河北省保定市易县中学2019-2020学年高一数学下学期期中试题(含解析)第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.若全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}Μ=1,2,Ν=2,3,则()U C M N =( )A. {}1,2,3B. {}2C. {}1,3,4D. {}4【答案】D 【解析】【详解】因为全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}Μ=1,2,Ν=2,3{}1,2,3M N ∴⋃=, {}()4U C M N ∴⋃=,故选D.2.与60-°的终边相相同的角是 ( ) A.3πB.23π C.43π D.53π 【答案】D 【解析】 因为π603o-=-,π5π2π33-=-,所以与60-°的终边相相同的角是5π3;故选D. 3.下列函数在R 上单调递增的是( ) A. y x = B. lg y x =C. 12y x =D. 2xy =【答案】D 【解析】由题意得,选项B,C 的定义域不为R ,故排除掉,选项A :当(],0x ∈-∞时,y x =-在(],0-∞上单调递减,故不符合题意,排除;选项D :2xy =在R 上单调递增,符合题意,故选D.4.若角α的终边经过点P (,则cos tan αα+的值为( )D.12-+ 【答案】A 【解析】角α的终边经过(P ,1,2x y r OP ====,1cos ,tan 2x y r x αα∴====1cos tan 2αα++=,故选A. 5.若sin cos 0>θθ,则θ在( ) A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第一、四象限 D. 第二、四象限【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的定义判断即可【详解】解:设(),P x y 是θ角终边上任意一点(异于原点),r =2sin cos 0,0y x xyxy r r r θθ=⋅=>> 即x 与y 同号,则θ在第一、三象限 故选:B【点睛】考查三角函数的定义,基础题.6.设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===,则,,a b c 的大小关系( ) A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.c a b <<【答案】C 【解析】 【分析】判断,,a b c 与0,1大小关系,即可得到答案.【详解】因为0.30221a =>=,2000.30.31b <=<=,22log 0.3log 10c =<=, 所以c b a <<. 故选:C.【点睛】本题主要考查对数函数、指数函数的性质,关键是与中间量0,1进行比较,然后得三个数的大小关系,属于基础题.7.函数()4xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A. (1,2)B. (1,0)-C. (0,1)D. (2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的单调性,再结合零点存在性定理,即可判断出零点所在的区间. 【详解】因为函数xy e =与y x =在R 上均是单调增函数,所以函数()4xf x e x =+-是R 上的单调增函数,因为(1)1430f e e =+-=-<,22(2)2420f e e =+-=->,又函数()f x 的图象连续不间断, 所以函数()f x 的零点所在的区间为(1,2).故选:A【点睛】本题主要考查函数零点存在性定理的应用,属于基础题.8.若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y =上,则角α的取值集合是( ) A. {|2,}3k k Z πααπ=-∈ B. 2{|2,}3k k Z πααπ=+∈ C. 2{|,}3k k Z πααπ=-∈ D. {|,}3k k Z πααπ=-∈【答案】D 【解析】【详解】因为直线3y x =-的倾斜角是23π,tan 3α=-, 所以终边落在直线3y x =-上的角的取值集合为:{|,}3k k Z πααπ=-∈或者2{|,}3k k ααπ=π+∈Z . 故选D.9.函数22x y x =-的图象大致是()A. B. C. D.【答案】A 【解析】【详解】因为2、4是函数的零点,所以排除B 、C ; 因为1x =-时0y <,所以排除D,故选A10.已知函数()()()22210{log 0x x x f x x x --+≤=>,若方程()f x k =有四个不同的实数根1x ,2x ,3x ,4x ,则1234x x x x +++的取值范围是( )A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 19,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 19,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】当12k <<时,方程()f x k =有四个不同的实数根1x ,2x ,3x ,4x ,不妨依次由小到大,则由二次函数图像得对称性知122x x +=-,由对数函数性质知341x x ⋅=,且3410,242x x <≤≤<,所以34112+424x x ≤+<+,所以12341924x x x x ≤+++<,故选B .