第二章随机变量及其分布习题全解习题2–11.一批产品中含有正品和次品，从中每次任取一件，有放回地连取3次，以X 表示取到的次品数．(1)写出X 的可能取值及对应事件的样本点；(2)设该批产品的次品率为p ，求X 的取值概率．解有放回地连取3次，每次都可能取到次品，且取到次品的概率均为p .(1)X 的可能取值为0,1,2,3；对应事件的样本点为{0}{(,,)}X ==正正正{1}{(,,),(,,),(,,)}X ==次正正正次正正正次{2}{(,,),(,,),(,,)}X ==次次正次正次正次次{3}{(,,)}X ==次次次(2)每次取到次品的概率为p ，连取3次相当于3重伯努利试验，故33{}(1),0,1,2,3k k k P X k C p p k -==-=2.从自然数1,2,3,4中无放回地连取两个数，以X 表示两数之差的绝对值．(1)写出X 的可能取值及对应事件的样本点；(2)求X 的取值概率．解从1,2,3,4中无放回地连取两个数，样本空间{(,)|,1,2,3,4}Ωi j i j i j ==≠；含有2412P =个样本点，各样本点等可能出现．(1)两数之差的绝对值X 可能取值1,2,3；对应事件的样本点为{1}{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)}X =={2}{(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)}X =={3}{(1,4),(4,1)}X ==(2)根据X 取值所对应事件的样本点数，求得6{1}12P X ==，4{2}12P X ==，2{3}12P X ==可统一表示为4{},1,2,36kP X k k -===3.将一颗骰子连掷两次，以X 表示掷出的最大点数，求X 的可能取值及相应的取值概率．解一颗骰子连掷两次，其样本空间{(,)|,1,2,,6}Ωi j i j == 含有2636=个样本点，各样本点等可能出现．掷出的最大点数X 可能取值1,2,,6 ，对应事件{}{(,1),,(,),(1,),,(1,)}X k k k k k k k ==- 含有21k -个样本点，故X 的取值概率为21{},1,2,,636k P X k k -=== 4.某车站每60分钟发一班车，乘客在任意时刻随机到达车站．以X 表示乘客的候车时间，求(1)X 的可能取值范围；(2)乘客候车超过20分钟的概率．解考虑任一时间段内的前后两班车，发车间隔为60分钟．(1)如果乘客到达车站正好赶上前一班车发车，则候车时间0X =；否则要等后一班车，候车时间(0,60)X ∈，故X 的可能取值范围为区间[0,60)．(2)记前一班车发车时刻为0，乘客在发车间隔时间区间[0,60)内随机到达车站，候车超过20分钟意味着乘客在时间区间(0,40)内到达．根据几何概率有(0,40)402{20}603[0,60)P X >===区间的长度区间的长度5.向一个半径为1米的圆形靶子射击，设射击都能中靶，并且命中靶上任一同心圆的概率与该圆的面积成正比．以X 表示弹着点与圆心的距离，求(1)X 的可能取值范围；(2)命中靶上半径为x 的同心圆的概率．解考虑由弹着点确定的以X 为半径的同心圆．(1)因为射击都能中靶，故X 的可能取值范围为区间[0,1]．(2)对任一[0,1]x ∈，事件{0}X x ≤≤表示命中靶上半径为x 的同心圆，其概率为2{0},0P X x x λπλ≤≤=>由{01}X Ω≤≤=，有{01}1P X λπ≤≤==可得1λπ=，故命中靶上半径为x 的同心圆的概率为2{0},01P X x x x ≤≤=≤≤习题2–21.下列各表是否为离散型随机变量的分布律？(1)1010.10.50.6X P--(2)1230.10.30.5X P(3)2312311112222kX k P解根据分布律的基本性质判别：(1)否，因为{1}0.10P X =-=-<，不满足非负性．(2)否，因为31{}0.10.30.50.91k P X k ===++=≠∑，不满足规范性．(3)是，因为10,1,2,2k k >= ；且1112kk ∞==∑，满足分布律的基本性质．2.求下列随机变量X 的分布律中的常数a ．(1){},1,2,,aP X k k N N=== ；(2){},1,2,3,42k kaP X k k ===；(3){}2,1,2,k P X k a k === ．解根据分布律的规范性计算：(1)由11Nk a a N N N===∑，可得1a =．(2)由()4112341312248168kk ka a a ==+++==∑，可得813a =．(3)由1122lim 11n kn k a a a a ∞→∞=-==-∑，应有211a a =-，可得13a =．3.某射手用5发子弹射击目标，每次射击的命中率为p ．如果命中目标就停止射击，否则一直射击到子弹耗尽，求射击次数X 的分布律．