2017年上海交通大学冬令营数学试题
90分钟答题时间
一、 填空题（每小题5分，共50分）
1． 设函数()f x 满足()()232361f x f x x +-=+，则()f x =_______________．
2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a b
-=_______________． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为_______________．
4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为_______________．
5． 11!22!33!!n n ⋅+⋅+⋅++⋅=L _______________．
6．设不等式()()11x x y y -≤-与22
x y k +≤的解集分别为M 与N ．若M N Ü，则k 的最小值为_______________．
7．设函数()x f x x
=，则()()()21123n S f x f x nf x -=+++=L _______________． 8．设0a ≥，且函数()()()cos sin f x a x a x =++的最大值为
252，则a =_______________．
9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________．
10．已知函数()1211
x f x x -=+，对于*n N ∈定义()()()11n n f x f f x +=，若()()355f x f x =，则()28f x =_______________．
二、计算与证明题（每小题10分，共50分）
1．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当10r mm =，4h mm =时，R 的值．
h
2．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调型和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像．
3．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2
x y =上，试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离此时M 点的坐标．
4．设()()()432
1324f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ： （1）方程()0f x =总有相同实根；
（2）存在0x ，恒有()00f x ≠．
5．已知等差数列{}n a 是首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a ，1,2,3,n =L ，其中,a b 均为正整数，且11223a b a b a <<<<．
（1）求a 的值；
（2）若对于{}n a ，{}n b ，存在关系式1m n a b +=，试求b 的值；
（3）对于满足②中关系式的m a ，试求12m S a a a =+++L 的值．
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