点睛:本题是涉及函数零点的问题,一般可以考虑数形结合的思想来处理,从图像可以看出,其中两个零点关于1x =-对称,从而和为定值2-,另外两个零点之积等于1,根据图像能确定其范围3410,242x x <≤≤<,从而求出四个零点和的范围,此类问题特别要重视数形结合的应用.第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填在题后的横线上.) 11.sin 240︒=__________. 【答案】3【解析】分析:根据诱导公式以及特殊角三角函数值得结果. 详解:00003sin 240sin(18060)sin 60=+==点睛:本题考查诱导公式,考查基本求解能力. 12.函数312x y a+=+(0a >且1a ≠)的图象必过定点_________【答案】1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】令310x +=可得定点的横坐标,进而可得定点的纵坐标. 【详解】令310x +=,得13x =-,此时0323y =+=, 所以函数312x y a+=+(0a >且1a ≠)的图象必过定点1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为:1,33⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查指数型函数恒过定点问题,属于基础题. 13.已知11232f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,且()6f m =,则m 等于__________. 【答案】【解析】 试题分析:设112x t -=,则22x t =+,所以()2(22)347y f t t t ==++=+,所以1()4764f m m m =+=⇒=-.考点:函数的解析式.14.已知函数()y f x =在R 上是奇函数,且当0x ≥时,2()2f x x x =-,则0x <时,()f x 的解析式为_______________. 【答案】2()2f x x x =-- 【解析】 【分析】当0x <时,0x ->,利用已知可求得()f x -,再根据奇函数的性质,可求得()f x . 【详解】因为函数()y f x =在R 上是奇函数, 所以()()f x f x -=-,因为0x ≥时,2()2f x x x =-,所以0x <时,0x ->,22()()2()2f x x x x x -=---=+,所以2()()2f x f x x x =--=--所以0x <时,()f x 的解析式为2()2f x x x =--. 故答案为: 2()2f x x x =--【点睛】本题考查了利用奇函数的性质求解析式,属于基础题. 15.函数()lnsin f x x =的定义域为__________.【答案】[)()4,0,ππ--【解析】 【分析】解不等式组sin 04040x x x >⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩,求出x的取值范围,即可得到答案.【详解】由题意,x 满足不等式组sin 04040x x x >⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩,即22,44k x k k Z x x πππ<<+∈⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,所以4x π-≤<-或0πx <<, 所以函数()f x 的定义域为[)()4,0,ππ--.故答案为:[)()4,0,ππ--.【点睛】本题主要考查函数的定义域及其求法,属于基础题.三、解答题(本大题共5小题,共50分.解答需写出必要文字说明、推理过程或计算步骤)16.已知1tan 3α=-, 计算:(1)sin 2cos 5cos sin αααα+-;(2)212sin cos cos ααα+.【答案】(1)516;(2)103. 【解析】 【分析】(1)分子分母同除以cos α,得到tan 25tan αα+-,代入tan α的值即可;(2)22221sin cos 2sin cos cos 2sin cos cos αααααααα+=++,分子分母同除以2cos α,得到2tan 12tan 1αα++,代入tan α的值即可.【详解】(1)12sin 2cos tan 2315cos sin 5tan 5()3αααααα-+++===----516. (2)222222110()11sin cos tan 11039112sin cos cos 2sin cos cos 2tan 132()133αααααααααα-+++=====+++⨯-+.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用,涉及到sin α,cos α的齐次式的计算,考查学生转化与化归的思想,是一道容易题. 17.已知集合A={x|-2<x <0},B={x|y=}(1)求(∁R A )∩B;(2)若集合C={x|a <x <2a+1}且C ⊆A ,求a 的取值范围. 【答案】(1){}1x x ≥- (2)12a ≤- 【解析】试题分析:(1)求出集合B={x|x ≥﹣1},∁R A={x|x ≤﹣2或x ≥0},根据交集的定义求解;(2)分C=∅和C ≠φ两种情况求解即可. 试题解析:(1)A={x|﹣2<x <0},B={x|y=1x + }={x|x+1≥0}={x|x ≥﹣1}, ∴∁R A={x|x ≤﹣2或x ≥0}, ∴(∁R A )∩B={x|x ≥0}(2)①当a ≥2a+1时,C=∅,此时a ≤﹣1满足题意;②当a <2a+1时,C ≠φ,由题意得212210a a a a <+⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,解得﹣1<a ≤﹣;综上,12a ≤- . ∴实数a 的取值范围是1(,]2-∞-.18.