运用高数解高考题常见的几大误区

高考数学常见错误分析与纠正高考数学作为选拔性考试的重要科目，对学生的逻辑思维、运算能力和综合应用知识的能力都有较高要求。

在高考数学答题过程中，学生们常常会出现各种各样的错误。

这些错误不仅会导致丢分，还可能影响学生的考试心态和最终成绩。

下面我们就来对高考数学中常见的错误进行分析，并探讨相应的纠正方法。

一、概念理解不清在高考数学中，对基本概念的准确理解是解题的基础。

然而，很多同学由于对概念的一知半解，导致在解题时出现错误。

例如，函数的定义域和值域是函数的两个重要概念。

有些同学在求解函数问题时，常常忽略定义域的限制，导致结果错误。

再比如，对于等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，部分同学没有真正理解其推导过程和适用条件，在实际应用时张冠李戴。

纠正方法：要深入理解数学概念，不能死记硬背。

对于容易混淆的概念，要通过对比、举例等方式进行区分。

同时，要多做一些基础概念的练习题，加深对概念的理解和应用。

二、运算错误运算能力是高考数学考查的重点之一，但也是学生们容易出错的地方。

常见的运算错误包括：加减乘除运算错误、符号错误、因式分解错误、分式化简错误等。

例如，在进行多项式乘法运算时，漏乘或错乘系数；在分式运算中，通分、约分出现错误；在根式运算中，忽略根式的定义域等。

纠正方法：首先要养成认真、细致的运算习惯，避免粗心大意。

其次，要掌握常见的运算技巧和方法，提高运算速度和准确性。

平时要多做一些运算练习，加强对基本运算规则的熟悉程度。

三、审题不仔细审题是解题的第一步，如果审题不清，就会导致解题方向错误。

有些同学在看到题目后，没有认真分析题目中的条件和要求，就匆忙下笔。

比如，没有注意到题目中的关键词、限制条件或者隐含条件。

还有些同学在阅读题目时，理解出现偏差，导致所建立的数学模型与题目要求不符。

纠正方法：在审题时，要逐字逐句地阅读题目，圈出关键词和重要条件。

对于复杂的题目，可以多读几遍，理清题目中的数量关系和逻辑关系。

高中高数学习的常见误区在学习高中高等数学的过程中，学生们常常会遇到一些误区，这些误区不仅阻碍了他们的学习进程，还可能影响他们对数学的兴趣和理解。

下面从一个教育角度来探讨这些常见的误区，以及如何避免它们，以帮助学生更有效地掌握高等数学的核心概念和技能。

首先，许多学生在学习高等数学时容易陷入“公式记忆”的误区。

学生们常常将注意力集中在记忆公式和定理上，而忽视了这些公式背后的原理和推导过程。

这样一来，当遇到需要灵活运用公式的问题时，他们可能会感到束手无策。

公式和定理是数学的工具，而理解这些工具的来源和适用范围，才是掌握数学的关键。

为了避免这种误区，学生应当在记忆公式的同时，注重理解公式的推导过程和应用情境。

通过反复练习和实际应用，能够更好地把握这些公式的使用方法。

其次，另一种常见的误区是过度依赖计算工具。

现代技术提供了诸如计算器、数学软件等便利工具，虽然这些工具在一定程度上提高了计算的效率，但它们也容易让学生忽视数学思维的培养。

过度依赖计算工具，尤其是在基础阶段，可能导致学生缺乏解决问题的思维能力。

建议学生在掌握基本概念和方法的基础上，逐步引入计算工具，而不是一开始就依赖它们。

通过亲自进行手动计算和推导，不仅能加深对数学概念的理解，还能提升解决问题的能力。

再者，学生在学习高等数学时往往会忽视对基础知识的扎实掌握。

高等数学的内容常常建立在初等数学的基础上，如果对基础知识掌握不牢固，往往会导致在学习进阶内容时遇到困难。

例如，对函数概念的不理解可能会使得学生在学习极限和导数时感到吃力。