解X 的可能取值为1,2,3,4,5．当5k <时，第k 次射击命中目标，前1k -次射击均未命中，有1{}(1),1,2,3,4k P X k p p k -==-=当5k =时，前4次射击均未命中，第5次射击可能命中也可能不中，有454{5}(1)(1)(1)P X p p p p ==-+-=-综上求得X 的分布律为23412345(1)(1)(1)(1)X Ppp pp p p pp ----4.袋内有1个白球和2个黑球，从中每次任取一球，连取两次，以X 表示取到白球的次数．求下列两种情况下X 的分布律．(1)第一次取球后不放回；(2)第一次取球后放回．解袋内仅有一个白球，无放回取球至多取到一次，有放回取球至多取到两次．(1)无放回取球时，X 的可能取值为0,1．根据超几何分布，有21223{},0,1k kC C P X k k C -===计算得到X 的分布律为011233X P(2)有放回取球时，X 的可能取值为0,1,2．根据二项分布，有()()2211{}1,0,1,233kkk P X k Ck -==-=计算得到X 的分布律为012441999X P5.重复进行伯努利试验，设每次试验成功的概率为p ，以X 表示取得第r 次成功时的试验次数，求X 的分布律．解X 的可能取值为,1,r r + ．事件{}X k =意味着第k 次试验为成功，且前1k -次试验中有1r -次成功，故X 的分布律为11(1)(1)111{}(1)(1),,1,r r k r r r k rk k P X k C p p p C p p k r r ---------==-=-=+ 6.数轴上一质点从原点出发，每次以概率p 向右移动或以概率1p -向左移动一个单位，且各次移动相互独立．以n X 表示第n 次移动后质点的坐标，求n X 的分布律．解事件{}n X k =表示经过n 次移动后质点的坐标为k ．将n 次移动视作n重伯努利试验，设其中有i 次向右移动，j 次向左移动，则有,i j n i j k +=-=，故k 与n 的奇偶性相同，且,22n kn k i j +-==由此求得n X 的分布律为222(1),,2,4,,{}0,n k n k n kn n C p p k n n n nP X k ++-⎧⎪-=--+-+==⎨⎪⎩其他7.某车间共有9台机床，各台机床在工作中开动的概率均为0.2，且工作状态相互独立．如果供给该车间的电力至多允许6台机床同时开动，求出现电力不足状况的概率．解以X 表示同时开动的机床数，则X 服从二项分布(9,0.2)B ，分布律为99{}0.2(10.2),0,1,,9k k k P X k C k -==-= 当6X >时将出现电力不足状况，出现的概率为999977{6}{}0.20.80.0003k k k k k P X P X k C -==>====∑∑8.设某商店每月销售某种商品的数量服从参数为8的泊松分布，求该种商品月初应准备多少库存，才能有99%以上的把握保证当月不脱销．解以X 表示当月销售量，则X 服从泊松分布(8)P ，分布律为88{},0,1,2,!k P X k e k k -===设月初准备库存为n ，要有99%以上的把握保证当月不脱销，应有88{}0.99!k nk P X n e k -=≤=≥∑查泊松分布表可得15n =．9.设某交叉路口在t 分钟内通过的汽车数服从参数与t 成正比的泊松分布，已知在1分钟内没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内最多有一辆汽车通过的概率．解以t X 表示t 分钟内通过的汽车数，则t X 服从泊松分布()P t λ，分布律为(){},0,1,2,!k tt t P X k e k k λλ-===根据1分钟内没有汽车通过的概率1{0}0.20!P X e λλ-===可得ln 5λ=，故2分钟内最多有一辆汽车通过的概率为112ln5220(2ln 5)1{1}{}(12ln 5)!25k k k P X P X k e k -==≤====+∑∑10.一批种子的发芽率为0.995，从中任取600粒做发芽试验，用泊松分布近似计算600粒种子中没有发芽的比例不超过1%的概率．解每粒种子不发芽的概率为10.9950.005p =-=，以X 表示600粒种子中没有发芽的种子数，则X 服从二项分布(600,0.005)B ，分布律为600600{}0.005(10.005),1,2,,600kk k P X k C k -==-= 用参数6000.0053np λ==⨯=的泊松分布(3)P 近似计算，有33{},1,2,,600!k P X k e k k -=≈= 故600粒种子中没有发芽的比例不超过1%，即6X ≤的概率为6633{6}{}0.9665!k k k P X P X k e k -==≤==≈=∑∑11.设某厂共有100台设备，各台设备的状态相互独立，且发生故障的概率均为0.01．