一元二次方程全章学案.

3.1一元二次方程

【学习目标】

1. 认识一元二次方程，会辨认一元二次方程。

2.学会把一元二次方程化成一般形式，并能找出一元二次方程系数、一次项系数和常数项。

3.感悟一元二次方程与实际生活的密切关系。

【重点难点】

一元二次方程及其有关概念

【学习过程】

一.知识回顾：

一元一次方程：

分式方程：

二.自主探究：

（一）一元二次方程的概念

1.自学课本76页内容，得到的三个方程分别是：①

② ③

2.整理这三个方程，使方程的右边为0，并左边按 x 的将幂排列。

① ② ③

这三个方程的共同特点：

3. 像这样的方程叫做一元二次方程。

对应练习：

1.下面的方程是一元二次方程吗？为什么？

（1） x2-9=0 （2）y2-4y=0 (3)1／3x-x2 =0

(4)4s(s-1)=4s2+2 (5)3x+ x2-1=0 (6)3x3-4x2+1=0

2.关于x的方程（a-1）x2-3ax+5=0是一元二次方程，这时的取值范围是___________

(二)一元二次方程的一般形式

一元二次方程的一般形式为___________________，二次项是________,一次项是________，常数项是_______，其中a称为__________b称为__________.

对应练习：

1.一元二次方程3x2=5x的一般形式为____________，二次项系数为__________一次项系数为__________常数项为__________.

2.将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它的二次项系数，一次项系数，常数项。

①3x(x+1)=4(x-2) ②(x+3)2=(x+2)(4x-1)

③2(y+5)(y-1)=y2-8 ④2t=(t+1)2

三.课堂小结：

四.当堂检测：

1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）

A ax2+bx+c=0 B k2x+bk+6+0 C 3x2+2x+1=0 D (m2+3)x2+3x-2=0

2.方程（3x-1）（2x+4）=1化为一般形式是其中二次项系数为_________，一次项系数为______，常数项为_______.

3.小明家有一块长150㎝，宽100㎝的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来了工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后的面积是原地毯面积的2倍，若设花色地毯的宽为x㎝，则根据题意，可列方程为____________________,并化成一般形式

3.2 用配方法解一元二次方程（1）

【学习目标】

1.知道什么叫开平方法。

2.学会利用开平方的方法解一元二次方程。

【重点难点】

开平方法解一元二次方程

【学习过程】

一.复习回顾： 1.平方根的定义____________________________。

2.求下列各数的平方根：4 ，6 ，0 ，12.

3.负数有没有平方根？

相关知识链接：

为美化校园，我校决定将校园中心边长为40米的正方形草坪扩为面积为2500平方米的正方形，请同学们计算一下边长应该增加多少？

解：设边长应增加x米，根据题意可列方程_________________________________

同学们思考，怎样解这个方程？

二.探求新知：

自学课本80页内容，再根据平方根的意义，解下列方程

①x2=9 ②x2=6 ③(x+3)2=1 ④(x-2)2=2

方法总结：

通过学习，总结以上各题的特点：1.如果一个一元二次方程一边是____________________

另一边是_____________________________就可以用开平方法求解。

2.利用开平方解一元二次方程，一定注意方程有__________个解。

三.典型例题：

例1.解方程：4x2-7=0

对应练习：

解方程 ①49x2=25 ② 0.5x2-32=0 ③2x2=3 ④9x2-8=0

例2. 9（x-1）2=25

对应练习：（1）（x+1）2=16 （2）(6x-1)2=81

四、小结：

五、当堂测试：

1.下列方程，能否用开平方法求解。

（1）2x2=1 （2）3x2+1=0 （3）9(x-2)2=25 （4）x2-4x+4=9

2.利用开平方法解方程：

(1)4x2=9 (2)2(x-3)2=8

3.解方程：（x+2）(x-2)=2

3.2用配方法解一元二次方程（2）

【学习目标】：

1.知道配方法与开平方法的关系。

2.学会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

3.归纳配方法解一元二次方程的一般步骤，并熟练解方程。

【重点难点】

用配方法解一元二次方程

【学习过程】

一.拓通准备：

1.回顾开平方法解方程，方程具备的特点：__________________.

2.添加适当的数，使下列等式成立。

（1）x2+6x+_______=(x+3)2 (2) x2+18x+______=(x+____)2

(3) x2-16x+______=(x-____)2 (4) x2+Px+______=(x+____) 2

(5) x2-x+______=(x-____)2

二.探求新知：

1.观察方程：x2+10x+25=26，左边可以变成______________,原方程变成__________,用开平方法解这个方程。

2.观察方程x2+10x=1,它与上述方程有哪些相同和不同?怎样变化就可以得到方程一的形式

3.总结上述方程解法中，关键是哪一步？具体做法是什么？

_____________________________________________________________________.

4.什么是配方法？______________________________________.

三.典型例题：用配方法解方程：

（1）x2-3x=-2 (2)x2-6x+8=0

方法总结：

1.用配方法解一元二次方程时，常数项和一次项系数有什么关系？

2.用配方法解一元二次方程的具体步骤： __________ _________________________.

对应练习：用配方法解下列方程：

（1）x2+4x=-3 （2）x2-6x=7 (3)Y2=3Y-2 (4)x2+12x+1=0

四.拓展延伸：用配方法解方程：（x+1）2+2(x+1)=8

五.课堂小结

六.当堂检测：

1.关于x的方程x2+a+1=2x有解得条件是（ ）

A .a＜0 B . a＞0 C . a 为非负数 D. a 为非正数

2.填空：（1）x2-7x+_____=(x-____) 2 （2）x2+20x+_____=(x+____)2

3.利用配方法解下列方程：（1）x2-3x+2=0 (2)x2-5x=6

4.在一块长35 m,宽26m的矩形地面上，修建同样宽的

两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分

的面积为850㎡，道路的宽应为多少?

3.2用配方法解一元二次方程(3)

【学习目标】

1、学会用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。

2、熟记配方法解一元二次方程的步骤。

3、体会配方法解一元二次方程的实际意义。

【重点难点】

用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程。

【学习过程】

一.拓通准备： 解方程：x2+x-1=0

二.探求新知： 解方程：2x2+3x-1=0

总结方法：用配方法解一元二次方程时，一般先把二次项系数化为_________，然后把方程的_____________________移到方程的右边，再把左边配成一个_____________________，如果右边是________________，就可以进一步通过直接开平方求它的解.

三.自我训练：用配方法解下列方程：

（1）3Y2-12=2Y (2)3x2-5x-2=0 (3)3x2+4x-1=0 (4)2x2-22x+1=0

四.能力提升：

1.用配方法解方程x(2x-1)=3

2.实际应用：当x取何值时，2x2-3x+1的值等于3.

五.拓展延伸：

如果P与ｑ都是常数，且P2≥4ｑ,你会用配方法解关于x 的一元二次方程x2+Px+ｑ=0吗？试一试。

六.当堂达标：

1.用配方法解方程2x2-3=-6x,正确的解法是（ ）

A: (x+32)2=154 , x=﹣32±152 B: (x-32)2=154 , x=32±152

C: (x+32)2=﹣154 , 原方程无解。 D: (x+32)2= 74, x=﹣32±72

2.若用配方法解方程，2x2-32x-4=0时，原方程可变形为__________________.

3.用配方法解下列方程：

（1）3 x2-6x=0 (2)2x2-7x+3=0