整系数多项式不可约的判定123

有理数域不可约判别法
有理数域不可约判别法是指，在有理数域中，对于一个多项式$f(x)$，如果它不能分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称$f(x)$在有理数域中是不可约的。

判断一个多项式是否在有理数域中不可约，可以使用以下方法：
1. 欧几里得算法：将多项式$f(x)$除以$x-a$，如果余数为0，则$x-a$是$f(x)$的一个因子。

重复这个过程直到无法继续除下去。

如果最后得到的余数是常数项，则$x-a$是$f(x)$的一个根。

如果最后得到的余数不是常数项，则$x-a$不是$f(x)$的因子。

2. 整除定理：如果$a$是多项式$f(x)$的一个根，则$(x-a)$一定是
$f(x)$的因子。

可以使用这个定理来判断多项式是否有有理根。

3. Eisenstein判别法：设多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-
1}+\cdots+a_0$，其中$a_i\in\mathbb{Z}$且$a_n\neq 0$。

如果存在一个质数$p$使得$p|a_i(i=0,1,\cdots,n-1),p\nmid a_n,p^2\nmid a_0$且$p|a_{n-1}$，则$f(x)$在$\mathbb{Q}$中不可约。

以上三种方法都可以用来判断多项式是否在有理数域中不可约，但是具体使用哪种方法需要根据多项式的形式和系数来决定。

第21卷 第1期 湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.21 No.12008年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2008有理数域上的一类不可约多项式张 卫，史滋福(湖南师范大学 数学与计算机科学学院，长沙 410081)摘 要: 首先介绍了判别有理数域上多项式不可约的常用结论，讨论了形如12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"的多项式的性质，并且得到了定理：若，6n >()0x ϕ>且它的次数小于的一半，则n 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"在Q 上不可约.关键词: 有理数域; 不可约多项式; 次数中图分类号：O151.23 文献标识码：A 文章编号: 1672-5298(2008)01-0005-03A Class Irreducible Polynomials on Rational Number FieldZHANG Wei , SHI Zi-fu(Department of Mathematics, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)Abstract: Some common results which used to decide a polynomial on rational number field irreducible are explained in this paper. Some properties of polynomial such as 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"are discussed and some theorem is obtained if ，6n >()0x ϕ>and the degree of ()x ϕ is less than a half of ,then n ()f x is irreducible on rational number field.Key words: rational number field; irreducible polynomial; degree研究数域上不可约多项式就如研究整数中的素数一样重要. 如果F 是代数闭域，则F 上的不可约多项式就是全体的一次多项式，而在素域F 上的不可约多项式研究却是一个复杂的工作. 在我们熟悉的有理数域Q 上，存在着任意次的不可约多项式. 到目前为止，在有理数域Q 上，判断多项式不可约的方法主要有以下几类:Ⅰ 通过多项式的系数与某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein 判别法及其推广形式[1][2]. Ⅱ 通过多项式的系数与某素数的大小关系来判定不可约，如命题1[3]设是一个素数，且整数适合p 12,,,n a a a "10nk k a =p <<∑，则多项式212()n n f x p a x a x a x =++++"在Q 上不可约.Ⅲ 将多项式作为函数所得到的一些特殊取值来判定不可约，如命题2[4] 若整系数多项式()f x 对于无限个整数值x ，其函数值()f x 都是素数，那么多项式()f x 在Q 上不可约.Ⅳ 通过辅助多项式的根的取值来判定不可约，如 命题3[5] 设是n 个两两不同的整数，那么多项式12,,,n a a a "1()()1ni i f x x a ==−−∏在Q 上不可约.本文给出一类可以通过的多项式的次数或者多项式在某点的取值来进行判定的不可约多项式.收稿日期：2007-12-20 基金项目: 湖南省自然科学基金项目(04JJ40003) 作者简介：张 卫(1963− ), 男，江西赣州人，博士，湖南师范大学讲师. 主要研究方向: 多项式代数和环论命题4[5]设是n (n ≥2)个两两不同的整数，如果多项式12,,,a a a "n 1()()1ni i f x x a ==−+∏在Q 上可约，则n 是一个偶数.引理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上可约，则存在整系数多项式h x ，使得()2()()f x h x =.证明 因为n ，对于任何整数3≥0x ，或者()201020()()0n x a x a x a −−="或者−2201020010203()()()()()()n x a x a x a x a x a x a −−−≥−−−"2≥,所以，因此0()0f x ≠()f x 没有一次有理因式.现设()()()f x g x h x =是()f x 的真因式分解，其中()g x 与都是整系数多项式，且()h x ()g x 与的次数都小于，令()h x n ()()()x g x h x ϕ=−，由()1i f a =,()()1i i g a h a ==±，于是()0,1,2,,i a i n ϕ==".