求下列两种情况下，设备发生故障而不能得到及时修理的概率．(1)配备5名维修工，每人负责20台设备；(2)配备3名维修工，共同负责100台设备．解如果同一时刻发生故障的设备数超过相应负责的维修工数，则故障不能得到及时修理．(1)以,1,2,,5i X i = 分别表示5名维修工各自负责的20台设备中同时发生故障的设备数，则i X 相互独立，均服从二项分布(20,0.01)B ．当任一1i X >时，将有设备发生故障而不能及时修理，其概率为{}{}()555111512020{1}1{1}1{1}10.010.990.0815iiii i i kkkk PX P X P X C ===-=>=-≤=-≤=-=∏∑ (2)以X 表示100台设备中同时发生故障的设备数，则X 服从二项分布(100,0.01)B ．当3X >时，将有设备发生故障而不能及时修理，其概率为331001000{3}1{3}1{}10.010.990.0184k kk kk P X P X P X k C =-=>=-≤=-==-=∑∑12.设一天内进入某商场的顾客数服从参数为λ的泊松分布，每位顾客购物的概率为p ，且各位顾客是否购物相互独立．以X 表示一天内在该商场购物的顾客数，求X 的分布律．解以Y 表示一天内进入商场的顾客数，则Y 服从泊松分布()P λ，有n 位顾客进入商场的概率为{},0,1,2,!nP Y n e n n λλ-===在进入商场的n 位顾客中，购物的顾客数X 服从二项分布(,)B n p ，故在Y n =的条件下，X k =的条件概率为{|}(1),0,1,2,,k k n k n P X k Y n C p p k n-===-= 根据全概率公式，求得X 的分布律为(1){}{}{|}(1)![(1)]!()!!(),0,1,2,!nk kn kn n kn kk kn k k k p n kk pP X k P Y n P X k Y n e C p p n e p p e p ek n k k p e k k λλλλλλλλλλ∞∞--==---∞-=-======⋅--==-==∑∑∑即X 服从参数为p λ的泊松分布．习题2–31.下列函数是否为随机变量的分布函数？(1)0,1(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩；(2)0,01(),0121,1x F x x x <⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩；(3)21(),1F x x x=-∞<<+∞+．解根据分布函数的基本性质判别．(1)是，因为()F x 满足非减性，规范性和右连续性．(2)否，因为1(10)1(1)2F F +=≠=，不满足右连续性．(3)否，因为()F x 在(0,)+∞内递减，且()0F +∞=，不满足非减性和规范性．2.设下列函数为随机变量X 的分布函数，求常数,a b ．(1)01(),1111x F x ax b x x ≤-⎧⎪=+-<≤⎨⎪>⎩，，；(2)()arctan ,F x a b x x =+-∞<<+∞；(3)0()sin ,1x a F x x a x b x b ≤⎧⎪=<≤⎨⎪>⎩，，．解根据分布函数的基本性质分析计算．(1)根据()F x 的右连续性，应有(10)0(1)(10)1(1)F a b F F a b F -+=-+==-+==+=由此可得12a b ==．(2)根据()F x 的规范性，应有()02F a bπ-∞=-=，()12F a bπ+∞=+=由此可得11,2a b π==．(3)根据()F x 的右连续性和非减性，应有(0)sin 0()(0)1sin ()F a a F a F b b F b +===+===且()F x 在(,]a b 上单调非减，由此可得2,2,0,1,2,2a kb k k πππ==+=±± ．3.设离散型随机变量X 的分布律为210112X Paa -求常数a ，并求分布函数()F x ．解根据分布律的非负性和规范性，应有210,12a a a ≥++=由此可得312a -=，故X 的分布律为10113123222X P---并由分布律求得X 的分布函数为0,11,102()3,0121,1x x F x x x <-⎧⎪⎪-≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩4.某设备在试运行过程中，有3个独立的部件可能需要调准，其概率分别为0.1,0.2和0.3．以X 表示需要调准的部件数，求X 的分布律和分布函数．解记第i 个部件需要调准的事件为,11,2,3i A =．