【配套K12】高三数学上学期期末考试试题 文4

长阳一中2015—2016学年度高三期末考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知两个集合{}21x y R x A -=∈=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-+=011|x x x B 则=⋂B A （ ） A. {|11}x x -≤≤ B. {|11}x x -≤< C ．}1,1{- D ．φ2、设复数iz --=12，则=⋅z z （ ）A .1B ．2C ．2D ．43、已知1,,,921--a a 成等差数列，1,,,,9321--b b b 成等比数列 ，则()212a a b +等于（ ） A ．30B ．30-C ．±30 D．154、设函数11()sin())22f x x x θθ=++(||)2πθ<的图象关于原点对称，则角θ=（ ）A ．6π-B ．6π C ．3π-D ．3π5、已知x ，y 满足不等式组,22,y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的比值为( )A.12B ．2 C.32D.436、某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中 的x 的值是（ ）A ．2B ．92C ．32D ．37、已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的离心率e ∈，则一条渐近线与x 轴所成角的取值范围是（ ）A ．]4,6[ππ B ．]3,6[ππ C ．]3,4[ππ D ．]2,3[ππ 8、在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB 的长,则该矩形面积大于20cm 2的概率为（ ）A ．16 B ．13 C ． 23 D ． 459、执行右图所示的程序框图（其中][x 表示不超过x 的最大整数），则输出的S 值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．410、当a >0时，函数f (x )＝(x 2＋2ax )e x的图象大致是()11、已知等腰OAB ∆中，2OA OB ==，且3O A O BA B +≥，那么OA OB ⋅的取值范围是（ ）A ．[)2,4-B ．()2,4-C ．()4,2-D ．(]4,2-12、已知定义在R 上的函数g (x )的导函数为g ′(x )，满足g ′(x )－g (x )<0，若函数g (x )的图象关于直线x ＝2对称，且g (4)＝1，则不等式g （x ）ex>1的解集为( )A ．(－2，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D ．(－∞，2) 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、在错误！未找到引用源。

2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1．已知向量，，其中x＞0，若，则x的值是（）A．4 B．8 C．0 D．22．设x、y满足线性约束条件，则x+2y的取值范围是（）A．[2，6] B．[2，5] C．[3，6] D．[3，5]3．已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间[0，]上是增函数C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称D．函数f（x）是奇函数4．已知椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）A．B．C．D．5．设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．26．一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定8．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A． B．C．（1，2） D．（1，﹣2）9．设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．则{a n}的前n项和S n取得最大值是（）A．23 B．25 C．27 D．2910．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题11．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为．12．已知=1，且a＞0，b＞0，则a+b的最小值为．13．已知点A（1，﹣2），B（m，2），且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为．三、解答题：（共30分）15．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|﹣m（I）当m=5时，求f（x）＞0的解集；（II）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B（0，﹣b）两点，原点O到直线l的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若•=﹣23，求直线m的方程．17．如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．2015-2016学年黑龙江省哈尔滨三十二中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知向量，，其中x＞0，若，则x的值是（）A．4 B．8 C．0 D．2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题．【分析】根据平面向量的坐标运算公式求出向量与，然后根据平面向量共线（平行）的充要条件建立等式，解之即可．【解答】解：∵向量，，∴=（8﹣2x， x﹣2），=（16+x，x+1）∵，∴（8﹣2x）（x+1）﹣（16+x）（x﹣2）=0即又因x＞0∴x=4故选A．【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及平面向量共线（平行）的坐标表示，同时考查了计算能力，属于基础题．2．设x、y满足线性约束条件，则x+2y的取值范围是（）A．[2，6] B．[2，5] C．[3，6] D．[3，5]【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值．【解答】解：约束条件对应的可行域如下图：由图可知：当x=2，y=2时，目标函数Z有最大值Zmax=6，当x=2，y=0时，目标函数Z有最小值Zmax=2，则x+2y的取值范围是：[2，6]，故选A．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．3．已知函数f（x）=sin（x﹣）（x∈R），下面结论错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为2πB．函数f（x）在区间[0，]上是增函数C．函数f（x）的图象关于直线x=0对称D．函数f（x）是奇函数【考点】三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【专题】常规题型．【分析】先利用三角函数的诱导公式化简f（x），利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D．【解答】解：∵y=sin（x﹣）=﹣cosx，∴T=2π，A正确；y=cosx在[0，]上是减函数，y=﹣cosx在[0，]上是增函数，B正确；由图象知y=﹣cosx关于直线x=0对称，C正确．