】由幂函数图象上的点，求出解析式，利用解析式分析函数性质.【详解】设幂函数()f x x α=，由()2222f α==，解得12α=-，由()12f x x-==A 选项错误；()f x 的定义域是()0,∞+，B 选项错误；()f x 在()0,∞+上为减函数，C 选项正确；由定义域可知，函数()f x 为非奇非偶，D 选项错误.故选：C6.设函数()21ln f x x x=-，则使得()()23f x f x >-成立的x 的取值范围是（）A.()3,-+∞ B.()(),31,-∞-⋃+∞ C.()3,1- D.(),3-∞-【答案】B 【解析】【分析】分析函数性质，得()f x 为偶函数且在()0,∞+上单调递增，不等式等价于23x x >-，解出即可.【详解】函数()21ln f x x x =-，定义域为()(),00,∞-+∞U ，()()()2211ln ln f x x x f x xx -=--=-=-，函数为偶函数，当0x >时，()21ln f x x x =-，由函数ln y x =和21y x =-在()0,∞+上都单调递增，得()f x 在()0,∞+上单调递增，则()f x 在(),0∞-上单调递减，由()()23f x f x >-，得23x x >-，即()()2223x x >-，解得3x <-或1x >，所以x 的取值范围是()(),31,-∞-⋃+∞.故选：B7.设函数()sin f x x ω=，若函数()()1g x f x =-在[]0,π上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是（）A.913,22⎛⎫⎪⎝⎭B.913,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1317,22⎛⎫⎪⎝⎭D.1317,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用正弦函数的图象与性质计算即可.【详解】由题意可知()()10g x f x =-=，即sin 1x ω=在[]0,π上恰有3个解，因为[][]0,π0,πx x ωω∈⇒∈，所以由正弦函数的图象与性质可知：9π13π913π,,2222ωω⎡⎫⎡⎫∈⇒∈⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故选：B8.当()1,1x ∈-时，不等式23208kx kx --<恒成立，则k 的取值范围是（）A.()3,0- B.[)3,0- C.13,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D.13,8⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解.【详解】当()1,1x ∈-时，不等式23208kx kx --<恒成立，当0k =时，满足不等式恒成立；当0k ≠时，令()2328f x kx kx =--，则()0f x <在()1,1-上恒成立，函数()f x 的图像抛物线对称轴为14x =，0k >时，()f x 在11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则有()()3120831208f k k f k k ⎧-=+-≤⎪⎪⎨⎪=--≤⎪⎩，解得108k <≤；0k <时，()f x 在11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则有123041648k k f ⎛⎫=--<⎪⎝⎭，解得30k -<<.综上可知，k 的取值范围是13,8⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：D.【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列函数为偶函数的是（）A.()4cos f x x x=+ B.()5sin f x x a x=+C.()21f x x x=+ D.()22f x x x =++【答案】AD 【解析】【分析】根据偶函数的定义判断四个选项即可.【详解】对于A 选项，()4cos f x x x =+定义域为R ，关于原点对称，()()()44cos cos f x x x x x -=-+-=+，所以()f x 为偶函数，故A 正确；对于B 选项，()5sin f x x a x =+定义域为R ，关于原点对称，()()()()55sin sin f x x a x x a x f x -=-+-=--=-，所以()f x 为奇函数，故B 错误；对于C 选项，()21f x x x =+定义域为()(),00,∞∞-⋃+，关于原点对称，()()()2211f x x x x x -=+-=--，所以()f x 为非奇非偶函数，故C 错误；对于D 选项，()22f x x x =++定义域为R ，关于原点对称，()()()2222f x x x x x f x -=-+-+=++=，所以()f x 为偶函数，故D 正确，故选：AD.10.已知0,0a b >>，且1a b +=，则（）A.14ab ≤B.22log log 2a b +≤-C.221a b +≥D.22a b +≥【答案】ABD 【解析】【分析】由基本不等式求各选项是否正确.【详解】已知0,0a b >>，且1a b +=，2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==等号成立，A 选项正确；22221log log log log 24a b ab +=≤=-，当且仅当12a b ==等号成立，B 选项正确；()()22222122a b a b ab a b =+=++≤+，2212a b +≥，当且仅当12a b ==等号成立，C 选项错误；22ab+≥=22a b=，即12a b ==等号成立，D 选项正确；故选：ABD11.