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第二十五章概率初步单元复习

一、知识框图

二、知识要点梳理

(一)概率的有关概念：

1.必然事件： 在一定条件下，有些事件 ，这样的事件称为必然事件.

2.不可能事件： 在一定条件下，有些事件 发生，这样的事件称为不可能事件.

3.确定事件： 统称确定事件。

4．随机事件：在一定条件下，有些事件 事件，称为随机事件。

5.不确定事件：许多事情我们无法确定它 ，这些事情称为不确定事件.

6.概率的定义：对于一个随机事件A，我们把刻画 数值，称为随机事件A发生的概率

(二)概率的计算：

（1）理论计算：分为如下两种情况

第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，第二种：通过列表法、列举法树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，

（2）实验估算：分为如下两种情况

第一种：利用实验的方法进行概率估算.当实验次数非常大时，实验频率可作为估计事件发生的概率，即大量实验频率稳定于理论概率.第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算.

归纳：1.概率的特点：（1）.一次试验中，可能出现的结果有限多个；

（2）.一次试验中，各种结果发生的可能性相等.

2.不可能事件发生的概率为 ，即P(不可能事件)= ；必然事件发生的概率为 ，即P(必然事件)= ；如果A为不确定事件，那么0

经典例题透析

类型一：随机事件

1．选择题：4个红球、3个白球和2个黑球放入一个不透明袋子里，从中摸出8个球，恰好红球、白球、黑球都摸到，这件事情( )

A.可能发生 B.不可能发生 C.很可能发生 D.必然发生

2.下列事件是必然事件的是( )

A.中秋节晚上能看到月亮 B.今天考试小明能得满分

C.早晨太阳会从东方升起 D.明天气温会升高

3.在100张奖券中，有4张中奖.某人从中任意抽取1张，则他中奖的概率是( )

A.125 B.14 C.1100 D.120

类型二：概率的意义：

1．有如下事件，其中“前100个正整数”是指把正整数按从小到大的顺序排列后的前面100个.

事件1：在前100个正整数中随意选取一个数，不大于50；

事件2：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好为偶数；

事件3：在前100个正整数中随意选取一个数，它的2倍仍在前100个正整数中；

事件4：在前100个正整数中随意选取一个数，恰好是3的倍数或5的倍数.

在这几个事件中，发生的概率恰好等于12的有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.口袋中放有3个红球和11个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中任取一只球，取到黄球的概率是________.

3.从两副拿掉大、小王的扑克牌中，各抽取一张，两张牌都是红桃的概率是________.

类型三：概率的计算

1.列表法

1．有两只口袋，第一只口袋中装有红、黄、蓝三个球，第二只口袋中装有红、黄、蓝、白四个球，求分别从两只口袋中各取一个球，两个球都是黄球的概率.

2.两个人做游戏，每个人都在纸上随机写一个-2到2之间的整数(包括-2和2)，将两人写的整数相加，和的绝对值是1的概率是多少?

2.树形图法

1．将分别标有数字1、2、3的三张卡片洗匀后.背而朝上放在桌面上. (1)随机地抽取一张，求P(奇数)；(2)随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回)，再抽取一张作为个位上数字，能组成哪些两位数？恰好是“32”的概率为多少？

2.两名同学玩“石头、剪子、布”的游戏，假定两人都是等可能地取“石头、剪子、布”三个中的一个，那么一个回合不能决定胜负的概率是多少？

3.用频率估计概率

1．某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：

(1)计算表中各次比赛进球的频率；

(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？

类型四：概率的思想方法

1．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下试验估计口袋中白球的个数.从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回袋中，不断重复上述试验过程，试验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球.

2．王老汉为了与顾客签订购销合同，对自己鱼塘中鱼的总质量进进了估计，第一次捞出100条，称得质量为184千克.并将每条鱼做上记号后放入水中，当它们完全混合于鱼群后，又捞出200条，称得质量为416千克，且带有记号的鱼有20条，王老汉的鱼塘中估计有多少条鱼？总质量是多少千克？

类型五：概率的综合应用

1．有5条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从中任取3条线段.