y=﹣cosx是偶函数，D错误．故选D【点评】本题考查三角函数的诱导公式；三角函数的周期公式；三角函数的奇偶性．4．已知椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，则椭圆的标准方程是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】根据椭圆方程为标准方程，及椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），且点（0，2）在椭圆上，可得相应几何量，从而得解．【解答】解：由题意，因为椭圆的两个焦点是（﹣3，0），（3，0），所以c=3，又因为椭圆过点（0，2），所以b=2，根据a2=b2+c2，可得a=．故椭圆的标准方程为：故选A．【点评】本题以椭圆的性质为载体，考查椭圆的标准方程，解题的关键是正确运用椭圆的几何性质．5．设P是圆（x﹣3）2+（y+1）2=4上的动点，Q是直线x=﹣3上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．6 B．4 C．3 D．2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】直线与圆．【分析】过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由此能求出|PQ|的最小值．【解答】解：过圆心A作AQ⊥直线x=﹣3，与圆交于点P，此时|PQ|最小，由圆的方程得到A（3，﹣1），半径r=2，则|PQ|=|AQ|﹣r=6﹣2=4．故选：B．【点评】本题考查线段的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．6．一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线【考点】双曲线的定义．【专题】计算题．【分析】设动圆P的半径为r，然后根据⊙P与⊙O：x2+y2=1，⊙F：x2+y2﹣8x+12=0都外切得|PF|=2+r、|PO|=1+r，再两式相减消去参数r，则满足双曲线的定义，问题解决．【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选C．【点评】本题主要考查双曲线的定义．7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．8．已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A． B．C．（1，2） D．（1，﹣2）【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；压轴题．【分析】先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案．【解答】解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是﹣1，故选A．【点评】本题主要考查抛物线的定义，即抛物线是到定点的距离等于定直线的距离的点的集合．9．设等差数列{a n}满足a3=5，a10=﹣9．则{a n}的前n项和S n取得最大值是（）A．23 B．25 C．27 D．29【考点】等差数列的前n项和．【专题】函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得数列的公差，可得前5项和最大，由等差数列的求和公式和性质可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则d==﹣2，∴a n=5+（n﹣3）•（﹣2）=﹣2n+11，令a n=﹣2n+11≥0可得n≤，故等差数列{a n}的前5项为正数，从第6项开始为负数，∴当n=5时，前n项和S n取得最大值，由求和公式计算可得S5=5a3=25故选：B【点评】本题考查等差数列的求和公式，属基础题．10．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P．若=2，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出点B的坐标，设出点P的坐标，利用=2，得到a与c的关系，从而求出离心率．【解答】解：如图，由于BF⊥x轴，故x B=﹣c，y B =，设P（0，t），∵=2，∴（﹣a，t）=2（﹣c，﹣t）．∴a=2c，∴e==，故选 D．【点评】本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用，体现了数形结合的数学思想．二、填空题11．抛物线y=ax2的准线方程是y=2，则a的值为﹣．【考点】抛物线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】首先把抛物线方程转化为标准方程x2=my的形式，再根据其准线方程为y=﹣，即可求之．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程是x2=y，则其准线方程为y=﹣=2，所以a=﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了抛物线的简单性质，是一道基础题，也是高考常考的题型，找出抛物线标准方程中的p值是解本题的关键，要求学生掌握抛物线的标准方程．12．已知=1，且a＞0，b＞0，则a+b的最小值为9 ．【考点】基本不等式．【专题】不等式的解法及应用．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵ =1，且a＞0，b＞0，∴a+b=（a+b）=5+=9，当且仅当b=2a=6时取等号．∴a+b的最小值为9．故选：9．【点评】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．13．已知点A（1，﹣2），B（m，2），且线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是 3 ．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】直线与圆．【分析】由题意可得点A、B的中点（，0）在直线x+2y﹣2=0上，代入可得m的方程，解方程可得m的值．【解答】解：∵线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，∴点A、B的中点（，0）在直线x+2y﹣2=0上，∴+2×0﹣2=0，解得m=3故答案为：3．【点评】本题考查直线的一般式方程，涉及中点坐标公式，属基础题．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为﹣=1 ．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线方程，可得双曲线的焦点，即有c=6，再由渐近线方程可得a，b 的方程，解出a，b，进而得到双曲线的方程．【解答】解：由题意可得，抛物线y2=24x的准线为x=﹣6，双曲线的一个焦点为（﹣6，0），即有c=6，又=，36=a2+b2=4a2，a2=9，b2=27，则所求双曲线的方程为﹣=1．故答案为：﹣=1．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查运算能力，属于基础题．三、解答题：（共30分）15．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|﹣m（I）当m=5时，求f（x）＞0的解集；（II）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用．【分析】（I）当m=5时，原不等式可化为|x+1|+|x﹣2|＞5，分三种情况去绝对值，对不等式加以讨论，最后综合即得到f（x）＞0的解集；（II）关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，根据绝对值不等式的性质，可得|x+1|+|x﹣2|的最小值3大于或等于m+2，由此可得实数m的取值范围．