为了避免这种情况，学生应当在学习高等数学之前，花时间夯实基础知识，确保对基本概念、定理和方法有充分的掌握。

此外，学习高等数学的过程中，学生们也容易忽视逻辑推理的重要性。

数学不仅仅是计算，更是逻辑推理的艺术。

很多学生在解题时倾向于采用“套公式”的方法，而忽略了对问题的深入分析和逻辑推导。

这种方式虽然在短期内可能取得一定效果，但从长远来看，对数学思维的发展并没有实质性的帮助。

导数及应用求解中的 误区警示侯有岐(汉中市四ʻ五学校ꎬ陕西汉中７２３３１２)摘㊀要:文章通过举例剖析导数及应用求解中常见的误区ꎬ剖析其出错的原因ꎬ并给出警示.关键词:导数及应用ꎻ误区ꎻ警示中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０１－００７４－０６收稿日期:２０２３－１０－０５作者简介:侯有岐(１９６８.１１－)ꎬ男ꎬ陕西省扶风人ꎬ本科ꎬ中学特级教师ꎬ从事中学数学教学研究.基金项目:陕西省第四批基础教育教学名师培养工作专项课题 三新 背景下农村薄弱学校高中生数学运算素养培养的策略研究 ㊀㊀导数是研究函数的重要工具ꎬ在历年高考中都占据着重要的地位ꎬ而且这部分知识既有难度较大的填空题ꎬ也有计算繁琐的解答题.由于学生对一些概念理解不透㊁审题不严㊁考虑不周或忽视结论成立的条件等产生思维混乱ꎬ导致求解失误.本文对导数及应用求解中的常见误区分类例析ꎬ剖析其出错的原因ꎬ并给出警示ꎬ希望能引起同学们的高度重视.１对导数的定义理解不到位致错例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１４ｘ４－３ｘ－２ꎬ则ｌｉｍәｘң０ｆ(１＋２әｘ)－ｆ(１)әｘ＝.错解㊀因为ｌｉｍΔｘң０ｆ(１＋２әｘ)－ｆ(１)Δｘ＝ｆᶄ(１)ꎬ且由导数的定义可得ｆᶄ(ｘ)＝ｘ３－３.所以ｆᶄ(１)＝－２.剖析㊀在导数定义中ꎬ增量әｘ的形式是多种多样的ꎬ但无论如何变化ꎬ其实质是分子中ｘ的增量与分母中ｘ的增量必须一致ꎬ否则必须通过一些恰当的变形使之一致.本例分子中ｘ的增量为２Δｘ(即１＋２Δｘ－１＝２Δｘ)ꎬ而分母中ｘ增量为Δｘ[１].正解㊀由导数的定义可得ｆᶄ(ｘ)＝ｘ３－３ꎬ所以ｌｉｍΔｘң０ｆ(１＋２Δｘ)－ｆ(１)Δｘ＝ｌｉｍΔｘң０ｆ(１＋２Δｘ)－ｆ(１)２Δｘˑ２＝２ｆᶄ(１)＝－４.警示㊀ｆᶄ(ｘ０)＝ｌｉｍΔｘң０ΔｙΔｘ＝ｌｉｍΔｘң０ｆ(ｘ０＋Δｘ)－ｆ(ｘ０)Δｘ表示函数ｆ(ｘ)在某一点ｘ０处的导数ꎬ即函数在点ｘ０处函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限ꎬ分子分母中的自变量的增量Δｘ必须保持对应一致ꎬ且必须是非零的变量ꎬ它可以是２Δｘꎬ－１２Δｘ等.在导数定义中应特别注意 Δｘ 与 Δｙ 的对应形式的多样性ꎬ但不论哪种形式都应突现 Δｘ 与 Δｙ 的一致性.２忽视函数的定义域致错例２㊀函数ｙ＝－１ｘ＋ｌｎｘ的单调递增区间为.错解㊀由已知得ｙᶄ＝１ｘ２＋１ｘ＝ｘ＋１ｘ２ꎬ令ｘ＋１ｘ２>０ꎬ解得ｘ>－１ꎬ故该函数的增区间为(－１ꎬ＋ɕ).剖析㊀没有考虑函数ｙ＝－１ｘ＋ｌｎｘ的定义域.正解㊀函数ｙ＝－１ｘ＋ｌｎｘ的定义域为(０ꎬ＋ɕ)ꎬｙᶄ＝１ｘ２＋１ｘ＝ｘ＋１ｘ２ꎬ令ｘ＋１ｘ２>０ꎬ解得ｘ>－１ꎬ故函数的增区间为(０ꎬ＋ɕ).警示㊀解决函数类问题一定要养成 定义域优先 的习惯ꎬ否则很容易造成解题错误.３复合函数的求导不彻底致错例３㊀设函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(３ｘ＋φ)ꎬ其中常数φ满足－π<φ<０ꎬ若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆᶄ(ｘ)(其中ｆᶄ(ｘ)是函数ｆ(ｘ)的导函数)是偶函数ꎬ则φ等于(㊀㊀).