去绝对值常用“六招”（初一）
去绝对值常用“六招” （初一）
绝对值是初中数学的一个重要概念，是后续学习的必备知识。解绝对值问题要求高，难度大，不易把握，解题易陷入困境。下面就教同学们去绝对值的常用几招。
一、根据定义去绝对值
例1、当a = -5，b = 2， c = - 8时，求3│a│-2│b│- │c│的值
分析：这里给出的是确定的数，所以根据绝对值的意义即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。代值后即可去掉绝对值。
解：因为：a = -5＜0，b =2＞0， c = -8＜0
所以由绝对值的意义，原式 = 3 [ -（-5）] – 2 ×2 - [ - ( - 8 ) ] = 7
二、从数轴上“读取”相关信息去绝对值
例2、有理数a、b、c在数轴上的
位置如图所示，且│a│=│b│，化简│c-a│+│c-b│+│a+b│-│a│
分析：本题的关键是确定c - a、c-b、a + b的正负性，由数轴上点的位置特征，即可去绝对值。
解：由已知及数轴上点的位置特征知：a＜0＜c＜b 且- a = b
从而 c –a ＞0 ， c - b＜0， a + b = 0 故原式 = c - a + [ - ( c –b ) ] + 0 - ( - a ) = b
三、由非负数性质去绝对值
例3：已知│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0，求ab的值。
分析：因为绝对值、完全平方数为非负数，几个非负数的和为零，则这几个数均为“0”。解：因为│a2-25│+ ( b – 2 )2= 0 由绝对值和非负数的性质：a2-25 = 0 且 b – 2 = 0
即 a = 5 b = 2 或 a = - 5 b = 2 故 ab = 10或 ab = - 10
四、用分类讨论法去绝对值
例4、若abc≠0，求 + + 的值。
分析：因abc≠0，所以只需考虑a、b、c同为正号还是同为负号；两个同为正（负）号，另一个为负（正）号，共八种情况。但因为两正（负）、一负（正）的结果只有两种情况，所以其值只有四种情况。
解：由abc≠0可知，a、b、c有同为正号、同为负号和a、b、c异号。
当a、b、c都为“+”时， + + = + + = 3
当a、b、c都为“-”时， + + = - - - = - 3
当a、b、c中两“+”一“-”时， + + = 1
当a、b、c中两“-”一“+”时， + + = - 1
五、用零点分段法去绝对值
例5：求│x + 1│+│x - 2│+│x -3│的最小值。
分析：x在有理数范围变化，x + 1、x – 2、x -3的值的符号也在变化。关键是把各式绝对值符号去掉。为此要对x的取值进行分段讨论，然后选取其最小值。解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号。即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间化简求值即可。
解：由x + 1 = 0，x - 2 = 0，x - 3 = 0可确定零点为 - 1，2，3。由绝对值意义分别讨论如下：
当x＜-1时，原式= - ( x + 1 ) + [ - ( x – 2 ) ] + [ - ( x – 3 ) ] = -3 x + 4 ＞3 + 4 = 7
当-1 ≤ x ＜2时，原式= ( x + 1 ) + [ - ( x – 2 ) ] + [ - ( x – 3 ) ] = - x + 6 ＞ -2 + 6 = 4
当2 ≤ x ＜3时，原式= ( x + 1 ) + ( x –2 ) + [ - ( x –3 ) ] = x + 2 ≥ 2 + 2 = 4
当x ≥3时，原式= ( x + 1 ) + ( x – 2 ) + ( x – 3 ) = 3x –4 ≥ 3×3 - 4 = 5
故所求最小值是4。
六、平方法去绝对值
例6、解方程│x-1│=│x-3│
分析：对含有绝对值的方程，用平方法是去绝对值的方法之一，但可能产生增根，所以对所求解必须进行检验，舍去增根。
解：两边平方： x2- 2x +1= x2- 6x + 9 有4x =8，得 x=2 经检验，x=2是原不等式的根。
练习1、已知实数a、b、c在数轴上的位置
如图，且│a│=│c│，化简：
│a+c│-│a+b│+│c - b│+│a│
练习2、将上题中的a、b互换，│b│=│c│，化简其结果
练习3 将例4中的a、b互换，其它不变，化简其结果。
练习4、若ab＜0，求 + + 的值
练习5、已知：│x-12│+ (y-13)2+ (z – 5)2= 0，求xyz的值。
练习6、求│x - 1│+│x + 2│+│x +3│的最小值
练习7、解方程：│1 - x│-│x + 3│= 0
参考答案：1、c ；2、-a；3、-b；4、- 1；5、78；6、4；7、- 1；
因此脱去绝对值符号就成了解题的关键。如何正确去掉绝对值符号呢？当然掌握绝对值的意义是第一步（即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0）。然后根据所给条件，明确绝对值中数的性质，正确脱去绝对值符号。这样才能走困境“突出”重围。举例说明如下：
例2、若│a│= 2，│b│= 5，求①│a+b│；②若ab＜0，求│a+b│
分析：由绝对值的几何意义知，满足绝对值为非负数的有两个数，所以要去掉绝对值必须考虑所有满足条件的数，然后再求解。在①题中，满足条件的数可分别组合成四种结果，而这四种结果中其中两种是相同的。在②中由于ab＜0，即a、b异号，所以在两种情况中，由有理数的代数和性质知，其绝对值的结果是相同的。
解：①∵│a│= 2，│b│= 5
∴a，b有四种组合结果为：a =2 b= 5；a =2 b= -5；a = -2 b= 5；a = -2 b= -5；
∴│a+b│= 7；或│a+b│= 3
②因为ab＜0，所以取a = 2 ，b = -5；或 a = - 2 ，b = - 5；
故│a+b│=3
例3、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，
化简：│a│+│b│-│a+b│-│c│+│b - c│+│a - 1│
分析：在数轴上了解数性，这只是“突围”的开始。本题含有较多的绝对值，所以其关键仍然是分别考虑每个绝对值中代数式的性质，然后根据绝对值的意义去掉绝对值，达到“突围”并转化为多项式的化简。
解：由图知-1＜b＜0＜1＜c＜a
所以由有理数加减法性质有：a + b＞0；b - c＜0； a – 1 ＞0
故原式= a – b - ( a + b ) – c + [ - ( b – c ) ] + ( a – 1 ) = a - 3b – 1
零点分段法的几何意义：从数轴上看，问题转化为：在数轴上是否存在表示数x的点，它到表示各零点x + 1= 0、x – 2=0、x -3=0的距离的和最小？
