高中数学选修三综合测试题易错题集锦单选题1、某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45答案：C分析：基本事件总数n =C 11C 62=15，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数m =C 11C 21C 41+C 11C 22=9，由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率．某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等）， 在男生甲被选中的情况下，基本事件总数n =C 11C 62=15，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：m =C 11C 21C 41+C 11C 22=9，∴男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是p =m n=915=35．故选：C.2、为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的数据计算得K 2≈9.616.参照附表，下列结论正确的是（ ） 附表：” B ．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物无效” C ．有99％以上的把握认为“药物有效” D ．有99％以上的把握认为“药物无效” 答案：C分析：根据K 2与参考值比较，结合独立性检验的定义，即可判断；解：因为K 2≈9.616，即7.879<K 2<10.828，所以有99%以上的把握认为“药物有效”． 故选：C ．3、已知随机变量ξ的分布列如下：则D (ξ)的最大值为（ ）A ．136B ．118C ．16D ．13 答案：C分析：先根据概率分布列性质得m =13，进而求得E (ξ)=116−n ，再根据方差的计算公式得D (ξ)=−n 2+23n +118=−(n −13)2+16，最后结合二次函数性质即可得答案. 解:有题得m +n +2m −n =1，即m =13，所以E (ξ)=n +1.5×13+2×(23−n)=116−n ，故D(ξ)=(n −56)2×n +(n −13)2×13+(n +16)2×(23−n) =−n 2+23n +118=−(n −13)2+16， 因为n >0,23−n >0，故0<n <23，所以由二次函数性质得，当n =13，D(ξ)的最大值16.故选：C.4、从集合{3,5,7,9,11}中任取两个元素，①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？ 上面四个问题属于排列问题的是（ ） A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④ 答案：B分析：根据排列的定义，关键是确定选取的两个数有无顺序． ∵加法满足交换律，∴①不是排列问题； ∵除法不满足交换律，∴②是排列问题；若方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，故③不是排列问题；在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故④是排列问题． 故选：B ．5、有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ） A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立 C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立 答案：B分析：根据独立事件概率关系逐一判断 P(甲)=16，P(乙)=16，P(丙)=536，P(丁)=636=16， ， P(甲丙)=0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)=136=P(甲)P(丁)， P(乙丙)=136≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)=0≠P(丁)P(丙)， 故选：B小提示：判断事件A,B 是否独立，先计算对应概率，再判断P(A)P(B)=P(AB)是否成立 6、已知随机变量X 服从二项分布X ∼B (n,p )，若E (X )=54，D (X )=1516，则p =（ ）A ．14B ．13C ．34D ．45答案：A分析：由二项分布的均值和方差公式列方程组求解． 由题意{np =54np(1−p)=1516 ，解得{p =14n =5． 故选：A ．7、为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为34；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34，则他第2球投进的概率为（ ） A ．34B ．58 C ．716D ．916 答案：B分析：记事件A 为“第1球投进”，事件B 为“第2球投进”，由全概率公式可求得结果. 