电路分析基础--拉普拉斯变换

2021/9/6
2
11.1 拉普拉斯变换
• 单边拉普拉斯变换
对于因果信号， F (s) f (t) es tdt 0 记 F(s) = L [ f (t)]
称为单边拉普拉斯变换或拉普拉斯变换。
f (t) 1 j F (s) es tds
2 j j
记 f (t) = L -1[F(s)]
t 0
称为单边拉氏反变换或拉氏反变换。简记：f (t)F(s)
2021/9/6
33
冲激函数
• 冲激函数的定义
(t
)
0, ,
t0 t0
( )d 1
1 p(t)
(t)
1
1
(1)
2
2
2
0
2
2
2
t
t
0
• 冲激函数和阶跃函数的关系
(t) d (t)
dt
t
(t) ( )d
例 11-3(b) 矩形波 f (t)=A[(t)- (t-T)]
应用延迟性质:
f (t) A
0
T
F (s) A A esT A (1 esT )
ss
s
t
2021/9/6
88
拉普拉斯变换的性质: 微分性质
df (t) dt
sF (s)
f
(0 )
• 例 11-4 求图示波形的拉普拉斯变换
F(s)
(s
K1 p1)3
(s
K2 p1)2
s
K3 p1
K1 (s p1)3 F (s) s p1
K2
d ds
[(s
p1)3 F (s)]
s p1
K3
1 2

第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的4.5 用拉普拉斯变换法分析电§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型用拉氏变换法分析电路的步骤§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型二．微分方程的拉氏变换天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型t E <天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型 ⎛E 1天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型v R 0(,0+天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型t v (d 对微分方程两边取拉氏变换天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型（采用0+系统）天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型域模型分析电路天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University13§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型t <天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型⎫⎛E 12天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型闭合，接入直流时开关下图所示电路起始状态S 天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型()Css RI +1)(p p Ee -R 较小，高天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型ωα=天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型(天津医科大学生物医学工程学院School of Biomedical Engineering, Tianjin Medical University§4.5 用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型0=α。

（1）根据换路前电路的工作状态，计算电感电流初始值 和电容电压初始值 ；
（2）作出换路以后复频域的等效电路，即运算电路（注意附加电源的值和方向）；
（3）应用线性网络一般分析方法（结点法、回路法、支路法、电路定理、等效变换等）列写运算形式的电路方程，求出响应的象函数 或 等；
（4）用部分分式展开法对象函数取反变换，求出时域响应 或 等。
2．正确地画出复频域等效电路模型。注意附加电源的大小和方向，注意一些常见信号的象函数的记忆。
3．正确地计算出响应的象函数。在求解象函数时，由于复频率 是以符号形式存在，在复频域求解响应的过程有时比较繁琐，这是该方法的不足之处。
13．3典型例题
13．3．1拉普拉斯变换的定义及性质
例13-1已知 如图13-1所示，求其拉氏变换的象函数。
本题中周期为 ，于是得到
例13-4求 的拉氏变换式。
解题指导：任意函数与 的乘积的象函数的求解可利用拉普拉斯变换的频移特性。
解应用频移特性，先求
所以：
13．3．2拉普拉斯反变换
例13-5已知下列象函数 。导：仅含有两个单实根的情况。
（2）解题指导：包含了两个重根的情况。
13．2重点、难点分析
13．2．1本章重点
拉普拉斯变换的核心问题是把以 为变量的时间函数 与以复频率 为变量的复变函数 联系起来，也就是把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作相反的变换，就得到待求的时间函数。所以，本章重点为：
为一对共轭复数，设 ， ，
则
13．1．4线性动态电路的拉氏变换分析法——运算法（即复频域分析法）
1．元件的伏安关系及运算电路如表13-2所示附表13-2。

第四章 拉普拉斯变换分析1．拉普拉斯收敛域的意义是什么？拉普拉斯变换定义为：()()st X s x t e dt ∞--∞=⎰ 是广义积分，其中变量s j σω=+是复变量，因而积分是否存在将取决于变量s ， 那么使得广义积分存在的s 的值所组成的集合就是拉氏变换的定义域。

这说明，拉氏变换的收敛域确定了拉氏变换存在范围。

收敛域不同，说明信号不同。

对于单边拉变换来说，其收敛域的一般形式为0σσ>。

2．极点和零点的意义是什么？它们有什么作用？如果 l i m ()s pX s →=∞， 则称s p =是()X s 的极点； 如果 l i m ()0s zX s →=， 则称s z =是()X s 的零点。

极点的位置决定了信号波形变化参数，如单调性（增长或衰减）和振荡快慢（频率）；而零点确定了信号波形的不变参数，如振幅和初相位。

3．拉普拉斯变换的初值定理和终值定理的应用条件是什么？拉普拉斯变换的初值定理为：若 () (f t F s ↔， 且()f t 连续可导 则 0l i m ()(0)l i m ()s t f t f s F s ++→∞→== 其应用的条件为()F s 必须是有理真分式； 如果不是，则必须利用长除法，将()F s 表示为 ： 0()()()F s B s F s =+ 其中，B (s )是s 的多项式，0()F s 是有理真分式。

则有000lim ()(0)(0)lim ()s t f t f f sF s +++→∞→=== 拉普拉斯变换的终值定理为：若 () (f t F s ↔， 且()f t 连续可导 则 0l i m ()()l i m ()t s f t f sFs →∞→=∞=由于我们只讨论单边拉氏变换，因而其应用的条件为()F s 的极点必须全部在s 平面的左半平面，否则，其终值不存在。

4．如何获得电容或电感元件的等效电路？根据电容和电感的伏安特性以及拉氏变换的微分积分性质，可以很方便地获得两种元件的s 域等效电路。