如图某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数()cos (0,0,π)y A x b A ωϕωϕ=++>><，则（）A.π8ω= B.20A =C.π4ϕ=D.这段曲线的解析式是ππ20cos 1084y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭【答案】AC 【解析】【分析】由最值求出,A b ，由周期求出ω，由曲线上的点求出ϕ，验证各选项即可.【详解】依题意有3010A b A b +=⎧⎨-+=⎩，解得10,20A b ==，B 选项错误；函数最小正周期()2π214616T ω=-==，得π8ω=，A 选项正确；6x =时，π10cos 620108ϕ⎛⎫⨯++= ⎪⎝⎭，则3πcos 14ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得()3ππ2πZ 4k k ϕ+=+∈，由π<ϕ，得π4ϕ=，C 选项正确；所以这段曲线的解析式是ππ10cos 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，D 选项错误.故选：AC12.已知函数()223,0,ln ,0,x x x f x x x ⎧+-≤=⎨>⎩设()f x k =的实数解个数为t ，则（）A.当1t =时，(],4k ∈-∞-B.当2t =时，()3,k ∞∈-+C.当3t =时，(]43k ,∈--D.函数()f x 的值域为R【答案】CD 【解析】【分析】利用函数图像，得到函数值域，由()f x k =实数解的个数，判断k 的取值范围.【详解】利用二次函数和对数函数的图像和性质，作出()f x 的函数图像，如图所示，()14f -=-，()03f =-，由函数图像可知，当1t =时，(),4k ∈-∞-，A 选项错误；当2t =时，(){}3,4k ∞∈-+- ，B 选项错误；当3t =时，(]43k ,∈--，C 选项正确；函数()f x 的值域为R ，D 选项正确.故选：CD.【点睛】方法点睛：方程的根或函数零点个数的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()4cos 455α-︒=，则()sin 45α︒+=________．【答案】45##0.8【解析】【分析】根据()()454590αα︒+--︒=︒，()()()sin 45sin 9045cos 45ααα⎡⎤︒+=︒+-︒=-︒⎣⎦求解即可.【详解】因为()4cos 455α-︒=，()()454590αα︒+--︒=︒，所以()()()4sin 45sin 9045cos 455ααα⎡⎤︒+=︒+-︒=-︒=⎣⎦，故答案为：45.14.函数2(0)24xy x x x =>-+的最大值为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】利用基本不等式，求出0x >时，224x x x-+的最小值，可得函数2(0)24x y x x x =>-+的最大值.【详解】0x >时，2244222x x x x x -+=-+≥-+=，当且仅当4x x =，即2x =时等号成立，则有21242x x x ≤-+，所以当2x =时，函数2(0)24x y x x x =>-+的最大值为12.故答案为：1215.将函数π2cos(2)3y x =+的图象向右平移π4个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，则函数()g x 的解析式是________．【答案】π()2cos(6g x x =-（答案不唯一，如()π2sin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭）【解析】【分析】根据给定的信息，利用三角函数图象变换法则求出解析式.【详解】将函数π2cos(2)3y x =+的图象向右平移π4个单位，得函数πππ2cos[2(]2cos(2)436y x x =-+=-的图象，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得π2cos()6y x =-的图象，所以函数()g x 的解析式是π()2cos()6g x x =-.故答案为：π()2cos()6g x x =-16.我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数()y f x =的图象关于点(,)P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，函数32()6f x x x =-图象的对称中心为______.【答案】()2,16-【解析】【分析】首先设32()6f x x x =-的对称中心为(,)a b ，根据函数()y f x a b =+-为奇函数可得()()f x a b f x a b -+-=-++，构造方程组即可解得2,16a b ==-.【详解】根据题意，设32()6f x x x =-的对称中心为(,)a b ，则由函数()y f x a b =+-为奇函数可得()()f x a b f x a b -+-=-++，变形可得()()2f x a f x a b -+++=，即()()()()3232662x a x a x a x a b -+--+++-+=；整理可得()2326122122a x a a b -+-=，所以3261202122a a a b -=⎧⎨-=⎩；解得2,16a b ==-，所以其对称中心为()2,16-.