记事件A 为“第1球投进”，事件B 为“第2球投进”， P(B|A)=34，P(B|A )=14，P(A)=34，由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A )=(34)2+(14)2=58.故选：B.小提示：关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第1球与第2球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.8、北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（ ） A ．8B ．10C ．12D ．14 答案：A分析：分为三人组中包含小明和小李和不包含小明和小李两类，分别计算方案种数即可得结果. 由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，当三人组中包含小明和小李时，安装方案有C 31A 22=6种；当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有A 22=2种，共计有6+2=8种， 故选：A. 多选题9、下列等式中，正确的是（ ）A ．A n m +mA n m−1=A n+1mB ．rC n r=nC n−1r−1C ．C n+1m+1=C n m−1+C n−1m +C n−1m−1D ．C n m =m+1n−m C n m+1答案：ABD分析：选项A ， 选项B ， 选项D ，利用排列数公式和组合数公式的阶乘形式表示并整理即可说明；选项C ，由组合数性质还原化简即可判定. 选项A ，左边=n!(n−m )!+m ⋅n!(n−m+1)!=(n−m+1)⋅n!(n−m+1)!+m ⋅n!(n−m+1)!=(n+1)⋅n!(n−m+1)! =(n+1)!(n−m+1)!=右边，正确； 选项B ，右边=n ⋅(n−1)!(r−1)!⋅(n−1−r+1)!=r r⋅n!(r−1)!⋅(n−r )!=r ⋅n!r!⋅(n−r )!=左边，正确；选项C ，右边=C n m−1+C n m=C n+1m ≠左边，错误；选项D ，右边=m+1n−m⋅n!(m+1)!⋅(n−m−1)!=(m+1)⋅n!(m+1)⋅m!⋅(n−m )⋅(n−m−1)!=n!m!⋅(n−m )!=左边，正确.故选：ABD小提示：本题考查排列数公式和组合数公式的运算，还考查了组合数公式的性质，属于中档题. 10、下列说法中正确的是（ ）A ．设随机变量X 服从二项分布B(6,12)，则P(X =3)=516B ．已知随机变量X 服从正态分布N(2,σ2)且P(X <4)=0.9，则P(0<X <2)=0.4C ．E(2X +3)=2E(X)+3；D(2X +3)=2D(X)+3D ．已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=x ，P(ξ=1)=1−x ，若0<x <12，则E(ξ)随着x 的增大而减小，D(ξ)随着x 的增大而增大 答案：ABD分析：对于选项A,B,D 都可以通过计算证明它们是正确的；对于选项C,根据方差的性质，即可判断选项C . 对于选项A,设随机变量X ∼B (6,12)，则P (X =3)=C 63(12)3×(1−12)3=516，所以选项A 正确；对于选项B,因为随机变量ξ∼N (2,σ2)， 所以正态曲线的对称轴是x =2，因为P(X<4)=0.9，所以P(X<0)=0.1，所以P(0<X<2)=0.4，所以选项B正确；对于选项C,E(2X+3)=2E(X)+3，D(2X+3)=4D(X)，故选项C不正确；对于选项D,由题意可知，E(ξ)=1−x，D(ξ)=x(1−x)=−x2+x，由一次函数和二次函数的性质知，当0<x<1时，E(ξ)随着x的增大而减小，2D(ξ)随着x的增大而增大，故选项D正确.故选：ABD.小提示：本题主要考查二项分布和正态分布的应用，考查期望和方差的计算及其性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、下列命题中正确的是（）．A．标准差越小，则反映样本数据的离散程度越大B．在回归直线方程ŷ=−0.4x+3中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量ŷ减少0.4个单位C．对分类变量X与Y来说，它们的随机变量K2的值越小，“X与Y有关系”的把握程度越大D．在回归分析模型中，相关系数绝对值越大，说明线性模型的拟合效果越好答案：BD分析：A选项，标准差越小，则反映样本数据的离散程度越小，即可判断出A不正确；B选项，在回归直线方程ŷ=−0.4x+3中，当解释变量x每增加1个单位时，根据斜率的意义即可判断；C选项，对分类变量X与Y来说，它们的随机变量K2的观测值k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，即可判断；选项D，根据相关系数的意义即可判断.标准差越小，则反映样本数据的离散程度越小，因此A不正确；在回归直线方程ŷ=−0.4x+3中，当解释变量x每增加1个单位时，则预报变量y减少0.4个单位，B正确；对分类变量X与Y来说，它们的随机变量K2的观测值k越小，“X与Y有关系”的把握程度越小，因此C不正确；在回归分析模型中，相关系数绝对值越大，说明模型的拟合效果越好，D正确.