【解答】解：（I）当m=5时，原不等式可化为：|x+1|+|x﹣2|＞5，①，解之，得x＞3；②，解之，得不存在符合题意的实数x；③，解之，得x＜﹣2综上所述，当m=5时，f（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）…（II）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|＞m+2，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴要使不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+2 解集是R，必定有m+2≤3，即m≤1由此可得：m的取值范围是（﹣∞，1]．…【点评】本题给出含有绝对值的函数，讨论不等式f（x）＞m（m是常数）的解集的问题，着重考查了绝对值的定义与性质和不等式恒成立问题的处理方法等知识，属于基础题．16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率e=，直线l过A（a，0），B（0，﹣b）两点，原点O到直线l的距离是．（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若•=﹣23，求直线m的方程．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程．（2）设m方程为y=kx﹣1，则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．由根与系数关系和题设条件推导出k的值，从而求出直线m的方程．【解答】解：（1）依题意，l方程+=1，即bx﹣ay﹣ab=0，由原点O到l的距离为，得=，又e==，∴b=1，a=．故所求双曲线方程为﹣y2=1．（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx﹣1，则点M、N坐标（x1，y1），（x2，y2）是方程组的解，消去y，得（1﹣3k2）x2+6kx﹣6=0．①依题意，1﹣3k2≠0，由根与系数关系，知x1+x2=，x1x2=•=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1﹣1）（kx2﹣1）=（1+k2）x1x2﹣k（x1+x2）+1=﹣+1=+1．又∵•=﹣23，∴+1=﹣23，k=±，当k=±时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为y=x﹣1或y=﹣x﹣1．【点评】本题是双典线的综合题，重点考查双曲线的性质及其应用，具有一定的难度．解题时要注意根与系数的关系的灵活运用．17．如图，F1、F2分别是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，∠F1AF2=60°．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）已知△AF1B的面积为40，求a，b 的值．【考点】椭圆的简单性质；余弦定理．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）直接利用∠F1AF2=60°，求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，利用余弦定理以及已知△AF1B的面积为40，直接求a，b 的值．【解答】解：（Ⅰ）∠F1AF2=60°⇔a=2c⇔e==．（Ⅱ）设|BF2|=m，则|BF1|=2a﹣m，在三角形BF1F2中，|BF1|2=|BF2|2+|F1F2|2﹣2|BF2||F1F2|cos120°⇔（2a﹣m）2=m2+a2+am．⇔m=．△AF1B面积S=|BA||F1A|sin60°⇔=40⇔a=10，∴c=5，b=5．【点评】本题考查椭圆的简单性质，余弦定理的应用，考查计算能力．。

卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学上学期期末考试试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．〕1.设集合U=,那么A. B. C. D.【答案】D【解析】【此处有视频，请去附件查看】2.，那么为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】A是正确的，应选答案A。

3.函数，那么的零点所在的区间为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用零点存在性定理进展判断区间端点处的值的正负，即可得到选项．【详解】函数，是定义域内的连续函数，，，所以根据零点存在性定理可知在区间〔1，2〕内函数存在零点．应选：B．【点睛】此题主要考察函数零点的判断，利用零点存在性定理是解决此题的关键．4.，那么的值是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，，,应选C.考点：1、两角差的正切公式；2、特殊角的三角函数.5.数列中，，为其前项和，那么的值是〔〕A.57B.61C.62D.63【答案】A【解析】试题分析：由条件可得，所以，应选A.考点：1.数列的递推公式；2.数列求和.6.设是所在平面内一点，，那么〔〕A. B. C.D.【答案】D【解析】试题分析：，应选D．考点：平面向量的线性运算．7.函数的图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断f〔x〕的奇偶性，及f〔x〕的函数值的符号即可得出答案．【详解】∵f〔﹣x〕f〔x〕，∴f〔x〕是奇函数，故f〔x〕的图象关于原点对称，当x＞0时，f〔x〕，∴当0＜x＜1时，f〔x〕＜0，当x＞1时，f〔x〕＞0，应选：A．【点睛】此题考察了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于中档题．8.假设是两条不同的直线，〕A.假设，那么B.假设，那么C.假设，那么D.假设，那么【答案】C【解析】试题分析：对于选项A,当且仅当平面，那么直线，可得平面内一定存在直线与直线平行，进而得出该直线垂直于平面，那么平面与平面．考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系．9.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的外表积为〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其外表积为π＋1＋2π×2＋π＝＋1.故答案为;C.10.函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的间隔为，且的图象关于点对称，那么以下判断正确的选项是〔〕A.要得到函数的图象只将的图象向右平移个单位B.函数的图象关于直线对称C.当时，函数的最小值为D.函数在上单调递增【解析】【分析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A是正确的.【详解】因为的最大值为，故，又图象相邻两条对称轴之间的间隔为，故即，所以，令，那么即，因，故，.，故向右平移个单位后可以得到，故A正确；，故函数图像的对称中心为，故B错；当时，，故，故C错；当时，，在为减函数，故D错.综上，选A.【点睛】的图像，求其解析式时可遵循“两看一算〞，“两看〞指从图像上看出振幅和周期，“一算〞指利用最高点或者最低点的坐标计算.而性质的讨论，那么需要利用复合函数的讨论方法把性质归结为的相应的性质来处理〔把看成一个整体〕.11.设是双曲线的左、右两个焦点，假设双曲线右支上存在一点，使〔为坐标原点〕且，那么的值是〔〕A.2B.C.3D.