如果()0x ϕ≠，则必有deg(())x n ϕ<，这是不可能的，所以()0x ϕ=. 因此()()g x h x =，即有2()()f x h x =. 由引理1立即可得.定理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，则当是偶数时，多项式12,,,n a a a "n 212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上不可约.定理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+".若存在0x , 使得，则0()0f x <()f x 在Q 上不可约.引理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".若()f x 有真因式()g x ，则()g x 的次数至少是的一半.n 证明 设()()()f x g x h x =，且deg(())g x <[2n]，由于()1,1,2,,i f a i n =="，所以, ，于是()1i g a =±1,2,,i n ="()g x 至少在[个点恒取值]deg(())12ng x ≥+1+或者1−，此时()g x 是常数，矛盾.推论1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+""有真因式()g x ，则()g x 的次数deg(())[]2ng x r n ≤+−.引理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数， 12,,,n a a a "[]2nr <，且222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".如果()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()f x h x =.证明 设()f x 的真因式分解()()()f x g x h x =，(),()g x h x 都是整系数多项式，且次数[]2n deg(()),deg(())g x h x r n ≤≤+−[]2n . 令()()()x g x h x ϕ=−，和引理1相仿，由于也有deg(())x n ϕ<，所以()0x ϕ=，即2()()f x h x =.类似地可以证明引理4设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+ 6 湖南理工学院学报(自然科学版) 第21卷.第1期 张 卫等：有理数域上的一类不可约多项式 7如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()=f x h x .定理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且 deg(())x n ϕ+是奇数，则()f x 在Q 上不可约.定理4 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且存在实数0x ，使得0()0f x <，则()f x 在Q 上不可约.定理5 设是n (n >6)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+，如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()0x ϕ=没有有理根，则()f x 在Q 上不可约.证明 不妨设，令12n a a a <<<"012n x a =−，因为0()0x ϕ≠，所以01()2r x ϕ≥，从而0001010()()()()()1ϕ−=−−−+"n n f x x x a x a x a <123311()()()()122222124211()()()(122222−⋅⋅⋅⋅⋅−+<−⋅⋅⋅⋅⋅−+""r r n n =222((2)!122−++−−⋅−+=−+n n r r n n 2)!1>. 因为当n 时，62deg(())[]log (2)!22nr x ，所以n ϕ=<<−−0()0f x <，再由定理4即得定理5.鉴于在定理证明中关于()x ϕ其实只利用了01()2r x ϕ≥，所以有推论2 若, 且，那么212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+"6n >()f x 在Q 上不可约.最后提出两个问题作为本文的结束. 问题1 定理5在的时候是否也成立？6n =问题2 推论2中由于()x ϕ的次数仅等于1，是否的条件可以去掉？ 6n >参考文献[1] 张海山. Eisenstein 判别法的推广[J]. 首都师范大学学报(自然科学版), 2001，22(3):13~15 [2] 陈 侠. 关于整系数不可约多项式[J]. 沈阳航空工业学院学报, 2004，21(1): 77~78 [3] 冯克勤，余红兵. 整数与多项式[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999: 138~142[4] 黎伯堂，刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999:154~171 [5] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南: 山东教育出版社, 1989: 11~44李克安教授被评为第三届湖南省“双十佳期刊编辑”为了进一步加强编辑队伍建设，鼓励期刊出版行业出人才，出好人才，繁荣和发展期刊出版事业，中共湖南省委宣传部、湖南省新闻出版局联合组织评选了第三届湖南省“双十佳期刊编辑”。

爱森斯坦判别法是目前为止用来判断[]Z x 内一个多项式可约与否的最好结果。

爱森斯坦判别法 设给定n 次本原多项式01()[](1)Z n n f x a a x a x x n =+++∈≥如果存在一个素数p ，使|(0,1,...,1)i p a i n =-，但20|,|n p a p a //，则()f x 在[]Z x 内不可约。

证明：用反证法。

设()f x 在[]Z x 内可约，即()()()f x g x h x =， 其中0101()[],()[].Z Z m m l l g x b b x b x x h x c c x c x x =+++∈=+++∈这里0deg ()deg ()g x f x <<。