则123123123123123123123123{0}{}0.90.80.70.504{1}{}0.0560.1260.2160.398{2}{}0.0140.0240.0540.092{3}{}0.10.20.30.006P X P A A A P X P A A A A A A A A A P X P A A A A A A A A A P X P A A A ===⨯⨯====++====++====⨯⨯= 综上求得X 的分布律为01230.5040.3980.0920.006X P根据分布律求得X 的分布函数为0,00.504,01()0.902,120.994,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩5.设离散型随机变量X 的分布函数为0,00.2,01()0.5,120.8,231,3x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩求：(1)X 的分布律；(2)概率{03}P X <<；(3)条件概率{03}P X X ><解根据分布函数求出分布律，再计算有关概率．(1)由()F x 的间断点及{}()(0)P X x F x F x ==--，求得X 的分布律为01230.20.30.30.2X P(2)根据X 的分布律求得{03}{1}{2}0.30.30.6P X P X P X <<==+==+=(3)按条件概率的定义及X 的分布律，可得{03}0.6{03}0.75{3}0.8P X P X X P X <<><===<习题2–41.设随机变量X 的密度函数为sin 0()20x x f x π⎧<<⎪=⎨⎪⎩，，其他求概率{}63P X ππ≤≤，并求分布函数()F x ．解根据密度函数()f x ，所求概率为{}336631()sin 632PX f x dx xdx ππππππ-≤≤===⎰⎰注意到密度函数()0f x =的区间上积分为零，求得分布函数为0200,0()()sin ,02sin ,20,01cos ,021,2xxx F x f t dt tdt x tdt x x x x x πππππ-∞⎧<⎪⎪==≤<⎨⎪⎪≥⎩⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰⎰2.设随机变量X 的密度函数为,01()0,a x x f x <<⎧=⎨⎩其他求：(1)常数a ；(2)常数c ，使{}{}P X c P X c <=>；(3)分布函数()F x .解(1)根据密度函数的规范性，有12()13f x dx a xdx a +∞-∞===⎰⎰由此可得32a =．(2)由{}{}1{}P X c P X c P X c <=>=-<，有2{}1P X c <=，故32031{}()22ccP X c f x dx xdx c -∞<====⎰⎰由此可得314c =．(3)由密度函数3,012()0,x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他求得分布函数为01030,03()(),0123,120,0,011,1xx x F x f t dt t dt x t dt x x x x x -∞⎧<⎪⎪⎪==≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩⎰⎰⎰3.设随机变量X 的密度函数为||(),x f x ae x -=-∞<<+∞求常数a ，并求分布函数()F x ．解根据密度函数的规范性，有0||0()21x x x f x dx ae dx ae dx ae dx a +∞+∞+∞---∞-∞-∞==+==⎰⎰⎰⎰由此可得12a =．由密度函数||1()2x f x e -=，求得分布函数为001,02()()1,021,0211,02x t xxt t x x e dt x F x f t dt e dt e dt x e x e x -∞-∞--∞-⎧<⎪==⎨⎪+≥⎩⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩⎰⎰⎰⎰4.设随机变量X 的分布函数为2,0()0,0x a be x F x x -⎧+>⎪=⎨≤⎪⎩求常数,a b ；并求密度函数()f x ．解根据分布函数的右连续性和规范性，有(00)(0)0a b F F +=+==，()1F a +∞==由此可得1,1a b ==-．由分布函数21,0()0,0x e x F x x -⎧->⎪=⎨≤⎪⎩求导得到密度函数为22,0()()0,0x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩5.设随机变量X 的密度函数()f x 为偶函数，已知()0.8F a =，求()F a -的值，并求概率{0}P X a ≤≤和{}P X a >．解对任意的x ，由()()f x f x -=可得()()()()1()1()xxxxF x f t dt f u du f u du f u du F x -+∞-∞+∞-∞-==--==-=-⎰⎰⎰⎰特别地，当0x =时，有(0)1(0)F F =-，即(0)0.5F =．