【答案】A【解析】由中，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是以直角的直角三角形，进而根据是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得的值，进而求出的值.【详解】由双曲线方程，可得，，又，，，，故是以直角的直角三角形，又是双曲线右支上的点，，由勾股定理可得，解得，故，应选B.【点睛】此题主要平面向量的几何运算，考察双曲线的HY方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进展分析，既使不画出图形，考虑时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的根本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联络.12.定义在上的函数满足，那么关于的不等式的解集为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，令g〔x〕＝f〔x〕，〔x＞0〕，对其求导分析可得g〔x〕在〔0，+∞〕上为增函数，原不等式可以转化为g〔x〕＜g〔2〕，结合函数g〔x〕的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，令其导数，假设函数满足，那么有，即在上为增函数，又由，那么，，又由在上为增函数，那么有；即不等式的解集为〔0，2〕；应选：D．【点睛】此题考察了函数的单调性问题，考察导数的应用，构造函数g〔x〕是解题的关键．二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．13.函数在点〔1，1〕处的切线方程为_____．【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，计算f′〔1〕，求出切线方程即可；【详解】函数，可得，故，．函数在点〔1，1〕处的切线方程为：，即．所以切线方程是；故答案为：．【点睛】此题考察导数的应用以及切线方程问题，是根本知识的考察．14.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的间隔是_____．【答案】【解析】双曲线的焦点到渐近线间隔为的焦点到渐近线间隔为.15.假设实数满足，那么的最小值为_____．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，作出不等式组对应的平面区域如图，由得，平移直线,由图象知,当直线经过点时，直线的间隔最小，此时最小，由和,即，此时，故答案为：.考点：简单线性规划.16.在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，假设，其中，那么的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用与一共线，求出与的表达式再利用根本不等式求出的最小值即可.【详解】中，为边的中点，为的中点，且，，，同理，，又与一共线，存在实数，使，即，，解得，，当且仅当时，“=〞成立，故答案为.【点睛】此题主要考察向量的几何运算及根本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法那么是：〔１〕平行四边形法那么〔平行四边形的对角线分别是两向量的和与差〕；〔２〕三角形法那么〔两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和〕；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答〔求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单〕．三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第23题为选考题，考生根据要求答题．17.分别是三个内角的对边，且．〔1〕求角的值．〔2〕假设，点在边上，，求的长．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理化简2a sin〔C〕b，再利用三角恒等变换求出A的值；〔2〕根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理建立方程组求得AD的长．【详解】〔1〕中，，∴，∴，∴，∴，∴；〔2〕如下列图，设，∴；由余弦定理得，…①，…②由①②解得，即的长为．【点睛】此题考察了三角恒等变换以及解三角形的应用问题，是中档题．18.等差数列的前项和为，且，数列满足．〔1〕求的通项公式；〔2〕求数列的前项和．【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕首先利用条件建立的首项与公差的方程组，求解，再由递推关系式写出时的等式，作差求出数列的通项公式．〔2〕利用〔1〕的结论，求出通项，利用裂项相消法求出数列的和．【详解】〔1〕设首项为，公差为的等差数列的前项和为，且，所以：，解得：，所以：，由于．故：①，所以：当时，②，①﹣②得：，所以：，当时〔首项符合通项〕，故：，〔2〕由于，所以：，故：【点睛】此题考察的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考察了运算才能，属于根底题型．19.如图1，在平行四边形中，，，点是的中点，点是的中点，分别沿．将和折起，使得平面平面〔点在平面的同侧〕，连接，如图2所示．〔1〕求证：；〔2〕当，且平面平面时，求三棱锥的体积．【答案】〔1〕见解析；〔2〕1【解析】【分析】〔1〕由可得△CBF为等边三角形，连接EF，由可得△BEF为等边三角形．取BF的中点O，连接OC，OE，可得CO⊥BF，EO⊥BF．从而得到BF⊥平面COE，那么BF⊥CE；〔2〕由〔1〕知，CO⊥BF，结合条件可证OE⊥BF，求得，利用锥体体积公式求解即可.【详解】〔1〕∵四边形为平行四边形，，点是的中点，∴，又，∴为等边三角形，连接，由，，得为等边三角形．取的中点，连接，那么．∴平面，那么；〔2〕由〔1〕知，，又平面平面，那么平面，又，∵，∴．∴三棱锥的体积．【点睛】此题考察空间中直线与直线的位置关系，几何体体积求解，考察空间想象才能与思维才能，是中档题．20.椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点〔都在轴上方〕．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】〔1〕；〔2〕直线过定点【解析】【分析】〔1〕根据题意可得1，a2＝2b2，求解即可.〔2〕设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式将条件转化，即可求k，m的关系式，代入直线方程即可求出定点.【详解】〔1〕由题意可知，抛物线的准线方程为，又椭圆被准线截得弦长为，∴点在椭圆上，∴，①又，∴，∴，②，由①②联立，解得，∴椭圆的HY方程为：，〔2〕设直线，设，把直线代入椭圆方程，整理可得，，即，∴，，∵，∵都在轴上方．且，∴，∴，即，整理可得，∴，即，整理可得，∴直线为，∴直线过定点.【点睛】此题考察椭圆的HY方程，直线与椭圆的位置关系，考察韦达定理，直线的斜率公式的应用，考察计算才能，属于中档题．21.设，函数．〔1〕假设无零点，务实数的取值范围．〔2〕假设，证明：．【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调性及值域，确定a的范围即可；〔2〕问题转化为证明e x﹣2x2+x﹣1＞0〔x＞0〕恒成立，令g〔x〕＝e x﹣2x2+x﹣1＞0，〔x＞0〕，求导分析函数的单调性及最值，证明即可．【详解】〔1〕∵，∴定义域是又，①当时，无零点；②当时，，故在上为减函数，又当时，，所以有唯一的零点；③当时，∴在递增，在递减，∴，那么只要，即，∴而，∴，综上所述：所求的范围是．