为方便计，下面式子中多项式(),(),()f x g x h x 的系数,,i i i a b c 的下标大于其对应多项式的次数时，均认为等于零。

因为n m l a b c =，而|n p a /，故|,|m l p b p c //。

另一方面，0|p a ，而000a b c =，故0|p b 或0|p c ；不妨设0|p b ，此时因20|p a /，故0|p c /。

设|(0,...,1)i p b i r =-，但|(0)r p b r m <</。

此时|r p a ，而 011110()r r r r r a b c b c b c b c --=++++括号中各项均含有因子p ，故0|r p b c 。

但0|,|r p b p c //，p 为素数，矛盾。

由此，()f x 在[]Z x 内不可约。

爱森斯坦判别法是目前为止用来判断Z[x]内一个多项式可约与否的最好结果。

艾森斯坦判别法是代数的定理，给出了判定整系数多项式不能分解为整系数多项式乘积的充分条件。

由高斯定理，这判别法也是多项式在有理数域不可约的充分条件。

艾森斯坦判别法是说：给出下面的整系数多项式如果存在素数p ，使得p 不整除an ，但整除其他ai ； p^2 不整除a0 ， 那么f (x ) 是不可约的。

不可约多项式和极小多项式多项式是数学中重要的概念，它是由各种系数和指数构成的函数，可以用来描述很多数学模型和问题。

不可约多项式和极小多项式是多项式的两个重要概念，对于理解多项式的性质和应用具有重要意义。

一、不可约多项式的概念及性质不可约多项式是指一个多项式不能够分解为两个多项式的乘积，其中两个多项式的次数均小于原来的多项式。

由此可以知道，不可约多项式是多项式分解的最小单位，因为所有的多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积。

例如，多项式x^2+1就是一个不可约多项式，因为它不能够被分解成两个次数小于2的多项式的乘积。

不可约多项式具有以下的性质：1.不可约多项式的次数必须大于等于2，因为1次多项式和常数函数都可以被分解为两个次数小于2的多项式的乘积。

2.每个不可约多项式都是唯一的，这是由于它的分解方式是唯一的。

3.每个多项式都可以分解为若干个不可约多项式的乘积，这是多项式分解定理的基础。

二、极小多项式的概念及性质极小多项式是指一个线性变换在某个向量空间上的约化矩阵的最小不可约多项式，它描述了向量空间中的每个向量在这个线性变换下的特征，因此对于矩阵和向量空间的研究非常重要。

给定一个向量空间V和它上面的线性变换A，如果存在一个非零向量v属于V，使得对于任意的k≥0，都有A^kv=0，那么v被称为A 的一个特征向量，A^k的零空间被称为A的第k个特征空间。

如果存在一个特征向量v，使得它所在的特征空间不等于任何一个前面的特征空间，那么这个特征向量所在的特征空间就是A的不变子空间，它可以分解为一个约化矩阵。

极小多项式具有以下的性质：1.A的约化矩阵的极小多项式是唯一的，因为如果两个多项式都是它的极小多项式，那么它们的度数必须相等，因此它们必须是相等的。

2.如果一个多项式是A的约化矩阵的极小多项式，那么它就是A 的不变子空间的刻画，因为它的次数是最小的不可约多项式。

3.极小多项式可以用来求解矩阵的特征值和特征向量，因为它的零点就是A的特征值，并且每个特征值对应的特征向量都在A的不变子空间中。

分圆多项式证明狄利克雷定理
狄利克雷定理是代数数论中的一个重要定理，它给出了一个域上的多项式方程的解的个数与该域的特征之间的关系。

分圆多项式是不可约的整系数多项式，其证明过程如下：
设α是n次本原单位根，是整系数不可约本原多项式使得，取素数q，使得，则也是一个n次本原单位根。

假定是整系数不可约本原多项式，那么它们的乘积也是一个整系数不可约本原多项式。

狄利克雷定理在数学领域中具有重要的作用，它的证明需要用到多个数学理论和方法，如果你对这个定理感兴趣，可以继续深入学习和研究。

§7.8 有理数域上的不可约多项式定义 设)(x g 是非零的整系数多项式111()nn n n g x b x b xb x b −0−=++++"若 ，则称1),,,,(011=−b b b b n n ")(x g 是本原多项式。

注（1）任一非零的有理系数多项式都与一个本原多项式相伴；（2）两个本原多项式)(),(x h x g 在][x Q 中相伴当且仅当)()(x h x g ±=；（3）零次本原多项式只有1和 -1。