故选：BD.填空题12、已知正整数n≥8，若(x−1)(1−x)n的展开式中不含x5的项，则n=______．x答案：10分析：根据(x−1)(1−x)n的展开式中不含x5的项列方程，结合组合数的性质求得n的值.x因为(1−x)n的展开式的通项为C n r(−1)r x r，所以(1−x)n展开式中x4的系数为C n4，x6的系数为C n6．又(x−1)(1−x)n=x(1−x)n−x−1(1−x)n，x所以若展开式中不含x5，则C n4=C n6，由组合数的性质以及n≥8，得n=10．所以答案是：1013、一个盒子里装有7个大小､形状完成相同的小球，其中红球4个，编号分别为1，2，3，4，黄球3个，编号分别为1，2，3，从盒子中任取4个小球，其中含有编号为3的不同取法有________种.答案：30解析：从反面考虑，总数为C74,不含有编号为3的总数为C54,即得解.从反面考虑，总数为C74,不含有编号为3的总数为C54,所以含有编号为3的总数为C74−C54=30.所以答案是：30.小提示：方法点睛：1 、排列组合问题的解题步骤：仔细审题→编程→列式→计算.2 、编程的一般方法一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.3 、解排列组合问题，要排组分清（有序排列，无序组合），加乘有序(分类加法，分步乘法).14、设随机事件A、B，已知P(A)=0.4，P(B|A)=0.3，P(B|A)=0.2，则P(B)=_____________．答案：0.24分析：根据条件概率的公式即可求解. ∵P (A )=0.4，∴P (A )=1−P (A )=1−0.4=0.6， 由条件概率公式得：P (BA )=P (A )P (B |A )=0.4×0.3=0.12；P (BA )=P (A )P (B |A )=0.6×0.2=0.12， 所以P (B )=P (BA )+P (BA )=0.12+0.12=0.24， 所以答案是：0.24. 解答题15、近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2015-2021年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2015-2021年）.经计算得∑y i 7i=1=259,∑t i 7i=1y i =1178,√7≈2.65，√∑(y i −y ̅)27i=1=27,∑(t i −t )7i=1(y i −y̅)=126.(1)用一元线性回归模型拟合y 与t 的关系，求出相关系数r （精确到0.01），并说明y 与t 相关性的强弱； (2)建立y 关于t 的回归直线方程；(3)若2023年该市某家庭总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出. 附：①相关系数r =i n i=1i √∑(t i −t )2i=1∑(y i −y̅)2i=1；②在回归直线方程y ̂=b ̂t +a ̂中，b ̂=∑(t i −t )ni=1(y i −y ̅)∑(t i−t )2n i=1,a ̂=y ̅−b ̂t .答案：(1)r xy ≈0.88，相关性很强； (2)y ̂=4.5t +19； (3)5.95万元.分析：（1）由公式计算相关系数并判断相关性即可； （2）由公式算b ̂，再由a ̂=y −b ̂t =∑y i 7i=17−b ̂t 算a ̂即可； （3）2023年对应的年份代码t =9，代入回归方程即可得到教育支出占比，即可预测2023年该家庭的教育支出（1）由题意得，t =17×(1+2+3+4+5+6+7)=4，则∑(t i −t)27i=1=(1−4)2+(2−4)2+(3−4)2+(4−4)2+(5−4)2+(6−4)2+(7−4)2=28，故√∑(t i −t)27i=1=2√7，故r xy =∑(t −t)(y −y )7i=1√∑(t i −t)2i=1∑(y i −y )27i=1=2√7×27≈0.88，∵|0.88|>0.8，∴y 与t 高度相关，即y 与t 的相关性很强．（2）根据题意，得b ̂=∑(t i −t)(y i −y )7i=1∑(t i −t)27i=1=12628=4.5， a ̂=y −b̂t =∑y i 7i=17−4.5×4=2597−18=19， ∴y 关于t 的回归直线方程为y ̂=4.5t +19．（3）2023年对应的年份代码t =9，当t =9时，y ̂=4.5×9+19=59.5， 故预测2023年该家庭的教育支出为10×59.5%=5.95（万元）．。