Ａ.－π３㊀Ｂ.－５π６㊀Ｃ.－π４㊀Ｄ.－２π３错解１㊀由题意得ｆᶄ(ｘ)＝３ｓｉｎ(３ｘ＋φ)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆᶄ(ｘ)＝ｃｏｓ(３ｘ＋φ)＋３ｓｉｎ(３ｘ＋φ)＝２ｃｏｓ(３ｘ＋φ－π３).因为函数ｇ(ｘ)为偶函数ꎬ所以φ－π３＝ｋπ(ｋɪＺ)ꎬ解得φ＝ｋπ＋π３(ｋɪＺ).又－π<φ<０ꎬ所以φ＝－２π３.故选Ｄ.错解２㊀由题意得ｆᶄ(ｘ)＝－ｓｉｎ(３ｘ＋φ)ꎬ则ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆᶄ(ｘ)＝ｃｏｓ(３ｘ＋φ)－ｓｉｎ(３ｘ＋φ)＝２ｃｏｓ(３ｘ＋φ＋π４).因为函数ｇ(ｘ)为偶函数ꎬ所以φ＋π４＝ｋπ(ｋɪＺ)ꎬ解得φ＝ｋπ－π４(ｋɪＺ).又－π<φ<０ꎬ所以φ＝－π４.故选Ｃ.剖析㊀复合函数的求导应该按求导法则由外及里层层求导ꎬ直到求导到自变量ｘ为止.错解的原因是ｆ(ｘ)的导函数求错了ꎬ事实上ｆᶄ(ｘ)＝－３ｓｉｎ(３ｘ＋φ).正解㊀由题意得ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋ｆᶄ(ｘ)＝ｃｏｓ(３ｘ＋φ)－３ｓｉｎ(３ｘ＋φ)＝２ｃｏｓ(３ｘ＋φ＋π３).因为函数ｇ(ｘ)为偶函数ꎬ所以φ＋π３＝ｋπ(ｋɪＺ)ꎬ解得φ＝ｋπ－π３(ｋɪＺ).又－π<φ<０ꎬ所以φ＝－π３.故选Ａ.警示㊀复合函数求导时ꎬ选择中间变量是关键ꎬ必须正确分析复合函数的复合层次ꎬ然后从外向里逐层求导ꎬ求导后ꎬ要把中间变量转换成自变量的函数.出错原因往往是由于在复合函数求导时ꎬ复合过程划分不彻底产生的.４混淆 过某点 的切线与在 某点处 的切线例４㊀求过点Ａ(２ꎬ－２)ꎬ且与曲线ｆ(ｘ)＝３ｘ－ｘ３相切的直线方程.错解㊀经检验点Ａ(２ꎬ－２)在曲线ｆ(ｘ)上ꎬ求导得ｆᶄ(ｘ)＝３－３ｘ２ꎬ所以切线的斜率为ｆᶄ(ｘ)＝－９ꎬ故切线方程为ｙ＋２＝－９(ｘ－２)ꎬ即９ｘ＋ｙ－１６＝０.剖析㊀错解混淆了 过某点 与 在某点 处的切线的概念ꎬ尽管点Ａ在曲线上ꎬ但题目要求的是 过 点Ａ的切线ꎬ因此应考虑Ａ(２ꎬ－２)是切点和不是切点两种情况ꎬ所以用 切点待定法 求解.正解㊀设切点坐标为Ｍｘ０ꎬ３ｘ０－ｘ３０()ꎬ则切线斜率为ｋ＝ｆᶄ(ｘ０)＝３－３ｘ２０.则在点Ｍ处的切线方程为ｙ－３ｘ０＋ｘ３０＝(３－３ｘ２０)(ｘ－ｘ０).因为点Ａ(２ꎬ－２)在切线上ꎬ将点Ａ(２ꎬ－２)代入得－２－３ｘ０＋ｘ３０＝(３－３ｘ２０)(２－ｘ０).化简ꎬ得ｘ３０－３ｘ２０＋４＝０.即(ｘ０＋１)(ｘ０－２)２＝０.解得ｘ０＝－１或ｘ０＝２.所以切线方程为ｙ＝－２或９ｘ＋ｙ－１６＝０.警示㊀(１)曲线的切线不一定和曲线只有一个交点ꎻ(２) 在 某一点的切线和 过 某一点的切线是两个不同的概念ꎻ(３) 在 某一点的切线若有则只有一条ꎬ而 过 某一点的切线往往不只是一条ꎬ一般用 切点待定法 求解ꎬ如本题.５混淆 导数为０ 与 有极值 的逻辑关系㊀㊀例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋３ｍｘ２＋ｎｘ＋ｍ２在ｘ＝－１处取得极值０ꎬ则ｍ＋ｎ＝(㊀㊀).Ａ.４㊀㊀Ｂ.１１㊀㊀Ｃ.４或１１㊀㊀Ｄ.３或９错解㊀因为ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２＋６ｍｘ＋ｎꎬ由题意得ｆᶄ(－１)＝０ꎬｆ(－１)＝０ꎬ{即３－６ｍ＋ｎ＝０ꎬ－１＋３ｍ－ｎ＋ｍ２＝０ꎬ{解得ｍ＝１ꎬｎ＝３ꎬ{或ｍ＝２ꎬｎ＝９.