〔2〕时，，，要证，问题转化为证明，整理得：恒成立，令，，故在递减，在递增，故，故存在，使得，故当或者时，递增，当时，递减，故的最小值是或者，由，得，，∵，故，故时，，原不等式成立．【点睛】此题考察了利用导数研究函数的单调性及最值问题，考察分类讨论思想及转化思想，考察不等式的证明，是一道综合题．请考生在第22、23题中任选一题答题．假设多做，那么按所做的第一题记分．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为〔为参数〕，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线的极坐标方程为．〔1〕求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；〔2〕直线与曲线交于两点，与轴交于点，求．【答案】〔1〕：，直线：；〔2〕1【解析】【分析】〔1〕由曲线C的参数方程，能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；直线l的极坐标方程转化为ρcosα+ρsinα＝2，由此能求出直线l的直角坐标方程．〔2〕联立，求出M，N的坐标，在直线l：x+y﹣2＝0中，令y＝0，得P〔2，0〕，由此能求出|PM|•|PN|．【详解】〔1〕∵曲线的参数方程为〔为参数〕，∴曲线的普通方程为，即，∴曲线的极坐标方程为．∵直线的极坐标方程为．∴，即，∴直线的直角坐标方程为．〔2〕联立，得或者，∴可设，在直线中，令，得，∴，，∴．【点睛】此题考察曲线的极坐标方程、直线的直角坐标方程的求法，考察两线段乘积的求法，考察极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．23.函数．〔1〕当时，解不等式．〔2〕假设存在满足，务实数的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕〔0，4〕【解析】【分析】〔1〕分3种情况去绝对值解不等式，再相并；〔2〕等价于|2x﹣2|+|2x﹣m|＜2有解，等价于左边的最小值小于2，用绝对值不等式的性质可求得最小值．【详解】〔1〕时，或者或者，解得或者，∴的解集为；〔2〕假设存在满足等价于有解，∵，∴，解得，实数的取值范围是〔0，4〕．【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，考察了绝对值三角不等式的应用，属于中档题．。

2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：在每个小题给给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设全集为R，集合A={x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B={1，2}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{0，3} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{﹣1，0，3} D．{﹣1，0}2．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况A．表中m的数值为8B．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D．若从1000名学生中抽取样容量为50的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为25 3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．4．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．2 D．26．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）A．5 B．4 C．D．37．若函数f（x）=a|x+b|（a＞0且a≠1，b∈R）是偶函数，则下面的结论正确的是（）A．f（b﹣3）＜f（a+2）B．f（b﹣3）＞f（a+2）C．f（b﹣3）=f（a+2）D．f（b﹣3）与f（a+2）的大小无法确定8．已知函数f（x）=，函数g（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，g（x）=2x﹣1，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．8 B．7 C．6 D．5二、填空题：本大题有6道小题，每题5分，共30分9．若z（1+i）=（1﹣i）2（i为虚数单位），则z= ．10．在长方形ABCD中，AB=3，BC=2，E为CD上一点，将一个质点随机投入长方形中，则质点落在阴影部分的概率为．11．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．12．已知正数a，b满足2a•4b≤8，则ab的最大值为．13．如图，已知ABCD是底角为60°的等腰梯形，其中AB∥CD，AD=4，DC=6， =2，=2，则•的值为．14．若函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）在区间（﹣π，π）与至少存在两个极大值点，则ω的取值范围是．三、解答题：本大题共有6道小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，sinB=3sinA．（1）若C=，求a，b的值；（2）若cosC=，求△ABC的面积．16．某市大型国有企业按照中央“调结构、保增长、促发展”的指示精神，计划投资甲乙两个项目，前期调研获悉，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，增加产值200万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，增加产值300万元，根据该企业目前资金储备状况仅能最多投资3000万元，配套电能100万千瓦．（Ⅰ）假设企业在甲、乙两个项目投资额分别为x，y（单位：百万元），请写出x，y所满足的约束条件，并在所给出的坐标系画出可行域；（Ⅱ）计算如何安排对甲、乙两个项目投资额，才能使产值有最大的增加值．17．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E，F分别是A1C，A1B1的中点．（Ⅰ）求证：D1E∥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：BC⊥A1C；（Ⅲ）若A1A=AB，求DF与平面A1ADD1所成角的正弦值．18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且4S n=a+2a n+1（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设f（n）=（n，k∈N*），b n=f（2n+4），求数列{b n}的前n项和T n．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，△AF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：为定值．20．已知函数f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；（Ⅲ）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范围．2015-2016学年天津市五区县高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每个小题给给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设全集为R，集合A={x∈Z|﹣1＜x≤3}，集合B={1，2}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{0，3} B．