(名师选题)2023年人教版高中数学第一章集合与常用逻辑用语易错题集锦单选题1、已知x∈R，则“x≠0”是“x+|x|>0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要答案：B分析：由x+|x|>0可解得x>0，即可判断.由x+|x|>0可解得x>0，∵“x≠0”是“x>0”的必要不充分条件，故“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件.故选：B.2、下列结论中正确的个数是（）①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；②命题“∀x∈R,x2+1<0”是全称量词命题；③命题“∃x∈R,x2+2x+1≤0”的否定为“∀x∈R,x2+2x+1≤0”；④命题“a>b是ac2>bc2的必要条件”是真命题；A．0B．1C．2D．3答案：C分析：根据存在量词命题、全称量词命题的概念，命题的否定，必要条件的定义，分析选项，即可得答案. 对于①：命题“所有的四边形都是矩形”是全称量词命题，故①错误；对于②：命题“∀x∈R，x2+1<0”是全称量词命题；故②正确；对于③：命题p:∃x∈R,x2+2x+1≤0，则¬p:∀x∈R,x2+2x+1>0，故③错误；对于④：ac2>bc2可以推出a>b，所以a>b是ac2>bc2的必要条件，故④正确；所以正确的命题为②④，故选：C3、以下五个写法中：①{0}∈{0,1,2}；②∅⊆{1,2}；③∅∈{0}；④{0,1,2}={2,0,1}；⑤0∈∅；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：根据元素与集合以及集合与集合之间的关系表示方法作出判断即可.对于①：是集合与集合的关系，应该是{0}⊆{0,1,2}，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，∅⊆{1,2}，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，∅⊆{0}，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{0,1,2}={2,0,1}，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B．4、下列说法正确的是（）A．由1，2，3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}B．∅与{0}是同一个集合C．集合{x|y=x2−1}与集合{y|y=x2−1}是同一个集合D．集合{x|x2+5x+6=0}与集合{x2+5x+6=0}是同一个集合答案：A分析：根据集合的定义和性质逐项判断可得答案集合中的元素具有无序性，故A正确；∅是不含任何元素的集合，{0}是含有一个元素0的集合，故B错误；集合{x|y=x2−1}=R，集合{y|y=x2−1}={y|y≥−1}，故C错误；集合{x|x2+5x+6=0}={x|(x+2)(x+3)=0}中有两个元素−2,−3，集合{x2+5x+6=0}中只有一个元素，为方程x2+5x+6=0，故D错误.故选：A.5、下列关系中，正确的是（）A．√3∈N B．14∈Z C．0∈{0}D．12∉Q答案：C分析：根据元素与集合的关系求解.根据常见的数集，元素与集合的关系可知，√3∈N，14∈Z，12∉Q不正确，故选：C6、已知命题p:∃x∈(−1,3)，x2−a−2≤0.若p为假命题，则a的取值范围为（）A．(−∞,−2)B．(−∞,−1)C．(−∞,7)D．(−∞,0)答案：A解析：由题可得命题p的否定为真命题，即可由此求解.∵p为假命题，∴¬p:∀x∈(−1,3)，x2−a−2>0为真命题，故a<x2−2恒成立，∵y=x2−2在x∈(−1,3)的最小值为−2，∴a<−2.故选：A.7、下列各式中关系符号运用正确的是（）A．1⊆{0,1,2}B．∅⊄{0,1,2}C．∅⊆{2,0,1}D．{1}∈{0,1,2}答案：C分析：根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.故选：C.8、2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：C分析：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．9、设全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,2},B={x∣x2−4x+3=0}，则∁U(A∪B)=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}答案：D分析：解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.由题意，B={x|x2−4x+3=0}={1,3}，所以A∪B={−1,1,2,3},所以∁U(A∪B)={−2,0}.故选：D.10、下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是（）A．(∁U A)∩BB．∁B(A∩B)C．∁U(A∩(∁U B))D．∁A∪B A答案：C分析：根据韦恩图，分U为全集，B为全集，A∪B为全集时，讨论求解.由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，即(∁U A)∩B当B为全集时，阴影部分表示A∩B的补集，即∁B(A∩B)当A∪B为全集时，阴影部分表示A的补集，即∁A∪B A故选：C11、对与任意集合A，下列各式①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：C分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.易知①∅∈{∅}，②A∩A=A，③A∪∅=A，正确④N∈R，不正确，应该是N⊆R故选：C.12、设集合A={x|x2=1},B={x|ax=1}．