{故ｍ＋ｎ＝４或１１.故选Ｃ.剖析㊀错解对 导数为０ 与 有极值 的逻辑关系分辨不清ꎬ把 极值点 等同于 导数的零点 ꎬ没有把求出的ｍꎬｎ值代入检验.事实上ꎬｆᶄ(ｘ)＝０的点只是可导函数ｆ(ｘ)极值点的必要不充分条件.正解㊀因为ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２＋６ｍｘ＋ｎꎬ由题意得ｆᶄ(－１)＝０ꎬｆ(－１)＝０.{即３－６ｍ＋ｎ＝０ꎬ－１＋３ｍ－ｎ＋ｍ２＝０.{解得ｍ＝１ꎬｎ＝３ꎬ{或ｍ＝２ꎬｎ＝９.{当ｍ＝１ꎬｎ＝３{时ꎬｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２＋６ｘ＋３＝３(ｘ＋１)２ȡ０ꎬ不合题意ꎬ舍去ꎻ当ｍ＝２ꎬｎ＝９{时ꎬｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２＋１２ｘ＋９＝３(ｘ＋３)(ｘ＋１).令ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ得ｘ<－３或ｘ>－１ꎻ令ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ得－３<ｘ<－１.所以ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ－３)ꎬ(－１ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ在(－３ꎬ－１)上单调递减ꎬ符合题意.则ｍ＋ｎ＝２＋９＝１１.故选Ｂ.警示㊀ｆᶄ(ｘ０)＝０是可导函数ｆ(ｘ)在点ｘ０处取得极值的必要不充分条件ꎬ导数为０的点只是可导函数存在极值的可疑点ꎬ若它的两侧导数异号ꎬ它才是函数的极值点ꎻ若它的两侧导数同号ꎬ则不为极值点ꎬ所以在求得导数为０的点后ꎬ还要进行检验ꎬ否则容易出错.６混淆 导数值的正负 与 函数增减性 的逻辑关系㊀㊀例６㊀已知函数ｆ(ｘ)＝－ｘ３＋ａｘ２＋４ｘ(ａɪＲ)ꎬ若ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ２)上是单调递增的ꎬ求实数ａ的取值范围.错解㊀因为ｆ(ｘ)＝－ｘ３＋ａｘ２＋４ｘ(ａɪＲ)ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)＝－３ｘ２＋２ａｘ＋４.由于ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ２)上单调递增ꎬ所以有ｆᶄ(ｘ)>０在(０ꎬ２)上恒成立.即ａ>３ｘ２－２ｘ在(０ꎬ２)上恒成立.令ｇ(ｘ)＝３ｘ２－２ｘꎬｘɪ(０ꎬ２)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝３２＋２ｘ２>０.所以ｇ(ｘ)在(０ꎬ２)上单调递增.故ｇ(ｘ)<３ˑ２２－２２＝２ꎬ故ａ>２.故实数ａ的取值范围为(２ꎬ＋ɕ).剖析㊀错误之处就是忽视了ｆᶄ(ｘ)＝０的情况.事实上ꎬ当ｆᶄ(ｘ)在某个区间内的个别点处为零ꎬ其余点处为正(或负)时ꎬｆ(ｘ)在这个区间上仍然是单调递增(或递减)函数ꎬ故应令ｆᶄ(ｘ)ȡ０在(０ꎬ２)上恒成立.正解㊀因为ｆ(ｘ)＝－ｘ３＋ａｘ２＋４ｘ(ａɪＲ)ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)＝－３ｘ２＋２ａｘ＋４.由于ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ２)上单调递增ꎬ所以有ｆᶄ(ｘ)ȡ０在(０ꎬ２)上恒成立.即ａȡ３ｘ２－２ｘ在(０ꎬ２)上恒成立.