故答案为：()2,16-四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合{}15A x x =≤≤，集合{}12B x m x m =+≤≤-．（1）若1m =-，求R A B ⋃ð；（2）若集合,A B 满足条件：①A B B ⋃=；②A B A = ；③x A ∈是x B ∈的必要条件．从以上三个条件中任选一个，求实数m 的取值范围．【答案】（1）{R 0A B x x ⋃=<ð或}1x ≥（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由补集和并集的定义直接求解；（2）由所选条件，得两个集合的包含关系，列不等式求实数m 的取值范围．【小问1详解】由1m =-，得{}03B x x =≤≤，则{R 0B x x =<ð或}3x >，所以{R 0A B x x ⋃=<ð或}1x ≥．【小问2详解】选择①因为A B B ⋃=，所以A B ⊆，则有1125m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，所以实数m 的取值范围为(],3-∞-.选择②因为A B A = ，所以A B ⊆，则有1125m m +≤⎧⎨-≥⎩，解得3m ≤-，所以实数m 的取值范围为(],3-∞-.选择③因为x A ∈是x B ∈的必要条件，所以B A ⊆，当B =∅时，有12m m +>-，解得12m >，此时符合B A ⊆；当B ≠∅时，由B A ⊆，有1125m m ≤+≤-≤，解得102m ≤≤所以实数m 的取值范围为[)0,∞+18.（1）计算132ln372log e 9-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．（2）某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为3%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，求使产品达到市场要求的过滤的最少次数（参考数据：lg20.301,lg30.477≈≈）．【答案】（1）245；（2）9【解析】【分析】（1）由指数式和对数式的运算规则化简计算．（2）由题意列指数不等式，利用两边取对数的方法，结合对数式的运算规则求解.【详解】（1）11311322ln3ln3332725511242log e 5log 2e 3993535--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝=⎭⎭.（2）设经过n 次过滤，产品达到市场要求，则32110031000n ⎛⎫⨯≤⎪⎝⎭，即21330n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以2lglg303n ≤-，即()()lg2lg31lg3n -≤-+，即1lg3 1.4778.4lg3lg20.176n +≥≈≈-，所以使产品达到市场要求的过滤的最少次数为9次．19.（1）计算)tan 70cos10201︒︒︒-．（2）已知()111cos ,cos 714ααβ=+=-，且π,0,2αβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求β的值．【答案】（1）1-；（2）π3【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系和辅助角公式化简求值；（2）()βαβα=+-，利用同角三角函数的关系和两角差的余弦公式求值.【详解】（1）)sin 7020tan 70cos10tan 201cos101cos 70cos 20⎛⎫︒︒︒︒︒-=⨯︒- ⎪ ⎪︒︒⎝⎭sin 7020cos 20cos10cos 70cos 20⎛⎫︒︒-︒=⨯︒ ⎪ ⎪︒︒⎝⎭1220cos 202cos 20cos10sin 20cos 20⎛⎫⎫︒-︒ ⎪⎪︒ ⎪⎝⎭=⨯︒ ⎪︒ ⎪ ⎪⎝⎭2cos10sin101sin 20︒︒=-=-︒；（2）因为()π111,0,,cos ,cos 2714αβααβ⎡⎤∈=+=-⎢⎥⎣⎦，所以π,π2αβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以43sin 7α==，()sin 14αβ+==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα⎡⎤=+-=+++⎣⎦11111471472⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭，又因为π0,2β⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π3β=．20.已知函数()2sin cos 2f x x x x =-．（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值．【答案】（1）最小正周期为π，单调递减区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z （2）最大值是12，最小值是1-【解析】【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由公式计算最小正周期及单调递减区间；（2）由函数定义区间，利用正弦函数的图像和性质，求出值域.【小问1详解】()21πsin cos sin2sin 22223f x x x x x x x ⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==．