若A∩B=B，则实数a的值为（）A．1B．−1C．1或−1D．0或1或−1答案：D分析：对a进行分类讨论，结合B⊆A求得a的值.由题可得A={x|x2=1}={1,−1}，B⊆A，当a=0时，B=∅，满足B⊆A；当a≠0时，B={1a }，则1a=1或1a=−1，即a=±1.综上所述，a=0或a=±1.故选：D.双空题13、设集合A={x∈R|0<x<2},B={x∈R||x|<1}，则A∩B=_____，(∁R A)∪B= ___.答案：{x|0<x<1}{x|x<1或x≥2}分析：先求出集合B，然后进行集合运算即可.由题意：B={x∈R||x|<1}={x|−1<x<1}，因为A={x∈R|0<x<2}，所以A∩B={x|0<x<1}，∁R A={x|x≤0或x≥2}，所以(∁R A)∪B={x|x<1或x≥2}所以答案是：{x|0<x<1}；{x|x<1或x≥2}小提示：此题考查集合的交并补运算，考查了绝对值不等式，属于基础题.14、设集合A={−1,0}B={t|t=y−x,x∈A且y∈A}则用列举法表示集合B=____________;A∩B =__________.答案： {−1，0，1} {−1,0}分析：根据A 中的元素，以及t =y -x 确定出B 中元素；根据交集的运算规则计算A ∩B 即可．t =y −x ，x ∈A 且y ∈A ，则x =-1，y =-1时t =0；x =-1，y =0时t =1；x =0，y =-1时t =-1；x =0，y =0时t =0；B ={−1,0,1}，A ∩B ={−1,0}.所以答案是：{−1，0，1}；{−1,0}15、A n ={x|2n <x <2n+1,x =3m,m ∈N}，若|A n |表示集合A n 中元素的个数，则|A 5|=_______，则|A 1|+|A 2|+|A 3|+...+|A 10|=_______．答案： 11 682分析：解不等式25<3m <26可得|A 5|=11，再考虑2113的整数部分，从而|A 1|+|A 2|+|A 3|+...+|A 10|的值. 当n =5时，25<3m <26，故323<m <643，即11≤m ≤21，|A 5|=11， 由于2n 不能整除3，且2113=68223，故从21到211，3的倍数共有682个，|A 1|+|A 2|+|A 3|+...+|A 10|=682.所以答案是：11，682.16、已知集合M ，对于它的非空子集A ，将A 中每个元素k 都乘以(−1)k 后再求和，称为A 的“元素特征和”. 比如∶A ={4}的“元素特征和”为(−1)k ×4=4，A ={1，2，5} 的“元素特征和”为(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)5×5=-4，那么： （平行班）集合M ={1,2,3,4,5}的所有非空子集的"元素特征和"的总和为_______（实验班）集合M ={1,2,⋅⋅⋅,n -1,n}的所有非空子集的“元素特征和”的总和为_______答案： -48 (-1)n [n +1-(-1)n 2]⋅2n -2分析：根据集合元素个数可确定非空子集个数，并得到每个元素出现的次数，按照已知中的运算即得.因为M={1,2,3,4,5}的所有非空子集共有25-1个，所以每个元素1,2,3,4,5在集合M的所有非空子集中都出现24次，所以所有非空子集的"元素特征和"的总和为：24×[(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)4×4+(-1)5×5]=-48；因为M={1,2,⋅⋅⋅,n-1,n}的所有非空子集共有2n-1个，每个元素在集合M的所有非空子集中都出现2n-1次，所以所有非空子集的"元素特征和"的总和为：[-1+2-3+4-⋅⋅⋅+(-1)n n]⋅2n-1=[(-1+2)+(-3+4)+⋅⋅⋅]⋅2n-1={n2⋅2n-1,n为偶数-n-1 2⋅2n-1,n为奇数，即为(-1)n[n+1-(-1)n2]⋅2n-2.所以答案是：-48；(-1)n[n+1-(-1)n2]⋅2n-2.小提示：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.17、已知全集U={2,3,5}，集合A={x|x2+bx+c=0}，若∁U A={2}，则b=_______，c=_______．答案：−8 15分析：根据补集的结果推出集合A，可知方程x2+bx+c=0的两个实数根为3和5，利用根与系数的关系即可求得b、c.∵∁U A={2}，∴A={3,5}，∴方程x2+bx+c=0的两个实数根为3和5，∴b=−(3+5)=−8,c=3×5=15．所以答案是：−8；15小提示：本题考查集合补集的概念、一元二次方程，属于基础题.解答题18、已知m >0,p:(x +1)(x −5)≤0,q:1−m ≤x ≤1+m .（1）若m =5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.答案：（1）{x|−4≤x <−1或5<x ≤6}；（2）[4,+∞).