令ｇ(ｘ)＝３ｘ２－２ｘꎬｘɪ(０ꎬ２)ꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝３２＋２ｘ２>０.所以ｇ(ｘ)在(０ꎬ２)上单调递增.故ｇ(ｘ)<３ˑ２２－２２＝２ꎬ故ａȡ２.故实数ａ的取值范围为[２ꎬ＋ɕ).警示㊀由函数的单调性㊁极值等问题求解参数的取值范围是高考命题的一个重点.解决此类问题的关键在于正确理解单调性㊁极值的概念和其求解㊁判断的方法.要注意以下细节问题: (１)ｆᶄ(ｘ)>０(ｆᶄ(ｘ)<０)(ｘɪ(ａꎬｂ))是ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)上单调递增(减)的充分不必要条件.实际上ꎬ可导函数ｆ(ｘ)在(ａꎬｂ)上为单调递增(减)函数的充要条件为:对于任意ｘɪ(ａꎬｂ)ꎬ有ｆᶄ(ｘ)ȡ０(ｆᶄ(ｘ)ɤ０)且ｆᶄ(ｘ)在(ａꎬｂ)的任意子区间上都不恒为０.因而这类题求出参数范围后ꎬ应对 ＝ 成立的值进行检验ꎬ看是否符合题意ꎻ(２)解题中对 恒成立㊁能成立㊁恰成立 等概念区分不清也易致错.７误认为函数的极值只能在导数为零的点处取得㊀㊀例７㊀求函数ｆ(ｘ)＝１－(ｘ－２)２３的极值.错解㊀当ｘʂ２时ꎬｆᶄ(ｘ)＝－２３(ｘ－２)－１３ꎬｆᶄ(ｘ)＝０无解.当ｘ＝２时ꎬｆᶄ(ｘ)不存在ꎬ因此ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝２处不可导.所以ｆ(ｘ)无极值.剖析㊀在确定极值时ꎬ只讨论满足ｆᶄ(ｘ)＝０的点ｘ０附近导数的符号变化情况是不全面的ꎬ在导数不存在的点处也可能存在极值[２].正解㊀当ｘʂ２时ꎬｆᶄ(ｘ)＝－２３(ｘ－２)－１３ꎬｆᶄ(ｘ)＝０无解.当ｘ＝２时ꎬｆᶄ(ｘ)不存在ꎬ因此ꎬｆ(ｘ)在ｘ＝２处不可导.但当ｘ<２时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎻ当ｘ>２时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ且函数ｆ(ｘ)在ｘ＝２处有定义.所以ｆ(ｘ)在点ｘ＝２处取得极大值ꎬ且极大值为１.警示㊀可导函数的极值点一定是其导数为零的点ꎻ反之ꎬ导数为零的点不一定是该函数的极值点.因此ꎬ导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件ꎬ其充分条件是这点两侧的导数异号.另外ꎬ使ｆᶄ(ｘ)无意义的点也要讨论ꎬ因为不可导点也可能是极值点.８隐含条件利用不充分致错例８㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ４４＋ｂ３ｘ３－２＋ａ２ｘ２＋２ａｘ在点ｘ＝１处取极值ꎬ且函数ｇ(ｘ)＝ｘ４４＋ｂ３ｘ３－ａ－１２ｘ２－ａｘ在区间(ａ－６ꎬ２ａ－３)上单调递减ꎬ求实数ａ的取值范围.错解㊀ｆᶄ(ｘ)＝ｘ３＋ｂｘ２－(２＋ａ)ｘ＋２ａꎬ由ｆᶄ(１)＝０ꎬ得ｂ＝１－ａ.所以ｇᶄ(ｘ)＝ｘ３＋ｂｘ２－(ａ－１)ｘ－ａ＝ｘ３＋(１－ａ)ｘ２－(ａ－１)ｘ－ａ＝(ｘ－ａ)(ｘ２＋ｘ＋１).因为ｘ２＋ｘ＋１>０ꎬ所以ꎬ当ｘ<ａ时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)在(－ɕꎬａ)单调递减ꎬ所以(ａ－６ꎬ２ａ－３)⊆(－ɕꎬａ).所以ａ－６<２ａ－３ɤａꎬ即－３<ａɤ３.故所求ａ的取值范围为(－３ꎬ３].剖析㊀上述解法的错误之处是没有充分挖掘题目的隐含条件ａʂ１ꎬ造成扩大ａ的取值范围的情况.事实上ꎬ由ｆᶄ(１)＝０ꎬ得ｂ＝１－ａꎬ此时ꎬｆᶄ(ｘ)＝ｘ３＋(１－ａ)ｘ２－(２＋ａ)ｘ＋２ａ＝(ｘ－１)(ｘ＋２)(ｘ－ａ)ꎬ当ａ＝１时ꎬｆᶄ(ｘ)＝(ｘ－１)２(ｘ＋２)ꎬ函数ｆ(ｘ)在ｘ＝１处没有极值.