(1)一定能构成三角形吗？ (2)猜想一下，能构成三角形的机会有多大？

(3)请设计一种模拟方案.

.

2.某口袋中有红色、黄色、蓝色乒乓球共72个，亮亮通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球、蓝球的频率分别为35%、25%和40%，试估计口袋中3种乒乓球的数目.

3.某校三个年级在校学生共796名，学生的出生月份统计如图所示，根据下列统计图的数据回答以下问题.

(1)出生人数超过60人的月份有哪些？

(2)出生人数最多的是几月份？

(3)在这些学生中，至少有两个人生日在10月5日是不可能的，还是可能的？还是必然的？

(4)如果你随机地遇到这些学生中的一位，那么这位学生生日在哪一个月份的概率最小？

投篮次数n 8 10 12 9 16 10

进球次数m 6 8 9 7 12 7

进球频率nm

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概率论与数理统计(经管类)第四章课后习题答案word档

概率论与数理统计(经管类)第四章课后习题答案word档

3. 设轮船横向摇摆的随机振幅X的概率密度为

f(x)=b。迅 χ>6 (0, X ≤ 0.

求 E(X).

+ oo X2

解:E(X) =匸]xf(x)dx =齐J)OoX∙ e ≡^dx = 1

4. 设X1, X2,…Xn独立同分布,均值为U,且设Y = Xi,求E(Y).

解:E(Y) = EGJXIXi) = ^E(∑jl1Xj) = nμ = μ

5. 设(X,Y)的概率密度为

(e^y, 0 ≤x ≤ l,y > 0,

f(X^y) = I 0,其他

求 E(X+Y).

解:E(X + Y)=亡 U(X + y)f(x, y)dxdy = Jm(X + y)Qdxdy =VOoJ, θ^y + Y * θ^ydY = \习题4・1

1.设随机变量X的概率密度为

(2×, O ≤ X ≤ 1, I .

(l)f(x) = I O 其他 (2)f(x) =-e lx,, -oo<%< +

求 E(X)

X3 1

- 0 解:(I)E(X) = J二 xf(x)dx X ∙ 2xdx = 2 ・却

⑵ E(X) = J二 Xf(X)dx = D ∙∣e^lxl = 0

2.设连续型随机变量X的分布函数为

( O1 X < -1,

F(X) = ]a + b ∙ arcsinxl -1 ≤ x < 1,

( 1, X > 1.

试确定常数a,b,并求E(X).

解： :arcsinx的导数为「

;

: √ΓΣXΣ ；

； 1 !

:arctanx的导数为 T ;

• √1 +x2 : (1) f(×) = F'(x)= 7⅛,-ι≤xvi

0,其他

+8 Γ1 b

f(x)dx = r dx = b ∙ arcsinx g λ1√1^2 1 =bπ= 1,即 b = ^ —1 π

又因当一 ISXV 1时

F(X) = ∫ f(x)dx =

⑵ E(X) = J二 Xf(X)dx = £ J ・ √⅛ = 0 Γx 1 1 1 ----- dx = 一 ∙ arcsinx

-ι∏ √1 -x2 H XI =ZarCSinX + M 即 a=；

—1 R 2 2 6.设随机变量Xb X2相互独立,且XIZ X2的概率密度分别为

且E(X)=O.75,求常数C和α.