分析：（1）由“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，可得p 与q 一真一假，然后分p 真q 假，p 假q 真，求解即可；（2）由p 是q 的充分条件，可得[−1,5]⊆[1−m,1+m]，则有{m >01−m ≤−11+m ≥5，从而可求出实数m 的取值范围（1）当m =5时，q:−4≤x ≤6，因为“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，故p 与q 一真一假，若p 真q 假，则{−1≤x ≤5x <−4或x >6，该不等式组无解； 若p 假q 真，则{x <−1或x >5−4≤x ≤6，得−4≤x <−1或5<x ≤6， 综上所述，实数的取值范围为{x|−4≤x <−1或5<x ≤6}；（2）因为p 是q 的充分条件，故[−1,5]⊆[1−m,1+m]，故{m >01−m ≤−11+m ≥5，得m ≥4，故实数m 的取值范围为[4,+∞).19、已知集合A ={x|x =m +√6n,其中m,n ∈Q}．(1)试分别判断x 1=−√6，x 2=√2−√3√2+√3与集合A 的关系；(2)若x 1，x 2∈A ，则x 1x 2是否一定为集合A 的元素？请说明你的理由．答案：(1)x 1∈A ，x 2∈A(2)x 1x 2∈A ，理由见解析分析：（1）将x 1，x 2化简，并判断是否可以化为m +√6n ，m,n ∈Q 的形式即可判断关系.（2）由题设，令x 1=m 1+√6n 1，x 2=m 2+√6n 2，进而判断是否有x 1x 2=m +√6n ，m,n ∈Q 的形式即可判断.(1)x1=−√6=0+√6×(−1)∈A，即m=0,n=−1符合；x2=√(√3−1)22√(√3+1)22=√6=0+√6×1∈A，即m=0,n=1符合.(2)x1x2∈A．理由如下：由x1，x2∈A知：存在m1，m2，n1，n2∈Q，使得x1=m1+√6n1，x2=m2+√6n2，∴x1x2=(m1+√6n1)(m2+√6n2)=(m1m2+6n1n2)+√6(m1n2+m2n1)，其中m1m2+6n1n2，m1n2+ m2n1∈Q，∴x1x2∈A.20、已知p:{x|{x+2≥0x−10≤0}，q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．（1）若m＝1，则p是q的什么条件？（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．答案：（1）p是q的必要不充分条件；（2）m∈[9，＋∞)．分析：（1）分别求出p、q对应的集合，根据集合间的关系即可得出答案；（2）根据p是q的充分不必要条件，则p对应的集合是q对应的集合的真子集，列出不等式组，解得即可得出答案.(1)因为p:{x|{x+2≥0x−10≤0}＝{x|－2≤x≤10}，若m＝1，则q：{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}＝{x|0≤x≤2}，显然{x|0≤x≤2}⊂≠{x|－2≤x≤10}，所以p是q的必要不充分条件．(2)由(1)，知p：{x|－2≤x≤10}，因为p是q的充分不必要条件，所以{x∣−2≤x≤10}⊂≠{x∣1−m≤x≤1+m}，所以{m>01−m≤−21+m≥10，且1−m≤−2和1+m≥10不同时取等号，解得m≥9，即m∈[9，＋∞)．。
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32， 故选：D ．3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19， 所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C. 小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C7、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.8、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值可以是（）A．－4B．－2C．2D．3答案：AB分析：根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[0,1]，当1≤x≤2时，2+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[2+a,4+a]，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅，若[2+a,4+a]∩[0,1]=∅，则2+a>1或4+a<0，解得a>−1或a<−4.所以当[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为−4≤a≤−1.故选：AB10、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD ．11、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD填空题12、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)13、解指数方程2x+3=3x 2−9：__________.