{﹣1，0，1，2，3} C．{﹣1，0，3} D．{﹣1，0}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】对应思想；定义法；集合．【分析】根据补集与交集的定义，写出∁R B与A∩（∁R B）即可．【解答】解：全集为R，集合A={x∈Z|﹣1＜x≤3}={0，1，2，3}，集合B={1，2}，∴∁R B={x∈R|x≠1且x≠2}，∴集合A∩（∁R B）={0，3}．故选：A．【点评】本题考查了交集与补集的定义与运算问题，是基础题目．2．在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高一年级1000名学生收看比赛的情况A．表中m的数值为8B．估计观看比赛不低于4场的学生约为360人C．估计观看比赛不低于4场的学生约为720人D．若从1000名学生中抽取样容量为50的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为25【考点】系统抽样方法．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由频率分布表的性质，求出m=12；先由频率分布表求出观看比赛不低于4场的学生所占比率为36%，由此估计观看比赛不低于4场的学生约为360人；若从1000名学生中抽取样容量为50的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为20．【解答】解：由频率分布表的性质，得：m=100﹣8﹣10﹣20﹣26﹣16﹣6﹣2=12，故A错误；∵观看比赛不低于4场的学生所占比率为：16%+12%+6%+2%=36%，∴估计观看比赛不低于4场的学生约为：1000×36%=360人，故B正确，C错误；若从1000名学生中抽取样容量为50的学生时采用系统抽样，则分段的间隔为=20，故D错误．故选：B．【点评】本题考查系统抽样的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意系统抽样的性质的合理运用．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【专题】计算题；分析法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=4时，满足条件i ＞3，退出循环，用裂项法即可求值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，i=1不满足条件i＞3，S=，i=2不满足条件i＞3，S=+，i=3不满足条件i＞3，S=++，i=4满足条件i＞3，退出循环，输出s的值．S=++=1﹣=．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的s，K的值是解题的关键，属于基本知识的考查．4．若x∈R，则“x＜1”是“|x|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可．【解答】解：由|x|＜1得﹣1＜x＜1，则“x＜1”是“|x|＜1””的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．5．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的离心率等于（）A．B．C．2 D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；对应思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线方程表示出F坐标，以及渐近线方程，由以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，得到圆心F到渐近线距离d=r，整理得到a=b，再利用双曲线的简单性质及离心率公式计算即可．【解答】解：根据题意得：圆心F（c，0），半径为a，双曲线渐近线方程为y=±x，即±bx﹣ay=0，∵以点F为圆心，半径为a的圆与双曲线C的渐近线相切，且c2=a2+b2，∴圆心F到渐近线的距离d==a，即a=b，∴c====a，则双曲线C的离心率e==，故选：B．【点评】此题考查了双曲线的简单性质，直线与圆相切的性质，熟练掌握双曲线的简单性质是解本题的关键．6．如图，圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，若AD=4，CD=6，则AC的长为（）A．5 B．4 C．D．3【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；数形结合；综合法；推理和证明．【分析】由切割线定理求出AB=BC=5，由弦切角定理得到△BCD∽△CAD，由此能求出AC．【解答】解：∵圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，DC是圆O的切线，AD=4，CD=6，∴∠ACD=∠ABC，CD2=AD•BD，即36=4（4+AB），解得AB=5，∴BC=5∵∠ACD=∠ABC，∠D=∠D，∴△BCD∽△CAD，∴，∴，解得AC=．故选：C．【点评】本题考查与圆有关的线段长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意切割线定理和弦切角定理的合理运用．7．若函数f（x）=a|x+b|（a＞0且a≠1，b∈R）是偶函数，则下面的结论正确的是（）A．f（b﹣3）＜f（a+2）B．f（b﹣3）＞f（a+2）C．f（b﹣3）=f（a+2）D．f（b﹣3）与f（a+2）的大小无法确定【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质求出b=0，然后结合指数函数的单调性，进行比较大小即可．【解答】解：∵f（x）=a|x+b|（a＞0且a≠1，b∈R）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即a|﹣x+b|=a|x+b|，即|x﹣b|=|x+b|，即b=0，则f（x）=a|x|，∵a＞0且a≠1，∴a+2＞2且a≠3，而b﹣3=﹣3，即f（b﹣3）=f（﹣3）=f（3），若a＞1，则f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时a+2＞3，则f（b﹣3）＜f（a+2），若0＜a＜1，则f（x）在（0，+∞）上为减函数，此时2＜a+2＜3，则f（b﹣3）＜f（a+2），综上f（b﹣3）＜f（a+2），故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性的性质求出b的大小，利用分类讨论结合指数函数的单调性是解决本题的关键．8．已知函数f（x）=，函数g（x）是周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，g（x）=2x﹣1，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题；作图题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】函数F（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数可化为函数f（x）=及函数g（x）的图象的交点的个数，从而利用数形结合求解．【解答】解：由题意作函数f（x）=及函数g（x）的图象如下，，结合图象可知，函数f（x）与g（x）的图象共有6个交点，故函数F（x）=f（x）﹣g（x）的零点个数为6，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用．二、填空题：本大题有6道小题，每题5分，共30分9．