正解㊀ｆᶄ(ｘ)＝ｘ３＋ｂｘ２－(２＋ａ)ｘ＋２ａꎬ由ｆᶄ(１)＝０ꎬ得ｂ＝１－ａ.所以ｆᶄ(ｘ)＝ｘ３＋(１－ａ)ｘ２－(２＋ａ)ｘ＋２ａ＝(ｘ－１)(ｘ＋２)(ｘ－ａ).如果ａ＝１ꎬ那么ｘ＝１就只是使导函数值为０的点而非极值点ꎬ故ｂ＝１－ａ且ａʂ１.ｇᶄ(ｘ)＝ｘ３＋ｂｘ２－(ａ－１)ｘ－ａ＝ｘ３＋(１－ａ)ｘ２－(ａ－１)ｘ－ａ＝(ｘ－ａ)(ｘ２＋ｘ＋１).因为ｘ２＋ｘ＋１>０ꎬ所以ꎬ当ｘ<ａ时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)在(－ɕꎬａ)单调递减ꎬ所以(ａ－６ꎬ２ａ－３)⊆(－ɕꎬａ).所以ａ－６<２ａ－３ɤａꎬ即－３<ａɤ３.综上可知ꎬａ的取值范围为(－３ꎬ１)ɣ(１ꎬ３].警示㊀研究函数的极值与其导函数的关系时ꎬ求出ｆᶄ(ｘ)的零点后ꎬ要判断导函数在零点两侧的函数值符号.若符号相反ꎬ则该零点是可导函数ｆ(ｘ)的极值点ꎻ若符号相同ꎬ则不是极值点.解本题时易忽视ａʂ１.因此ꎬ题目中的隐含条件能否挖掘彻底㊁利用是否充分ꎬ往往是我们成功解题的关键.９混淆函数的 单调区间是 与函数 在区间上单调 致错㊀㊀例９㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｘ２＋ａｘ的单调递减区间为(１２ꎬ１)ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ａɪ(－ɕꎬ－３]㊀㊀㊀Ｂ.ａ＝－３Ｃ.ａ＝３Ｄ.ａɪ(－ɕꎬ３]错解㊀因为ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２ｘ＋ａꎬ又ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｘ２＋ａｘ的单调递减区间为(１２ꎬ１)ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２ｘ＋ａɤ０在区间(１２ꎬ１)上恒成立.即不等式ａɤ－１ｘ－２ｘ在区间(１２ꎬ１)上恒成立.㊀令ｇ(ｘ)＝－１ｘ－２ｘꎬ易知ｇ(ｘ)在区间(１２ꎬ２２)上单调递增ꎬ在(２２ꎬ１)上单调递减.又ｇ(１２)＝ｇ(１)＝－３ꎬ所以ｇ(ｘ)>－３.则ａɤ－３.故选Ｄ.剖析㊀混淆函数的 单调区间是 与函数 在区间上单调 的区别致误.正解㊀因为ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２ｘ＋ａꎬ又ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ＋ｘ２＋ａｘ的单调递减区间为(１２ꎬ１)ꎬ即ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋２ｘ＋ａ<０的解集为(１２ꎬ１).所以不等式２ｘ２＋ａｘ＋１<０的解集为(１２ꎬ１).所以１２ꎬ１是２ｘ２＋ａｘ＋１＝０的两根.所以１２＋１＝－ａ２ꎬ解得ａ＝－３.故选Ｂ.警示㊀在解决与函数的单调性有关的问题时要注意下列几个概念的区别: 在区间上单调 指该区间是函数相应单调区间的子区间ꎻ 单调区间是 指该区间就是函数的相应最大单调区间ꎻ 存在单调区间 指该区间内有相应单调性ꎬ也可能有别的单调性ꎬ即该区间内可能既有增区间ꎬ也有减区间.１０数形结合思想使用中图象失真致错例１０㊀已知函数ｆ(ｘ)＝(１２)ｘ＋３４ꎬｘ>０ꎬ(２ｘ－ｘ２)ｅｘꎬｘɤ０ꎬìîíïïï若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋２ｋ有两个不同的零点ꎬ则实数ｋ的取值范围为.