答案：x =−3或x =3+log 32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x +3=0和x +3≠0，解出方程即可. 由2x+3=3x2−9得log 32x+3=log 33x 2−9，即(x +3)log 32=(x −3)(x +3)，当x +3=0即x =−3时，0=0显然成立；当x +3≠0时，log 32=x −3，解得x =log 32+3；故方程的解为：x =−3或x =3+log 32. 所以答案是：x =−3或x =3+log 32.14、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.解答题15、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点． 答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾， 从而知两函数图象仅有一个公共点．。
(名师选题)部编版高中数学必修二第七章复数带答案易错题集锦单选题+i是实数，则|z|的最小值为（）1、已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数z1+iC．5D．√2A．0B．52=（）2、3+i1−3iA．1B．−1C．i D．−i为纯虚数，则实数a=（）3、已知i是虚数单位，若z=i+a1+iA．1B．−1C．2D．−2，所得向量对应的复数是()4、在复平面内，把复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3A．2√3B．−2√3i C．√3−3i D．3+√3i5、设(−1+2i)x=y−1−6i，x,y∈R，则|x−yi|=（）A．6B．5C．4D．36、已知复数z1=2与z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，则z1z2=（）1+iA．−4i B．−2i C．2i D．4i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（）7、已知复数z=2−i20171+iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8、设(1+i)x=1+y i，其中i为虚数单位，x,y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．√2C．√3D．2多选题9、设z为复数，则下列命题中正确的是（）A．|z|2=zz̅B．z2＝|z|2C．若|z|＝1，则|z+i|的最大值为2D ．若|z ﹣1|＝1，则0≤|z |≤210、已知复数z 0=1+2i （i 为虚数单位）在复平面内对应的点为P 0，复数z 满足|z −1|=|z −i|，下列结论正确的是（ ）A ．P 0点的坐标为(1,2)B ．复数z 0的共轭复数对应的点与点P 0关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．P 0与z 对应的点Z 间的距离的最小值为√22 11、设z (1−i )=2+i ，则下列叙述中正确的是（ ） A ．z 的虚部为−32B ．z =12−32i C ．∣z ∣=√102D ．在复平面内，复数z 对应的点位于第四象限 填空题12、若复数m −3+(m 2−9)i ≥0，则实数m 的值为________. 13、已知复数z 满足z (1−i )=(1+i )2，则z =___________.部编版高中数学必修二第七章复数带答案(二十二)参考答案1、答案：D分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x =y +2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出. 解：∵复数z1+i +i =(x+yi)(1−i)(1+i)(1−i)+i =x+y+(y−x+2)i2是实数y −x +2=0故x =y +2|z|=√x 2+y 2=√(y +2)2+y 2=√2y 2+4y +4=√2(y +1)2+2≥√2当且仅当y =−1,x =1时取等号 |z|的最小值为√2 故选：D 2、答案：C解析：根据复数运算将分之分母同乘以1+3i ，化简即可得出答案. 解：3+i1−3i =(3+i )(1+3i )(1−3i )(1+3i )=3+3i 2+10i10=3−3+10i 10=i .故选：C.小提示：复数乘除法运算技巧：（1）复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算．（2）复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数． 3、答案：B分析：由复数除法法则化简复数为代数形式，然后由复数的定义求解． 因为z =i +a1+i =(a+i )(1−i )(1+i )(1−i )=a−a i +i −i 22=a+12+1−a 2i 为纯虚数，所以{a+12=01−a2≠0，a =−1．故选：B ． 4、答案：B分析：由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．