根据以上结果，分别求得()1()10.80.2{0}()(0)0.80.50.3{||}()[1()]0.2(10.8)0.4F a F a P X a F a F P X a F a F a -=-=-=≤≤=-=-=>=-+-=+-=6.设随机变量X 服从区间(0,5)上的均匀分布，对X 进行3次独立观测，求至多有一次观测值小于2的概率．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,055()0x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其他在每次观测中，观测值小于2的概率为221{2}()0.45P X f x dx dx -∞<===⎰⎰以Y 表示3次观测中观测值小于2的次数，则(3,0.4)Y B ，故所求概率为11330{1}{}(0.4)(0.6)0.648k k k k k P Y P Y k C -==≤====∑∑7.设随机变量X 服从区间(2,6)-上的均匀分布，求一元二次方程20t X t X ++=有实根的概率．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,268()0x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，其他方程20t X t X ++=有实根的充分必要条件为24X X ≥，即0X ≤或4X ≥，故所求概率为622411{4}{0}{4}0.588P X X P X P X dx dx -≥=≤+≥=+=⎰⎰8.设某元件的使用寿命X (单位:小时)服从参数0.002λ=的指数分布，求：(1)该元件在使用500小时内损坏的概率；(2)该元件在使用1000小时后未损坏的概率；(3)该元件在使用500小时未损坏的情况下，可以再使用500小时的概率．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为0.0020.002,0()0,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩由此分别求得(1)该元件在使用500小时内损坏的概率为5000.0021{500}0.0021x P X e dx e --<==-⎰(2)该元件在使用1000小时后未损坏的概率为0.00221000{1000}0.002x P X e dx e +∞-->==⎰(3)根据指数分布的无记忆性，该元件在使用500小时未损坏的情况下，可以再使用500小时的概率为0.0021500{1000|500}{500}0.002x P X X P X e dx e +∞-->>=>==⎰9.设顾客在银行排队等候的时间X (单位:分)服从参数0.1λ=的指数分布．某顾客每周去一次银行办理业务，如果等候时间超过20分钟就离开，求该顾客一个月内至少有一次未办成业务的概率．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为0.10.1,0()0,0xe xf x x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩故等候时间超过20分钟的概率为0.1220{20}0.1x P X e dx e +∞-->==⎰该顾客一个月内去银行4次，以Y 表示未办成业务的次数，则2(4,)Y B e - ，至少有一次未办成业务的概率为24{1}1{0}1(1)P Y P Y e -≥=-==--10.设随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，已知{}0.9P X c μ-≤=，求{}P X c μ->．解由2(,)X N μσ 可知，其密度函数曲线关于x μ=对称，有{}{}P X c P X c μμ-<-=->根据已知条件{}0.9P X c μ-≤=，可以求得(){}{}{}2{}21{}2(10.9)0.2P X c P X c P X c P X c P X c μμμμμ->=->+-<-=->=--≤=⨯-=11.设随机变量X 的密度函数为24481(),8x x X f x e x π++-=-∞<<+∞求：(1)X 服从何种分布；(2)概率{2}P X <-，{2}P X >，{44}P X -≤≤；(3)满足{}0.95P X c ≤>的常数c 的允许值．解X 的密度函数可表为222(2)4482211()822x x x X f x e eππ+++--⋅==⋅(1)对照正态分布2(,)N μσ的密度函数22()21()2x f x eμσπσ--=可知2(2,2)X N - ．