初中数学竞赛辅导几何变换(旋转)
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第2讲 几何变换——旋转
典型例题
【例1】 C是线段AE上的点，以AC、CE为边在线段AE的同侧作等边三角形ABC、CDE，
设AD的中点是M，BE的中点是N，连结MN、MC、NC，求证：CMN△是等
边三角形．
【例2】 如图，两个正方形ABCD和AKLM有一个公共点A．求证：这两个正方形的中心以
及线段BM，DK的中点是某正方形的顶点．
D
N
M
C
A
B
E
K
Q
D
C
B
A
R
P
M
L
【例3】 已知：如图，ABC△、CDE△、EHK△都在等边三角形，且A、D、K共线，
ADDK
．求证：HBD△也是等边三角形．
【例4】 ABC△是等边三角形，P是AB边的中点，Q是AC边的中点，R为BC边的中点，
M
为RC上任意一点，且PMS△是等边三角形，S与Q在PM的同侧，求证：
RMQS
．
K
E
C
H
D
B
A
Q
S
M
P
C B
A
R
【例5】 ABCD是正方形，P是ABCD内一点，1PA，3PB，7PD，求正方形
ABCD
的面积．
【例6】 P是等边三角形ABC内的一点，6PA，8PB，10PC．求ABC△的边长．
P
D
C
B
A
C
B
P
A
【例7】 设O是等边ABC△内一点，已知115AOB，125BOC，求以线段OA、OB、
OC
为边所构成的三角形的各内角大小．
【例8】 如图，在ABC△中，90ACB，ACBC，P是ABC△内一点，3PA，1PB，
2PC，求BPC
．
【例9】 如图，已知ABC△中，90Ao，ABAC，D为BC上一点，求证：
A
P
C
B
222
2BDDCAD
．
【例10】 如图，在等腰直角ABC△中，90ACB，CACB，P、Q在斜边AB上，且
45PCQ
，求证：222PQAPBQ．
【例11】 在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，满足EFBEDF，
A
D
C B
A
Q
B
C
P
AE、AF分别与对角线BD
交于M、N．求证：
（1）45EAF；
（2）222MNBMDN．
【例12】 如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，ADCD，2BCCDAD，E是CD上一点，
且45ABE，AD．求CE的长．
E
D C B A
A
C B
D
N
E
F
M
【例13】 已知：ABC△中，120A≥，P是不与A重合的定点，求证：
PAPBPCABAC
＞
．
【例14】 已知：如图，ABD△是等边三角形，ABC△中，BCa，CAb．问：当ACB为
何值时，C、D两点的距离最大？最大值是多少？
C
B
A
D
P
C
B
A
【例15】 已知ABC△，以其各边为底边，向ABC△的外部作等腰三角形ABD、BCE、CAF，
使顶角都等于120，求证：DEF△是正三角形．
【例16】 已知：ABC△是锐角三角形，三边长分别是a、b、c，O是ABC△内的一点，
120AOBBOCCOA，OAu，OBv，OCw
，DEF△是等边三角
形，P是DEF△内一点，PDa，PEb，PFc．
求证：DEF△的边长等于uvw．
E
B
D
A
F
C
【例17】 已知：三条平行直线l、m、n，求证：存在一个等边三角形ABC，使顶点A、B、
C
分别在l、m、n上．
作业
1. 已知：ABCD是正方形，O是其中心，OEFG也是正方形，两个正方形的边长都是a，OG、
OE分别交CD、BC
于H、K．求证：214OKCHSa．
2. 已知：如图，ABCD是正方形，12．求证：BEDFAE．
3. ABC△是等边三角形，P是其内的一点，3PA，4PB，5PC，求ABC△的面积．
O
D C B A
H
G
F
E
K
1
F
D
E
A
C
2
B
4. P是等边ABC△内部一点，APB、BPC、CPA的大小之比是5:6:7，求以PA、PB、
PC
为边的三角形的三个角的大小之比．
5. 等边ABC△的边长25123a，点P是ABC△内一点，且222PAPBPC，若
5PC
，求PA、PB的长．
6. 在梯形ABCD中，ADBC∥（BCAD＞），90D，12BCCD，E在CD上，
45ABE，若10AE
，求CE的长．
7. 如图，P、Q是边长为1的正方形ABCD内两点，使得45PAQPCQ．求
PABPCQQADSSS
的值．
Q
P
D
C
B
A
E
D C B A