引理(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

证明 设)(),(x g x f 是两个本原多项式，111111()()n n n n mm m m 00f x a x a x a x ag x b x b xb x b −−−−=++++=++++""令+111()()() m nm n m n m n h x f x g x c xc xc x c ++−++−==+++"反证 设)(x h 不是本原多项式，则存在一个素数 p ，使得012|,,,,,i p c i m n =+"因是本原的，故存在()f x n k ≤≤0使0121|,|,|,,|,k a a a p p a p p p −" |k a同理可得，存在m l ≤≤0使0121|,|,|,,|,l b b b p p b p p p −"|l b又p 是素数，故 |。

p l k b a因为lk l k l k l k l k l k l k b a b a b a b a b a b a c ++−−+−++++++++++=01111110 ""故有0111111011 l k l k l k l k l k l k l k la ab b b a a a b b a a bc ++−++−+−−+k b +=−−−−−−−−""而p 可整除上式等号右端的所有项，即能整除上式等号右端，但不可整除上式等号左端，于是产生矛盾。

·教师业务进修参考

·

整系数多项式的哥德

巴赫命题

仲木

我们熟知整数的哥德巴赫命题是:每一个大于2的偶数都可写成两个质数的和这个命题的正确性至今尚未

得到证明。在《数学

爱好者》1980,1期刊载的(容易证

明的

“1+1”》(以下简称文(1〕)一文中

提出了一个有兴趣的定理:

定理1每一个整系数n(>l)次多项式可写为两个n次不可约整系数多项式的和

这个定理的证明依赖于下述整系数多项式不可约的艾森施坦因判定法则定理2整系数多项式f(x)一a。x”+a,xn

一`+…

+an一,x+a。(1)

如果满足,存在质数p使p于a。,pla*

,

i二

1,2,…,n`但pZ护a,则f(x)不可约

定理2的证明见,张禾瑞、郝炳新编

《高等代数》上册枪

页,定理2

8

3

要得到定理1的证明,只须例示所要求的不可约多项式存在就可以了,而不必像文(1〕那样作一般的论证。定理1的证明卜设己给整系数多项式

f(x)=艺a、x,一`,a。年0,n>1,对

每a:,根据其奇偶及用4除的余数如下表

选取b;,e,

…一丁

一了勺

容易看出,2于b。,2}b:,…,

b、

,

22卜b

。,

3犷e。,31。,,…,。n,32于e

。

a;=b;+e;,i=0,1…,n取

g(x)一b。x”+b,x”一`+…+bn一:x+b

。

h(x)=e。x”+e:x“一`+…+en一,x+e。

便得f收)一g(x)+h(x),且由定理2,g(x)

,

h(x)都是不可约多项式定理1得证例1

f(x)一Zx“一2x4+sx“+12x

2

一x一6

由上表取,2一1+1,一2-一10+12

,

5=2+3,12=6+6,一1一2一3,一尽、一18+12便得g(x)一荞6一

10x`+

Z

x

’

+6xZ+Zx一

18

h(x)=x6+土2略+3xs+6xZ一3x+

12

依据整系数多项式其他的不可约性判定法则可以得出比定理1结论更多的定理,而

且证明更简单,g(x),h(x)的寻求更方便.

n定理3、整系数多项式f(x)

一艺

i=0

a;

x

“一`

的系数如果适合

有理数域上整系数奇次多项式不可约的一个判别法
黄宗文
【期刊名称】《广西教育学院学报》
【年(卷),期】2002(000)004
【摘要】某些特殊多项式的可约性,如果按常规方法去判别,可能出现判别失效的情形,针对这一情况给出一个有理数域上奇次多项式不可约的判别法,并以例子说明它的用法.
【总页数】3页(P77-79)
【作者】黄宗文
【作者单位】玉林师范学院,数学与计算机系,广西,玉林,537000
【正文语种】中文
【中图分类】O151.2
【相关文献】
1.整系数多项式在有理数域内不可约的一种新判别方法 [J], 张洪刚;张力宏
2.整系数多项式在有理数域上不可约判别法 [J], 巩娟
3.整系数多项式在有理数域上不可约判别法 [J], 鲁翠仙
4.整系数多项式在有理数域上不可约的几个判定定理 [J], 黄瑞芳
5.整系数多项式在有理数域上不可约的判定方法 [J], 王守峰
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