(2)将X 标准化，查标准正态分表求得{}{}{}2{2}0(0)0.522{2}1{2}121(2)0.022822{44}13(3)(1)(3)(1)10.842X P X PX P X P X P X P X P ΦΦΦΦΦΦ+<-=<==+>=-≤=-<=-=+-≤≤=-<<=--=+-=(3)根据题意，要满足{}()222{}0.95222X c c P X c P=Φ+++≤=≤>反查标准正态分表可得2 1.652c +≥，故 1.3c ≥．12.设某车床加工的产品的直径服从正态分布2(100,0.2)N ，如果产品直径在1000.3±之间为合格，求该车床加工的产品的合格率．解以X 表示该车床加工的产品的直径，则2(100,0.2)X N ．根据产品标准，当99.7100.3X ≤≤时为合格，故产品的合格率为{}99.7100100100.3100{99.7100.3}0.20.20.2(1.5)( 1.5)2(1.5)10.8664X P X PΦΦΦ---≤≤=≤≤=--=-=13.设某车间每名工人每月完成的产品数服从正态分布2(3000,50)N ，按规定全车间有3%的工人可获超产奖，求获奖者每月至少要完成的产品数．解以X 表示每名工人每月完成的产品数，则2(3000,50)X N ．记获奖者每月至少要完成的产品数为c ，根据获超产奖的比例，有{}()30003000{}1{}15050300010.0350X c P X c P X c Pc Φ--≥=-<=-<-=-=由此可得()30000.9750c Φ-=，反查标准正态分布表得30001.8850c -=故获奖者每月至少要完成的产品数3094c =．14.设某课程的考试成绩服从正态分布2(75,)N σ，并且95分以上所占比例为2.5%．以达到60分为及格，求该课程的考试及格率．解以X 表示该课程考试成绩，则2(75,)X N σ ．根据95分以上比例，有{}()75957520{95}1{95}110.025X P X P X PΦσσσ-->=-≤=-≤=-=由此可得()200.975Φσ=，反查标准正态分布表得201.96σ=即201.96σ=，故该课程的考试及格率为{}()()()756075{60}1{60}115151 1.470.929X P X P X PσσΦΦΦσσ--≥=-<=-<=--===习题2–51.设随机变量X 的分布律为210120.10.150.20.250.3X P--求Y X =和(1)Z X X =-的分布律．解根据X 的分布律，有2101221012(1)620020.10.150.20.250.3X X X X P---将相同的取值合并，分别求得Y X =和(1)Z X X =-的分布律为0120.20.40.4Y P，0260.450.450.1Z P2.设随机变量X 的分布律为1{},1,2,2kP X k k ===求()sin2Y X π=的分布律．解相应于X 的取值，有()1,41sin 0,2,1,2,3,21,43X n Y X X n n X n π-=-⎧⎪====⎨⎪=-⎩根据X 的分布律，分别计算Y 的取值概率，有4111211431112{1}{41}21511{0}{2}2318{1}{43}215n n n n n n n n n P Y P X n P Y P X n P Y P X n ∞∞-==∞∞==∞∞-===-==-==========-==∑∑∑∑∑∑综上求得()sin2Y X π=的分布律为101258151515Y P-3.设随机变量X 的密度函数为21(),(1)f x x x π=-∞<<+∞+定义X 的函数110,1111X Y X X -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，，求Y 的分布律．解根据X 的密度函数，分别计算Y 的取值概率，有121212111{1}{1}(1)411{0}{11}(1)211{1}{1}(1)4P Y P X dx x P Y P X dx x P Y P X dx x πππ--∞-+∞=-=≤-==+==-<<==+==≥==+⎰⎰⎰综上求得Y 的分布律为101211444Y P-4.设随机变量X 的密度函数为||,11()0,X x x f x -<<⎧=⎨⎩其他求2Y X =服从的分布．解由X 的取值区间(1,1)-可知2Y X =的取值区间为[0,1)．当0y <时，有(){}0Y F y P Y y =≤=；当1y ≥时，有(){}1Y F y P Y y =≤=；当01y ≤<时，在X 的取值区间(1,1)-上，有2(){}{}{}||yY yF y P Y y P X y P y X y x dx y-=≤=≤=-≤≤==⎰综上求得2Y X =的分布函数为0,0(),011,1Y y F y y y y <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩由此可知2(0,1)Y X U = ．