由()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z ，得：()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．【小问2详解】由ππ44x -≤≤，得5πππ2636x -≤-≤，则π11sin 232x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是12，最小值是1-．21.已知()22xxf x b -=+⋅是奇函数，()()ln e 1xg x ax =+-是偶函数．（1）求,a b 的值；（2）若不等式()()()f g x f m x >-恒成立，求[)0,x ∈+∞时实数m 的取值范围．【答案】（1）12a =，1b =-（2）(),ln2-∞【解析】【分析】（1）由函数的奇偶性，求,a b 的值；（2）利用函数的单调性解不等式.【小问1详解】因为()22xxf x b -=+⋅是奇函数，所以()()f x f x =--，()2222x x x x b b --+⋅=-+⋅，()()1220x x b -++=，所以1b =-．因为()()ln e 1xg x ax =+-是偶函数，所以()()g x g x =-，即：()()ln e 1ln e 1xxax ax -+-=++，得()e 1ln e 1ln 2e x xxax ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，所以lne 2x ax =，得2x ax =，解得12a =.【小问2详解】由（1）知()22xxf x -=-，因为2x y =为增函数，2xy -=为减函数，所以()f x 在R 上单调递增，不等式()()()f g x f m x >-恒成立，只需()g x m x >-，即：()1ln e 12xx m x +->-，所以()1ln e 12xm x <++，因为函数1e 1,ln ,2xy y x y x =+==在定义域内都单调递增，所以()1ln e 12xy x =++在[)0,∞+上单调递增，所以()1ln e 1ln22xx ++≥，所以ln2m <，即实数m 的取值范围为(),ln2∞-．【点睛】思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中，函数不等式问题，运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用，对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.22.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()()112,22f x y f x y f x f y f ⎛⎫++-== ⎪⎝⎭（1）求()0f 的值，并证明函数()f x 是偶函数；（2）判断函数()f x 是否为周期函数并说明理由，求出()()20242024f f -+的值【答案】（1）1，证明见解析（2）()f x 是周期函数，理由见解析，()()202420241f f -+=-【解析】【分析】（1）令1,02x y ==，可求()0f 的值；令0x =，得()()f y f y =-可证明函数()f x 是偶函数；（2）令12y =，有()1122f x f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通过代换，有()()332f x fx f x ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，可证明周期并求值.【小问1详解】令1,02x y ==，则()11120222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()01f =．令0x =，则()()()()20f y f y f f y +-=，因为()01f =，所以()()f y f y =-，即：()()=f x f x -，所以函数()f x 是偶函数．【小问2详解】()f x 是周期函数，理由如下．令12y =，则()1112222f x f x ff x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即：()1122f x f x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()112f x f x f x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，所以()112f x f x ⎛⎫+=--⎪⎝⎭，所以()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以()()332f x f x f x ⎛⎫+=-+=⎪⎝⎭，所以函数()f x 是周期为3的周期函数．所以()()()()20246743221f f f f =⨯+==-，因为()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，令12x y ==，得()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()112f =-，因为()f x 为偶函数，所以()()()()()202420242202421211f f f f f -+==-==-．【点睛】方法点睛：探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联，寻找并运用函数的周期性与奇偶性单调性，还有数形结合，先猜后证等等.。