解:E(X)=仁7 Xf(X)血= JOI X ∙ CXadX = 0.75 fι W = { 2e"2x, X > 0,

0, X ≤ 0,

f2(χ) = { 3e"3x,

0, X > 0,

X ≤ O1 ;该题服从描数分布"

I I

求：(1)E(2X1 + 3X2); (2)E(2X1 - 3X22); (3)E(X1X2). 解：

(1) E(2X1 + 3X2) = 2E(X1) + 3E(X2) = 2*i÷3*i=2 2 3

(2) E(2X1 - 3X22)=

=2E(XI)-3E(X22)

r +8

I X2 3e^3xdx

0 r+x

I X2 d(e~3x)]

JO = 1-3*

=1 - 3 * [-

=1 - 3 * [-X2 ∙ e"3x

=1 - 3 * [0 + r+o° 'e-3x

0 + oo

0

+ 8

e-3x ∙ 2x dx] rO

=1 — 3 * [∣ J e-3x ∙ 3x dx]

2 1 =1 — 3 * — * — 3 3

(3) E(X1X2) = E(X1)E(X2) = ∣*i = ⅛

X

O 1 2

1 0.1 0.2 0.1

2 0.3 0.1 0.2

解:E(X) = ∑i ∑j XiPij = 0 * 0.1 ÷ 0 * 0.3 ÷ 1 * 0.2 + 1 * 0.1 + *0.1÷2* 0.2 = 0.9

8.设随机变量X的概率密度为 7.己知二维随机变量(X,Y)的分布律为

求

E(X).

0 ≤ X ≤ 1,

其他. 习题4・2

1.设离散型随机变最X的分布律为

X -1 0 0.5 1 2

P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2

求 E(X), E(X2)1 D(X)・

解：E(X) = (-1) *0.1 + 0* 0.5 ÷ 0.5 *0.1+ 1*0.1+2 * 0.2 = 0.45

E(X2) = (-1)2 *0.1 + 0* 0.5 + (0.5)2 * 0.1 + I2 * 0.1 + 22 * 0.2 = 1.025

D(X) = (一1 一 0.45)2 * 0.1 + (0 - 0.45)2 * 0.5 + (0.5 一 0.45)2 * 0.1 + (1 - 0.45)2 * 0.1 + (2 - 0.45)2 *

0.2 = 0.8225

2. 盒中有5个球,其中有3个白球,2个黑球,从中任取两个球,求白球数X的期望和方差. 解:X的可能取值为0,1,2

注总此处不可以用二项分布式： I

P{X =k} = C⅛kqn^k ；

E(X) = 0 * 0.1 + 1 * 0.6 + 2 * 0.3 = 1.2

D(X) = (O- 1.2)2 * 0.1 + (1 - 1.2)2 * 0.6 + (2 — 1.2)2 * 0.3 = 0.144 + 0.024 + 0.192 = 0.36

3. 设随机变量X,Y相互独立,他们的概率密度分别为

求 D(X+Y).

1 (-—0)2 49

解:D(X + Y) = D(X) + D(Y)=亦 + 旨=涪

4. 设随机变量X的概率密度为

且 E(X)=O.5FD(X)=0.15.求常数 afb,c. 解：P{x = o} = I = 0.1

2e"2xf X > 0,

O1 X ≤ O1 fγ(y) = P 0

0,其他，

fχ(x) = ie^∣x∣,-∞ < X < +∞,

求 D(X)

解:E(X) = -IXIdX = 0 ；此为奇函数,故=O

E(X2)= ^e-WdX = 2 Γ ^e-X -8 2 Loo 2 打二夕小正负无:

+∞ 2 —X I ■ x e =:穷带入结果都一样,故： •8 I

D(X)=E(X2)- [E(X)]2 = 2 设随机变量X与Y相互独立,且D(X)JD(Yr2,求D(X-Y).