5.设随机变量X 服从区间(1,1)-上的均匀分布，求||X Y e -=的密度函数．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,112()0,X x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(1,1)-可知||X Y e -=的取值区间为1(,1]e -．当1y e -≤或1y >时，有()0Y f y =．当11e y -<≤时，在X 的取值区间(1,1)-上，有||ln 11ln (){}{}{||ln }{1ln }{ln 1}11221ln 1()()X Y y y Y Y F y P Y y P e y P X y P X y P y X dx dxy f y F y y---=≤=≤=≥-=-<≤+-≤<=+=+'==⎰⎰综上求得||X Y e =的密度函数为11,1()0,Y e y yf y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他其中()Y F y 在1y =处不可导，取(1)0Y f =．6.设随机变量X 服从区间(),22ππ-上的均匀分布，求sin Y X =的密度函数．解根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,22()0,X x f x πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(),22ππ-可知sin Y X =的取值区间为(1,1)-．在X 的取值区间(),22ππ-上，函数sin y x =严格单调且可导，其反函数为arcsin x y =，按公式求得sin Y X =的密度函数为2(arcsin )|(arcsin )|,11()0,11110X Y f y y y f y y y π'-<<⎧=⎨⎩⎧-<<⎪-=⎨⎪⎩其他其他7.设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，求(0)Y a X b a =+>的分布函数和密度函数．解根据指数分布的定义，X 的密度函数为,0()0,xX e x f x x λλ->⎧=⎨≤⎩由X 的取值区间(0,+)∞及0a >，可知Y a X b =+的取值区间为(,)b +∞．当y b ≤时，有(){}0,()()0Y Y Y F y P Y y f y F y '=≤===；当y b >时，在X 的取值区间(0,+)∞上，有{}0()()(){}{}01()()Y y bx a y b ay b aY Y F y P Y y P a X b y y bP X e dxa ef y F y eaλλλλλ------=≤=+≤-=<≤==-'==⎰综上求得Y a X b =+的分布函数和密度函数为()()1,()0,,()0,y b a Y y b a Y e y bF y y b e y b af y y b λλλ----⎧⎪->=⎨⎪≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩8.设随机变量X 服从标准正态分布(0,1)N ，求X Y e =的密度函数．解根据标准正态分布的定义，X 的密度函数为221(),2x x e x ϕπ-=-∞<<+∞由X 的取值区间(,)-∞+∞可知X Y e =的取值区间为(0,)+∞．在X 的取值区间(,)-∞+∞上，函数x y e =严格单调且可导，其反函数为ln x y =，按公式求得X Y e =的密度函数为2(ln )2(ln )|(ln )|,0()001,020,0X Y y f y y y f y y e y y y π-'>⎧=⎨≤⎩⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，9.设随机变量X 服从区间(,)a b 上的均匀分布，证明(0)Y c X d c =+≠仍服从均匀分布．证仅证明0c >的情形．根据均匀分布的定义，X 的密度函数为1,()0X a x b b af x ⎧<<⎪-=⎨⎪⎩其他由X 的取值区间(,)a b 及0c >，可知Y c X d =+的取值区间为(,)ac d bc d ++．在X 的取值区间(,)a b 上，函数y c x d =+严格单调且可导，其反函数为y dx c-=，按公式求得Y c X d =+的密度函数为()(),()01,()0,XY y d y d f ac d y bc d c c f y ac d y bc d b a c '--⎧+<<+⎪=⎨⎪⎩⎧+<<+⎪-=⎨⎪⎩，其他其他由此即知(,)Y c X d U ac d bc d =+++ ．同理可证，对于0c <的情形，有(,)Y c X d U bc d ac d =+++ ．