若z（1+i）=（1﹣i）2（i为虚数单位），则z= ﹣1﹣i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（1+i）=（1﹣i）2，得．故答案为：﹣1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．在长方形ABCD中，AB=3，BC=2，E为CD上一点，将一个质点随机投入长方形中，则质点落在阴影部分的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题；规律型；函数思想；概率与统计．【分析】直接求出图形面积，利用几何概型求解即可．【解答】解：在长方形ABCD中，AB=3，BC=2，E为CD上一点，将一个质点随机投入长方形中，则质点落在阴影部分的面积=3，矩形的面积为：2×3=6．所求概率为：．故答案为：．【点评】本题考查几何概型概率的求法，是基础题．11．某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；作图题；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】由题意作图，从而可得其由三棱柱截去三棱锥得到，从而解得．【解答】解：由题意作图如下，其由三棱柱截去三棱锥可得，其中三棱柱的体积V=×1×1×2=1，被截去的三棱锥的体积V=××1×1×1=，故该几何体的体积为1﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了学生的空间的想象力与数形结合的思想应用．12．已知正数a，b满足2a•4b≤8，则ab的最大值为．【考点】基本不等式．【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】正数a，b满足2a•4b≤8，化为2a+2b≤23，可得a+2b≤3．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足2a•4b≤8，化为2a+2b≤23，∴a+2b≤3．则ab=≤==，当且仅当a=2b=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查了指数幂的运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．如图，已知ABCD是底角为60°的等腰梯形，其中AB∥CD，AD=4，DC=6， =2，=2，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由题意求出AB，然后利用共线向量基本定理把、用梯形四边所在向量表示，展开后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵ABCD是底角为60°的等腰梯形，AB∥CD，AD=4，DC=6，∴可求得AB=2．又， =，∴•====．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法与减法的三角形法则，是中档题．14．若函数f（x）=sinωx﹣cosωx（ω＞0）在区间（﹣π，π）与至少存在两个极大值点，则ω的取值范围是（，+∞）．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】求出f（x）的极大值点，令绝对值最小的两个极大值点在区间（﹣π，π）上，列不等式解出．【解答】解：f（x）=2sin（ωx﹣），令f（x）=2得sin（ωx﹣）=1，∴ωx﹣=+2kπ．解得x=+．当k=0时，x=，当k=1时，x=，当k=﹣1时，x=﹣，∵f（x）在区间（﹣π，π）与至少存在两个极大值点，∴，解得ω＞．故答案为（，+∞）．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，求出极大值点是解题关键．三、解答题：本大题共有6道小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，sinB=3sinA．（1）若C=，求a，b的值；（2）若cosC=，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（1）由已知等式及正弦定理可得b=3a，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，联立即可解得a，b的值．（2）先求，又b=3a，由余弦定理可得，可求a，b的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【解答】（本小题满分13分）解：（1），由正弦定理知sinB=3sinA即b=3a，…（4分）当时，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+9a2﹣3a2，解得a=1，b=3．…（7分）（2）由得，又b=3a，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+9a2﹣2a2=8a2，即．…（9分）因为，所以，…（12分）因此．…（13分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．某市大型国有企业按照中央“调结构、保增长、促发展”的指示精神，计划投资甲乙两个项目，前期调研获悉，甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，增加产值200万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，增加产值300万元，根据该企业目前资金储备状况仅能最多投资3000万元，配套电能100万千瓦．（Ⅰ）假设企业在甲、乙两个项目投资额分别为x，y（单位：百万元），请写出x，y所满足的约束条件，并在所给出的坐标系画出可行域；（Ⅱ）计算如何安排对甲、乙两个项目投资额，才能使产值有最大的增加值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】数形结合；分析法；不等式的解法及应用．【分析】（I）由题意知投资额x，y所满足的约束条件，分别求出O，A，B，C四点的坐标，画出不等式组表示的可行域；（II）目标函数为z=200x+300y，可通过z=0的直线平移可得经过A点时取得最大值．【解答】解：（I）由题意知投资额x，y所满足的约束条件为，对应的边界点分别为O（0，0），A（10，20），B（0，25），C（30，0），如图，可行域为四边形OCAB及其内部区域（含边界）．（II）目标函数为z=200x+300y，其斜率为，而可行域的边界对应的斜率分别为，所以当目标函数对应的动直线z=200x+300y经过点A（10，20）时，即甲、乙两个项目投资额分别安排1000万元、2000万元，才能使产值有最大的增加值．【点评】本题考查简单线性规划的运用，考查数形结合的思想方法，以及运算能力，属于中档题．17．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AB=2，AD=1，∠ABC=60°，E，F分别是A1C，A1B1的中点．（Ⅰ）求证：D1E∥平面BB1C1C；（Ⅱ）求证：BC⊥A1C；（Ⅲ）若A1A=AB，求DF与平面A1ADD1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】规律型；数形结合；方程思想；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（ I）连结D1F，EF，B1C，通过证明EF∥CB1．A1B1∥D1C1，说明四边形C1D1FB1为平行四边形，证明平面D1EF∥平面BB1C1C，然后证明D1E∥平面BB1C1C．（ II）连结AC，证明BC⊥AC．A1A⊥BC．推出BC⊥平面A1AC，即可证明BC⊥A1C．（ III）取A1D1的中点G，连结FG，推出FG⊥平面A1ADD1．连结DG，说明∠FDG为直线DF 与平面A1ADD1所成的角．