错解㊀设ｇ(ｘ)＝(２ｘ－ｘ２)ｅｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝(２－ｘ２)ｅｘ.令ｇᶄ(ｘ)＝０ꎬ解得ｘ＝－２或ｘ＝２(舍).当ｘɪ(－ɕꎬ－２)时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｇ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘɪ(－２ꎬ０)时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ函数ｇ(ｘ)单调递增.所以ｇ(ｘ)在ｘ＝－２时ꎬ取极小值ｇ(－２)＝－２(２＋１)ｅ２.设ｈ(ｘ)＝(１２)ｘ＋３４ꎬ根据指数函数单调性易知ꎬｈ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递减ꎬ所以ｈ(ｘ)ɪ(３４ꎬ７４).㊀若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋２ｋ有两个不同的零点ꎬ则－２(２＋１)ｅ２<－２ｋ<０或３４<－２ｋ<７４ꎬ解得０<ｋ<２＋１ｅ２或－７８<ｋ<－３８.故实数ｋ的取值范围为(０ꎬ２＋１ｅ２)ɣ(－７８ꎬ－３８).㊀剖析㊀上述解法的错误之处是数形结合思想使用中图象失真致错ꎬ想当然地认为ꎬ在ｇ(ｘ)＝(２ｘ－ｘ２)ｅｘ中ꎬ当ｘң－ɕ时ꎬｙң＋ɕꎬ而没有充分验证ꎬ犯了思维定式的错误.正解㊀设ｇ(ｘ)＝(２ｘ－ｘ２)ｅｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝(２－ｘ２)ｅｘ.令ｇᶄ(ｘ)＝０ꎬ解得ｘ＝－２或ｘ＝２(舍).当ｘɪ(－ɕꎬ－２)时ꎬｇᶄ(ｘ)<０ꎬ函数ｇ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘɪ(－２ꎬ０)时ꎬｇᶄ(ｘ)>０ꎬ函数ｇ(ｘ)单调递增.所以ｇ(ｘ)在ｘ＝－２时ꎬ取极小值ｇ(－２)＝－２(２＋１)ｅ２.当ｘң－ɕ时ꎬｙң０且ｘ<０时ꎬｙ＝ｇ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２()ｅｘ<０.设ｈ(ｘ)＝(１２)ｘ＋３４ꎬ根据指数函数单调性易知ꎬｈ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递减ꎬ当ｘң０时ꎬｙң７４ꎻ当ｘң＋ɕ时ꎬｙң３４ꎬ如图１所示.图１㊀例１０正解若函数ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)＋２ｋ有两个不同的零点ꎬ则－２(２＋１)ｅ２<－２ｋ<０ꎬ解得０<ｋ<２＋１ｅ２.所以实数ｋ的取值范围为(０ꎬ２＋１ｅ２).警示㊀为了确保图象的准确性必须注意到:对于函数ｇ(ｘ)ꎬ当ｘң－ɕ时ꎬｙң０且ｘ<０时ꎬｙ＝ｇ(ｘ)＝２ｘ－ｘ２()ｅｘ<０ꎻ对于函数ｈ(ｘ)ꎬ当ｘң０时ꎬｙң７４ꎻ当ｘң＋ɕ时ꎬｙң３４作出函数图象ꎬ否则就造成图象失真导致错误.１１结束语除了上述几类典型的易错问题以外ꎬ常见的还有忽视函数的定义域㊁构造原函数不当㊁错把ｆᶄ(ｘ０)当成关于ｘ的变量函数㊁忽视切点在曲线上的隐含条件致错等ꎬ由于篇幅所限ꎬ在此不作赘述.总之ꎬ学习中要认真总结ꎬ多加思考ꎬ明确易混易错问题的类型ꎬ弄清致错根源ꎬ防患于未然.参考文献:[１]侯有岐.高考易错题自测卷:导数[Ｊ].教学考试ꎬ２０１７(２０):６９－７３.[２]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]。

