有关积分因子的求法

（ ２ ） ｘ 一 ２ ， 一 ｙ ｄ
那 么
－
现在 只需 构造 函数 Ｇ （ｙ）和 Ｇ （ ， ｘ ） 使
第 １ ５卷 第 ３期
２１ ０ ２年 ５ 月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ Ｓ Ｉ Ｃ０Ｌ Ｅ Ｎ ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨ ＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ ． ５ Ｎｏ ３ １１ ， ．
Ｍａ ｙ．２０ １２
有 关 积 分 因 子 的 求 法
岳 宗敏
（ 西 科 技 大 学 理 学 院 ，陕 西 西 安 ７ ０ ２ ） 陕 １ ０ １
ｖ
例 １ 对 于 微 分 方 程
ｙ ｘ — ｘ ｙ＋ ｙｄ 一 ０ ｄ ｄ ｙ ，
．
ｘｙ
求其 通解 ．
ｄ ）： ＿ ｙ － ｙｄ （ ： ｄ ＝ｘ ｘ
， ，
解 仅 对 ｙ ｘ— ｘ ｙ来 说 ， 以 ｓ ，ｓ或 ｄ ｄ 乘 ，
都 可使 其变 为全 微分 ， 考虑 到还 有一 项 ｙ ｙ只 但 ｄ
ｄ ） （ 一 劳
， wk.baidu.com
ｒｎ 帮十— ｃ 詈一ｚ Ｖ， ｔＶ ａ
土 ．
根据 以上 常见 微 分结果 ， 遇见 形如 若
ｍｙｄ ｘ ｎ ｙ 一 ０ ｉｄ
其 中 Ｃ取 任意 常数 ． 例 ２ 求 微 分方程
（ ＋ Ｙ ） ｘ 一 ２ ｙ ｙ 一 ０ ｚ ｄ ｘ ｄ
利用积 分因子求解 微分方 程 ， 是常微 分方 程初 等
２
（ ）一 ｚ，
・
解 法 中一 个重要 的 内容． 方法把 方程 的求解 难度 转 此
嫁 到积分 因子 的确 定上 ， 也就 是说积 分 因子 的确定 是 若遇 见 形如
ｙｄ — ｘ —ｘｄ ＝ ０ ｙ ＝
求 解 方 程 的关 键 ． 于积 分 因子 的求 解 研 究 已有不 关 少 ， 本文期 望能够将 比较好 的结 果加 以总结 ， 使之
的原 函数 或通 解 来确 定综 合起来 的积分 因子 ． 例 ３ 求 解 方程
（ ｙｄ ＋ ｚ ｙ）一 ２ ，ｄ 一 ０ ｚ。 ｘ ｄ ３。 ｘ ．
例 ４ 求 微分 方程
（ 。＋ Ｙ ｄ 一 ２ ｙｄｙ 一 ０ ）ｘ ｘ
的一 个 积 分 因 子 ．
解 不 妨 记
更 适合 于课堂教学 ， 给学生 以启示 和指导．
的微 分 方程 ， 常用 到 的积 分 因子有
１ １
。一 － ’ Ｚ
１
一 ’
１
１ 观 察 法
一
一 ’
类 似 地加 以推 广 ， 若遇 形如
一面
‘
般 而 言 ， 积 分 因 子 的难 度 与 求 解非 恰 当方 求
Ｍ — ｚ ＋ ｙ ， Ｎ 一 一 ２ ｙ， ｘ
则有
３Ｎ ａ
一
一
一
解 利 用 观 察 法 可 知
‘
ｚ
ａｖ
４ ．
’
（ 。 ｚ＋ ｄ ｚ ｄ ）一 ｄ ｘ （ ｙ），
若设 方 程有 积分 因子形 如
— ｅｐＩ（ ＋ｂ” （ ＋ｂ ）， ｘ［ ｙ） 甜 ｙ ］ ｄ
程 的难 度 几乎 是一 样 的 ， 察 法 能够 很 快 的找 到 积 观
ｍｙｄ — ａ ｄ ＝ ０ ｘ —ｒ ＝ ｙ ＝
分 因子并 加 以求 解 的 题 目相 对 而 言 也 是 比较 简 单 的． 是要 求 记忆 一些 常见 的微 分 形式 ． 但 以下列 出一
些 常 见 的微分 形式 ．
ｄ 三 ）一 Ｔｄ － ｘｄ （ ｙ ｘ ｙ
，
与 ｙ有关 ， 故取 为 积分 因子 ， 而有 从
＋ ｄ — ｏ，
ｄ１Ｊ 』一 （ ） ｎ
Ｉｚ １
ｚ
生，
通 解 为 兰 ＋ ｌ ｙ Ｉ Ｃ， ｎ ｌ ＝
ｄ ｘｙ一 ｃｎ ￣１ 丢 ｌ ）
的积 分 因子 即可．
收 稿 日期 ： Ｏ Ｏ １ — １ 修 改 日期 ： ０ ２０ — ５ ２ ｌ一０１ ； ２ １—４０ ．
基 金 项 目 ： 西 科 技 大 学 理学 院教 改项 目资 助 陕 作 者 简 介 ： 宗 敏 （ ９ １ ）女 ， 西 西 安 人 ， 士 ， 师 ， 岳 １８ － ， 陕 硕 讲 主要 从 事 微
分 方 程 稳 定性 研 究 ． ｍａ ： ｕ ｚ ｎ ｍｉ＠ Ｓ Ｓ。 ｄ ． ｎ Ｅ ｉ ｙ ｅｏ ｇ ｎ Ｕｔｅｕ ｃ． ｌ
５ ０
高 等 数 学 研 究
２１ ０ ２年 ５月
２ 分 项 组 合 法
分项 组 合 法 是一 种 比较综 合 的方 法 ， 先 把方 首 程 非零 的一端 分组 ， 别确 定积 分 因子 ， 通过 各组 分 再
的一 个积 分 因子 ．
解 原 方程 可写 为
ｚ。 ｘ＋ Ｙ。 ｘ — ｘｄ ｄ ｄ ｙ。一 ０，
的微分 方程 ， 常用 到的 积分 因子 有
ｌ
（ ）一 ｚ一 ｚ，
，
Ｘ２－ｄ来 ， 专，或 中 Ｃ８ ，。说 以 ， ，２ ｙ７７ 乘 ２ ３ ． ， １
的任 一个 ， 可使 其变 为全 微分 ， 考虑 到还 有另 一 都 但 项ｚｄ ｘ只与 ｚ有关 ， 只需 要选 取 故 １作 为所 给方 程
摘 要 介 绍 积 分 因子 的几 种 主 要 求 解 方 法 ， 观 察 法 、 式 法 和 分 组 法 ， 通 过 实 例 说 明其 应 用 ． 如 公 并
关 键 词 积 分 因子 ；全 微 分 方 程 ；求解 方 法 中图 分 类 号 ０１ ６ ５ ８ ． 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ — ３ ９ ２ １ ） ３０ ４ — ３ ０ ８ １ ９ （ ０ ２ ０ —０ ９０
ｄ（ ）一 ． 一 Ｙ 一 （ ｘ Ｙ ｚ ｍｙｄ ｘ＋ 船 ｄ ， ｙ）
ｘ ｄ （ｎ （ ｍ ＂ ）一 — ｘ ￣ ｍｙｄ １ ｘｙ） ｎ ｘｄ
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的微 分方 程 ， 常用 的 积分 因子有
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