在Rt△FDG中，求解即可．【解答】（本小题满分13分）（ I）证明：连结D1F，EF，B1C，因为EF是△A1CB1的中位线，所以EF∥CB1．因为AB∥DC，所以A1B1∥D1C1，又因为AB=2AD=2，∠ABC=60°，可求D1C1=1，故D1C1=FB1，所以四边形C1D1FB1为平行四边形，所以D1F∥C1B1，又因为EF∩D1F=F，CB1∩C1B1=B1，所以平面D1EF∥平面BB1C1C，又因为D1E⊂平面D1EF．所以D1E∥平面BB1C1C．…．（4分）（ II）证明：连结AC，在等腰△ADC中可求AC=，又因为BC=1，AB=2，所以AC2+BC2=AB2，所以BC⊥AC．又四棱柱是直四棱柱，故A1A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以A1A⊥BC．因为A1A∩AC=A，所以BC⊥平面A1AC，A1C⊂平面A1AC，所以BC⊥A1C …．（8分）（ III）解：取A1D1的中点G，连结FG，由已知可知△A1D1F为正三角形，故FG⊥A1D1，又因为四棱柱是直四棱柱，所以平面A1D1F⊥平面A1ADD1，所以FG⊥平面A1ADD1．连结DG，则∠FDG为直线DF与平面A1ADD1所成的角．在Rt△FDG中，，故，所以．…（13分）【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直的判断与性质，直线与平面孙传庭的求法，考查空间想象能力以及计算能力．18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且4S n=a+2a n+1（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设f（n）=（n，k∈N*），b n=f（2n+4），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】数列的求和．【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）通过与（n≥2）作差、整理可知数列{a n}是公差为2的等差数列，进而计算可得结论；（Ⅱ）通过（I）可知b1=a2=5、b2=a1=1，当n≥3时b n=2n﹣1+1，整理即得结论．【解答】解：（I）∵4S n=a+2a n+1，∴，当n≥2时，，两式相减得：（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣2）=0，∵数列{a n}各项为正数，∴当n≥2时，a n﹣a n﹣1=2，即数列{a n}是公差为2的等差数列，又∵，解得a1=1，∴a n=2n﹣1；（II）由f（n）的表达式可知b1=f（6）=f（3）=a3=5，b2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1，当n≥3（n∈N*）时，故n≥3时，==2n+n，综上可知T n=．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，左右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上，△AF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点A作直线l与椭圆C的另一个交点为B，若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用离心率，椭圆的定义，列出方程组，即可求解椭圆C的方程．（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，得到．转化的值即为点O到直线AB的距离d，当AB的斜率不存在时，当AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+t，利用韦达定理综上，求出为定值．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得，解得．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）若以AB为直径的圆恰好过坐标原点O，则．所以的值即为点O到直线AB的距离d．…（7分）当AB的斜率不存在时，可设A（m，m），B（m，﹣m），又A，B在椭圆C上，所以，即．所以点O到直线AB的距离为．…（8分）当AB的斜率存在时，可设AB的方程为y=kx+t，与椭圆联立消y得（3+4k2）x2+8ktx+4t2﹣12=0，由△＞0，得3+4k2＞t2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则．…（10分）由，得x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+t）（kx2+t）==，化简得7t2=12（k2+1）．…（12分）所以点O到直线AB的距离为==．综上，点O到直线y=kx+t的距离为定值，且定值为，即为定值，且定值为．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．20．已知函数f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；（Ⅲ）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），求出函数的导数，利用f′（x）=0，求出极值点判断函数的单调性，求出单调区间．（Ⅱ）利用f（x）在x=1时取得极大值，求出m，令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，通过函数的导数，求出函数的最值即可．（Ⅲ）令，求出导函数，通过当m≤2时，g′（x）＜0，当2＜m≤8时，求出g（x）取得最大值．然后求解2≤m≤8．…．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，…（1分）解f′（x）=0，得．当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．…（3分）综上，当m=1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．…（4分）（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，则，则m=2．…（5分）此时f（x）=2lnx﹣x2+2，．令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，则.．…（6分）由上表知，g max（x）=g（1）=0，所以g（x）≤0，即f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3．…（9分）（Ⅲ）令…（10分）则①．当m≤2时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以当x≥1，g（x）≤g （1），故只需g（1）≤0，即﹣1﹣2﹣m+5≤0，即m≥2，所以m=2．…（12分）②当2＜m≤8时，解g′（x）=0，得．当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以当时，g（x）取得最大值．故只需，即，令，则，，所以h′（x）在（1，+∞）上单调递增，又h′（1）=﹣2＜0，h′（4）=ln4﹣1＞0，以∃x0∈（1，4），h′（x0）=0，所以h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，4）上递增，而h（1）=﹣1﹣4+5=0，h（4）=4ln4﹣4﹣8+5=8ln2﹣7＜0，所以x∈[1，4]上恒有h（x）≤0，所以当2＜m≤8时，．综上所述，2≤m≤8．…（14分）【点评】本题考查函数的最值的求法，函数的极值以及函数的单调区间的应用，考查构造法的应用，分析问题解决问题的能力．。