解：D(X -Y) = D(X) + D(Y) =1 + 2 = 3

6.若连续型随机变量X的概率密度为

ax2 + bx + cl 0 < X < 1, 0, 其他， 5.

f(x)= I =2∫+°∙^e-× J —OO 2 P{X=2} = ∣∣ = 1

E(XY) = J [J *(x + y)dy]dx = J

4 7 7 1 Cov(X, Y) = E(XY) 一 E(X)E(Y) = —

3.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

Cf 、 fye^(X+y), x>0,y>0,

3珂0,其他

求X与Y的相关系数pxy∙

解：

r+o° r+o°

=I ( I χyθ^(χ+y)dy)dx =

Jo丿O

E(Y) y2e^(χ+Y) dx)dy E(X) f1 7 a =I x(ax ÷ bx ÷ c) dx = - ÷ 丿0 b C

尹厂0・5

1 a b C E(X2) = I x2(ax2 + bx + c)dx = -÷-÷- = 0.15 + (0.5)2 = 0.4 丿 O S 4β d

r+∞ r i a b I f(x)cix = I (ax2 ÷ bx ÷ c)dx = ^∙÷^∙÷ c = 1 J-∞ JO 3 /

解得 a=12,b=-12,c=3.

习题4・3

1. 设两个随机变最XZY相互独立,方差分别为4和2,则随机变量3X-2Y的方差是 _

A. 8 B. 16 C. 28 D. 44

2. 设二维随机变S(XzY)的概率密度为

1

§(X + y), 0 ≤ X ≤ 2,0 ≤ y

0,其他 求 COV(X,Y).

解： + 8

(a + b + cx)dx

-8

E(X) = JQq ∣(χ + y)dy]dx = r2 X2 __

'0⅛∙y + 8,

E(Y) = [Q》x + y)dx|dy =右

E(X) =(a∙x + b∙x+c∙

e_y ∙ y dy = 2

r+ o° r + o°

E(XY) = I (I xy2e_(x+y)dy)dx = 2 JO丿O

COV(XlY) = E(XY) 一 E(X)E(Y) = 2-2*1 =0

4. 设二维随机变M(XzY)HK从二维正态分布卫 E(X)=Oj E(Y)=O, D(X)=I6, D(Y)=25, COV(XZY)=12,求(X”)的联合概 率密度函数f(x,y).

解：

--------- 1 e~Ξ(I⅛{⅛^

2πσιθ2√ 1—p2

∙∙∙ E(X) = Ol E(Y) = 0

∙*∙ AI = 0,旳=θ*

・・・ D(X) = 16, D(Y) = 25

・•・ σ1 = 4, σ2 = 5

・・・ COV(Xl Y) = 12

Cov(X, Y) 12 3

：■ P = --------------------- = ----------- =—

√D(X)√D(Y) 4*5 5

1 _25比_3Xy 丄 y2、

:∙ f(x,y) = R—e 宓 16一 50 十刃 J 32π

5. 证明 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(XzY). y2e"xe"ycix)dy

y2 d(e"y)

运用分部积分法.

:

^o°e-×∙ydy服从入“的指数分布:

所以

PXy = Cov(XlY)

√D(χ)√oσ)

2 (X-^I)(y-^2⅜ I (y~μz)21

H σi∏2 O22' f(χ,y)=

高中数学人教A版必修三 第三章 概率 学业分层测评19 Word版含答案

高中数学人教A版必修三 第三章 概率 学业分层测评19 Word版含答案

(整数值)随机数(random numbers)的产生

一、选择题

1．袋子中有四个小球分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字有放回地从中任取一个小球取到“快”就停止用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1到4之间取整数值的随机数且用1234表示取出小球上分别写有“幸”“福”“快”“乐”四个字以每两个随机数为一组代表两次的结果经随机模拟产生了20组随机数：

13 24 12 32 43 14 24 32 31 21

23 13 32 21 24 42 13 32 21 34

据此估计直到第二次就停止的概率为( )

A15 B．14

C13 D．12

【解析】 由随机模拟产生的随机数可知直到第二次停止的有1343231313共5个基本事件故所求的概率为P＝520＝14

【答案】 B

2．某班准备到郊外野营为此向商店订了帐蓬如果下雨与不下雨是等可能的能否准时收到帐篷也是等可能的只要帐篷如期运到他们就不会淋雨则下列说法正确的是( ) A．一定不会淋雨 B．淋雨机会为34