已知扇形的圆心角为α,所在圆的半径为r .(1)若0120α=, 6r =,求扇形的弧长;(2)若扇形的周长为24,当α为多少弧度时,该扇形面积S 最大?并求出最大面积. 【答案】(1)4π;(2)2rad ,36. 【解析】试题分析:(1)由已知利用弧长公式即可计算得解.(2)根据扇形的弧长与半径的关系,建立等式,然后根据面积公式转化成关于r 的二次函数,通过解二次函数最值即可得到结论. 试题解析:(1)∵021201201803a ππ==⨯=, 6r =,∴2•643l r παπ==⨯= (2)设扇形的弧长为l ,则224l r +=,即242l r =-(012r <<), 扇形的面积()()2211•242?1263622S l r r r r r r ==-=-+=--+, 所以当且仅当6r =时, S 有最大值36, 此时242612l =-⨯=,∴1226l r α=== .rad 19.某厂每月生产一种投影仪的固定成本为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元,市场对此产品的月需求量为500台,销售的收入函数为2()52x R x x =-(万元)(05x ≤≤且)x R ∈,其中x 是产品售出的数量(单位:百台).(1)求月销售利润y (万元)关于月产量x (百台)的函数解析式; (2)当月产量为多少时,销售利润可达到最大?最大利润为多少?【答案】(1)24.750.5,(05)2120.25,(5)x x x y x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩;(2)当月产量为475台时可获得最大利润10.78125万元.【解析】 【分析】(1)根据利润等于销售收入减去成本,对x 分05x ≤≤和5x >讨论列出方程,即可求出月销售利润y (万元)关于月产量x (百台)的函数解析式;(2)分别求出05x ≤≤和5x >时利润的最大值并比较,即可得到销售利润的最大值.【详解】(1)当05x ≤≤时,投影仪能售出x 百台,利润函数为()(0.50.25)y R x x =-+2(5)(0.50.25)2x x x --+=24.750.52x x =--,当5x >时,只能售出5百台,这时成本为(0.50.25)x +万元利润函数为()(0.50.25)y R x x =-+25(55)(0.50.25)2x =⨯--+120.25x -=,所以24.750.5,(05)2120.25,(5)x x x y x x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪->⎩. (2)当05x ≤≤时,2211( 4.75) 4.750.522y x =--+⨯- 所以当 4.75x =时,2max14.750.510.781252y =⨯-=(万元), 当5x >时,函数120.25y x =-在(5,)+∞上单调递减, 所以120.25120.25510.75y x =-<-⨯=(万元), 所以,当 4.75x =(百台)时,销售利润可达到最大. 答:当月产量475台时,可获得最大利润10.78125万元.【点睛】本题主要考查函数在实际生活中的应用,考查运算求解能力,同时考查了分段函数、二次函数的最值.20.已知定义域为R 的函数是奇函数()122x x b f x a+-=+(1)求实数,a b 的值(2)判断并证明()f x 在(),-∞+∞上的单调性(3)若对任意实数t R ∈,不等式()()220f kt kt f kt -+-<恒成立,求k 的取值范围【答案】(1)()11222xx f x +-=+(2)见解析(3)02k ≤<【解析】 分析】(1)由()f x 是R 上的奇函数,得()00f =,且()()11f -=-,代入()f x 可得,a b 的值;(2)由()f x 的解析式,用单调性定义可以证明()f x 是定义域上的减函数;(3)对任意实数t R ∈,不等式()()220f kt kt f kt -+-<恒成立,结合奇函数可得2220kt kt -+>对t R ∈恒成立,即可求得k 的取值范围.【详解】(1)由于定义域为R 的函数()122xx b f x a+-=+是奇函数, ()()()0011f f f ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩∴12b a =⎧⎨=⎩ ∴()11222xx f x +-=+经检验成立 (2)()f x 在(),-∞+∞上是减函数.证明如下:设任意()()()()2112121222,1212x x x x x x f x f x -<-=++ ∵12x x <∴()()12f x f x >∴()f x 在(),-∞+∞上是减函数 ,(3)不等式()()220f kt kt f kt -+-<, 由奇函数()f x 得到()()f x f x -=-所以()()()222f kt kt f kt f kt -<--=-, 由()f x 在(),-∞+∞上是减函数,∴2220kt kt -+>对t R ∈恒成立∴0k =或0{020k k >⇒<<∆< 综上:02k ≤<.【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的性质和应用,以及不等式恒成立问题.解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式,然后根据函数的单调性去掉“f ”,转化为具体的不等式(组),此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.。