高数备考的常见误区与解决方案高等数学作为大学中的重要学科，常常让许多学生感到挑战重重。

在备考高等数学时，往往会遇到一些常见的误区，这些误区如果不及时解决，可能会影响到学生的学习效果和成绩。

接下来，我们将从拟人的角度出发，为大家分析这些误区，并提出解决方案，希望能帮助大家更好地备考高等数学。

首先，让我们来谈谈第一个常见误区——“害怕数学”。

有些同学对高等数学抱有一种心理上的抗拒和恐惧，认为数学很难，自己无法掌握。

这种想法就像是面对一个高大威猛的对手，让人望而却步。

然而，数学并不是一个遥不可及的怪物，它只是一门科学，需要通过系统的学习和实践来掌握。

解决这个误区的关键在于改变心态，建立起自信心和积极的学习态度。

可以通过与同学讨论、请教老师、多做练习等方式，逐渐增强对数学的信心和兴趣，从而克服心理障碍，更好地投入到学习中去。

其次，我们来看第二个常见误区——“死记硬背”。

有些学生在备考高等数学时，过于依赖死记硬背公式和定理，而忽略了数学知识的理解和应用。

这就像是只知道船的船体结构，却不懂得如何航行的水手。

数学的学习需要理解和应用相结合，只有掌握了其背后的原理和思想，才能在解题时游刃有余。

解决这个误区的方法是，在学习过程中注重理解概念和推导过程，而不是简单地机械记忆公式。

可以通过多做一些实际问题的应用练习，或者尝试用不同的方法解决同一个问题，来加深对数学知识的理解和运用能力。

接下来，让我们来探讨第三个常见误区——“孤军奋战”。

有些学生习惯独自一人面对学习中遇到的问题，不愿意寻求他人的帮助和建议。

这就像是在茫茫大海中独自航行，虽然可以前行，但却可能走得更慢、更艰难。

数学学习是一个交流和合作的过程，通过与同学讨论，向老师请教，甚至参加学习小组，可以更快地理解知识、发现问题，并及时得到解决。

解决这个误区的办法是，培养良好的学习习惯，勇于寻求帮助和分享经验，与他人合作共同进步。

最后，让我们来看最后一个常见误区——“应试心态”。