解：∵由题意知复数3−√3i 对应的向量按顺时针方向旋转π3， ∴旋转后的向量为(3−√3i )[cos(−π3)+i sin(−π3)]=(3−√3i )(12−√3i2)=32−3√3i2−√3i 2+3i 22=−2√3i ．故选：B ． 5、答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可.因为(−1+2i)x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1 ，解得{x =−3y =4，所以|x −yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5. 故选：B. 6、答案：C分析：利用复数的除法运算法则化简复数z 1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y =x 对称的点，得到复数z 2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z 1z 2．因为z 1=21+i =2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i ，所以复数z 1在复平面内对应的点为(1,−1)， 其关于直线y =x 对称的点为(−1,1)，所以z 2=−1+i ， 所以z 1z 2=(1−i )(−1+i )=2i ， 故选：C ． 7、答案：A分析：根据复数的运算，求得复数z ，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案． 复数z =2−i 20171+i =2−i 1+i =(2−i )(1−i )(1−i )(1+i )=1−3i 2=12−32i ，则z =12+32i所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为(12,32)，位于复平面内的第一象限.故选：A8、答案：B分析：先利用复数相等求得x，y，再利用复数的模公式求解. 因为(1+i)x=1+y i，所以{x=1y=x，解得{x=1y=1，所以|x+y i|=√x2+y2=√2.故选：B.9、答案：ACD分析：根据复数的运算法则，以及其几何意义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.设z=x+yi(x,y∈R)，则z̅=x−yi，对A：|z|2=x2+y2=(x+yi)(x−yi)=zz̅，故A正确；对B：z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi≠x2+y2=|z|2，故B错误；对C：若|z|=1，则该复数对应点为以原点为圆心，半径为1的圆上的点，而|z+i|表示复数z对应点到(0,−1)的距离，故当且仅当z对应点为(0,1)时，取得最大值2，故C正确；对D：若|z−1|=1，其表示复数z对应的点是以(1,0)为圆心，1为半径的圆上的点，又|z|表示复数z对应点到原点的距离，显然|z|∈[0,2]，故D正确.故选：ACD.10、答案：ACD解析：根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出z，利用|z−1|=|z−i|，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C选项的分析，由点到直线的距离公式判断D选项的正确性.复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z=x+yi(x,y∈R)，代入|z−1|=|z−i|，得|(x−1)+yi|=|x+(y−1)i|，即√(x−1)2+y2=√x2+(y−1)2，整理得，y=x；即Z点在直线y=x上，C正确；易知点P 0到直线y =x 的垂线段的长度即为P 0、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为√2=√22，故D 正确.故选：ACD小提示：本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题. 11、答案：BC分析：先根据复数的除法法则求得z 值，再根据复数的概念求出复数的虚部、共轭复数、模，再根据复数的几何意义判定选项D 错误. 由z (1−i )=2+i ，得z =2+i 1−i=(2+i )(1+i )(1−i )(1+i )=1+3i 2=12+32i ，则：z 的虚部为32，即选项A 错误； z =12−32i ，即选项B 正确； |z|=√(12)2+(32)2=√102，即选项C 正确；复数z 对应的点(12,32)位于第一象限，即选项D 错误. 故选：BC. 12、答案：3分析：由题意知m −3+(m 2−9)i 为实数，实部大于或等于0，虚部等于0，即可求解. 因为复数不能比较大小，所以m −3+(m 2−9)i 为实数， 可得{m −3≥0m 2−9=0 解得m =3所以实数m 的值为3， 所以答案是：3 13、答案：−1+i##i-1分析：利用复数的运算进行化简即可．z (1−i )=(1+i )2=2i ，则z =2i1−i =2i (1+i )(1−i )(1+i )=i −1， 所以答案是：−1+i。