C．淋雨机会为12 D．淋雨机会为14

【解析】 用A、B分别表示下雨和不下雨用a、b表示帐篷运到和运不到则所有可能情形为(Aa)(Ab)(Ba)(Bb)则当(Ab)发生时就会被雨淋到∴淋雨的概率为P＝14

【答案】 D

3．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数指定1234表示命中567890表示没有命中；再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431

257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )

【28750061】

概率趣题—windows2000“扫雷”游戏

概率趣题—windows2000“扫雷”游戏

题目一：如图所示是大家经常玩的扫雷游戏的简单示意图，点击中间的按钮，若出现的

数字是2，表明数字2周围的8个位置有2颗地雷，任意点击8个按钮中的一个，则不是地雷的概率是（ ）

A． B． C． D．

考点：概率公式。

分析：8个位置有2颗地雷，则没有地雷的有6颗，所以任意点击8个按钮中的一个，则不是地雷的概率是．

解答：解：P（不是地雷）=．

故选C． 点评：用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

题目二：Windows2000下有一个有趣的游戏“扫雷”，下图是扫雷游戏的一部分：（说明：

图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有

地雷，现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其它地方为安全区（包括有数字的方格）

（1）现在还剩下几个地雷？

（2）A、B、C三个方格中有地雷的概率分别是多大？

考点：概率公式。 专题：计算题；方案型。

分析：（1）由于B、C下面标2，说明它们为中心的8个方格中有2个地雷，而C的右边已

经有一个，所以A的周围还有一个，而B的下面标2，所以还有两个地雷；

（2）由于A、B、C三个方格中还有两个地雷，并且B、C下面方格是数字2，所以C一定

是地雷，B、C都有可能，一次即可确定A、B、C三个方格中有地雷的概率． 解答：解：（1）∵于B、C下面标2，说明它们为中心的8个方格中有2个地雷，而C的右

边已经有一个，

∴A就是一个地雷，还有一个可能在B、C的位置，

∴现在还剩下2个地雷；（2分）

（2）根据（1）得 P（A有地雷）=1（3分），

P（B有地雷）=（5分），

P（C有地雷）=（7分）．

点评：此题主要考查了概率公式在实际问题中的运用，解题的关键是正确理解题意，然后根

据题目隐含的数量关系解决问题．题目二：

题目三：Windows 2000下有一个有趣的“扫雷”游戏．如图是“扫雷”游戏的一部分，说明：

图中数字2表示在以该数字为中心的周边8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷．现在还剩下A、B、C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格），

【样本】概率统计习题及答案

【样本】概率统计习题及答案

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1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 【关键字】样本

1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。

A. A,B 互不相容 B. A,B相互独立 C.AB D. A,B相容

2、将一颗塞子抛掷两次，用X表示两次点数之和，则X＝3的概率为（ C ）

A. 1/2 B. 1/. 1/18 D. 1/9

3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ）

A. B.

C. D.

4、设，则B

A. 0 B. . 26.5 D. 9

5、设样本来自N（0，1），常数c为以下何值时,统计量 服从t分布。（ C ）

A. 0 B. . D. -1

6、设~，则其概率密度为（ A ）

A. B.

C. D.

7、为总体的样本， 下列哪一项是的无偏估计（ A ）

A. B.

C. D.

8 、设离散型随机变量X的分布列为

X 1 2 3

P C 1/4 1/8

则常数C为（ C ）

（A）0 （B）3/8 （C）5/8 （D）－3/8

9 、设随机变量X～N(4,25), X1、X2、X3…Xn是来自总体X的一个样本，则样本均值近似的服从（ B ）

（A） N（4，25） （B）N（4，25/n） （C） N（0,1） （D）N（0，25/n）

10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设，则在显著水平a=0.01下，（ B ）