湖南省2018年高考对口招生考试数学真题及参考答案
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湖南省2018年普通高等学校对口招生考试
数学
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共4页,时量120分钟,满分120分
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},则A∩B=（）
A.{1,2,3,4,5,6}
B.{2,3,4}
C.{3,4}
D.{1,2,5,6}
2. “
”是“
”的（）
A.充分必要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
3.函数
的单调增区间是（）
A.(-∞,1]
B. [1,+∞)
C.(-∞,2]
D.[0,+∞)
4.已知
, 且
为第三象限角,则tan
=（）
A.
B.
C.
D.
5.不等式
的解集是（）
A.{
} B.{
}
C.{
} D.{
}
6.点
在直线
上，
为坐标原点,则线段
长度的最小值是（）
A. 3
B. 4
C.
D.
7.已知向量
，
满足
，
,
,则向量
,
的夹角为（）
A.
B. 60°
C. 120°
D. 150°
8.下列命题中,错误的是（）
A. 平行于同一个平面的两个平面平行
B. 平行于同一条直线的两个平面平行
C. 一个平面与两个平行平面相交,交线平行
D. 一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个相交
9.已知
，
，
,则
的大小关系为（）
A.
B.
C.
D.
10.过点(1,1)的直线与圆
相交于
，
两点,
为坐标原点,则
面积的最大值为（）
A. 2
B. 4
C.
D. 2
2、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11. 某学校有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该学校学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取男生的人数
为 .
12. 函
(
为常数)的部分图像如图所示,则
= .
13.
的展开式中
的系数为 (用数字作答)
14.已知向量
=(1,2),
=(3,4),
=(11,16),且
=
+
,则
.
15.如图,画一个边长为4的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,依次类推,这样一共画了10个正方形.则第10个正方形的面积为 .
三、解答题(本大题共7小题,其中第21，22小题为选做题.满分60分,解答
应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.(本小题满分10分)
已知数列{
}为等差数列,
=1,
=5，
（Ⅰ）求数列{
}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
}的前
项和为
. 若
=100，求
.
17.(本小题满分10分）
某种饮料共6瓶，其中有2瓶不合格,从中随机抽取2瓶检测.用
表示取出饮料中不合格的瓶数.求
(Ⅰ)随机变量
的分布列；
(Ⅱ)检测出有不合格饮料的概率.
18.(本小题满分10分)
已知函数
的图像过点(5，1)
(Ⅰ)求
的解析式，并写出
的定义域；
(Ⅱ)若
,求
的取值范围
19.(本小题满分10分)
如图,在三棱柱
中，
⊥底面
，
，
90°,
为
的中点.
(I)证明:
⊥平面
；
(Ⅱ)求直线
与平面
所成的角.
20.(本小题满分10分)
已知椭圆
(
)的焦点为
(-1,0)、
(1,0),点
(0,1)在椭圆C上.
(I) 求椭圆
的方程；
(II) (Ⅱ)直线
过点
且与
垂直,
与椭圆
相交于
，
两点,求
的长.
选做题:请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做,则按所做的第21题计分,作答时,请写清题号.
21.(本小题满分10分)
如图,在四边形
中,
，
,
120°,
75°,求四边形
的面积.
22. (本小题满分10分)
某公司生产甲、乙两种产品均需用
，
两种原料.已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲产品可获利润4万元,生产1吨乙产品可获利润5万元.问:该公司如何规划生产,才能使公司每天获得的利润最大?
甲乙原料限额
（吨） 1 2 8
（吨） 3 2 12
参考答案
1、选择题：
1. C
2. B
3. B
4. A
5. D
6. D
7. C
8. B
9. D 10. A
2、填空题：
11. 25 12. 2 13. 6 14. 5 15.
三、解答题
16.解：（Ⅰ）数列{
}为等差数列,
=1,
=5
公差d=
故
（Ⅱ）∵等差数列{
}的前
项和为
=100
∴
∴
17. 解：（Ⅰ）
的可能取值有0，1，2 P（
）=
P（
）=
P（
）=
故随机变量
的分布列是：
0 1 2 P
（Ⅱ）设事件
表示检测出的全是合格饮料，则
表示有不合格饮料
检测出的全是全格饮料的概率
故检测出有不合格饮料的概率
18. 解：（Ⅰ）∵函数
的图像过点(5，1)
∴
∴
有意义，则
∴
函数
的定义域是
(Ⅱ)∵
，
∴
∴
∴
又
的定义域是
，即
∴
的取值范围是（3，5）
19. （Ⅰ）证明：∵在三棱柱
中，
⊥底面
∴
⊥
又
，
90°,
为
的中点.
∴
⊥
而
∴
⊥平面
(Ⅱ)由（Ⅰ）可知：
⊥平面
连结
，则
是直线
与平面
所成的角
在
中，
，
∴
∴
即直线
与平面
所成的角是
.
20. 解：（Ⅰ）∵椭圆
(
)的焦点为
(-1,0)、
(1,0)
∴
又点
(0,1)在椭圆C上
∴
∴
∴椭圆
的方程是
(Ⅱ)直线
的斜率
而直线
过点
且与
垂直
∴直线
的斜率是
直线
的方程是
由
消去
得：
设
，
，则
，
即
的长是
21. 解：如图，连结
在
中，
，
120°，由余弦定理得：
四边形
的面积
=
=
=
=
=
22.解：设公司每天生产甲产品
吨，乙产品
吨，才能使公司获得的利润
最大，则
，
、
满足下列约束条件：
作出约束条件所表示的平面区域，即可行域，如图中的阴影部分，
四边形
作直线
及其平行线
：
，直线
表示斜率为
，纵截距为
的平行直线系，当它在可行域内滑动时，由图可知，直线
过点
时，
取得最大值，
由
得
∴
万元
即当公司每天生产甲产品2吨，乙产品3吨时，公司获得的利润最大，最大利润为23万元.
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