10.设随机变量X 服从参数1λ=的指数分布，证明X Y e -=和1X Z e -=-均服从区间(0,1)上的均匀分布．证根据指数分布的定义，X 的密度函数为,0()0,0xX e x f x x ->⎧=⎨≤⎩由X 的取值区间(0,)+∞可知，X Y e -=和1X Z e -=-的取值区间均为(0,1)．在X 的取值区间(0,)+∞上，函数x y e -=和1x z e -=-均严格单调且可导，其反函数分别为ln x y =-和ln(1)x z =--，按公式分别求得X Y e -=和1X Z e -=-的密度函数为(ln )|(ln )|,01()01,010,[ln(1)]|[ln(1)]|,01()01,010,X Y X Z f y y y f y y f z z z f z z '--<<⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎧⎪=⎨⎪⎩'----<<⎧⎪=⎨⎪⎩<<⎧⎪=⎨⎪⎩，其他其他，其他其他由此即知(0,1)X Y e U -= ，1(0,1)X Z e U -=- ．总习题二1.从五个数1,2,3,4,5中任取三个数，以X 表示取到的最大数，求X 的分布律．解从1,2,3,4,5中任取三个数，共有3510C =种不同取法．可能取到的最大数3,4,5X =，相应的概率为2135{},3,4,5k C P X k k C -===计算得到X 的分布律为345136101010X P2.电台每小时报时一次，某人睡觉醒来不知时间而等待电台报时，求等待时间不超过15分钟的概率．解以分钟为单位．如果醒来时恰好电台报时，则等待时间0X =；否则等待时间(0,60)X ∈，故X 的可能取值范围为区间[0,60)．等待时间不超过15分钟意味着在时间区间[45,60)内醒来．根据几何概率有[45,60)151{15}604[0,60)P X ≤===区间的长度区间的长度3.重复进行伯努利试验，设每次试验成功的概率为p ，将试验进行到成功和失败都出现为止．以X 表示试验次数，求X 的分布律．解设事件k A 为“第k 次试验首次成功”，k B 为“第k 次试验首次失败”，2,3,k = ．则事件{}k k X k A B == ，且k k A B =∅，故X 的分布律为11{}()()()(1)(1),2,3,k k k k k k P X k P A B P A P B p p p p k --===+=-+-=4.设随机变量X 的分布律为21010.512X Paa --求常数a ，并求X 的分布函数．解根据分布律的非负性和规范性，有21200.5(12)1a a a -≥⎧⎪⎨+-+=⎪⎩由此可得112a =-．根据X 的分布律1010.51.5221X P---求得X 的分布函数为0,10.5,10()20.5,011,1x x F x x x ⎧<-⎪-≤<⎪=⎨-≤<⎪⎪≥⎩5.设自动生产线经过调整后出现次品的概率为0.01p =，生产过程中出现次品时立即调整生产线，以X 表示两次调整之间所生产的合格品数，求：(1)X 的分布律；(2)两次调整之间能以0.9的概率保证至少生产多少个合格品．解X 的可能取值为0,1,2, ．事件{}X k =表示连续生产k 个合格品后，第1k +个产品出现次品而需调整生产线．(1)X 的分布律为{}(0.99)0.01,0,1,2,k P X k k ==⨯=(2)两次调整之间至少生产k 个合格品的概率为{}{}(0.99)0.01(0.99),0,1,2,i k i ki kP X k P X i k ∞∞==≥===⨯==∑∑要以0.9的概率保证至少生产k 个合格品，应有(0.99)0.9k =，由此解得ln 0.910.48ln 0.99k ==故两次调整之间以0.9的概率保证至少生产10个合格品．6.对目标进行500次射击，设每次射击命中的概率为0.01，且每次射击命中与否相互独立，用泊松分布近似计算至少命中2次的概率．解以X 表示命中次数，则(500,0.01)X B ，至少命中2次的概率为15005000{2}1{1}1(0.01)(10.01)kk kk P X P X C -=≥=-≤=--∑根据500n =，0.01p =，由参数5np ==λ的泊松分布近似求得155{2}110.040.96!k k P X e k -=≥≈-=-=∑7.设在任一长为t 年的时间间隔内的地震发生次数()N t 服从参数为λt 的泊松分布，以T 表示距下次地震发生的间隔年数．求：(1)三年内发生地震的概率；(2)三年内不发生地震而下一个三年内发生地震的概率；(3)在三年内不发生地震的情况下，下一个三年内发生地震的概率．解根据题意，t 年内地震发生次数()N t 的分布律为(){()},0,1,2,!k tt P N t k e k k -===λλ记间隔年数T 的分布函数为()F t ，则当0t <时，有(){}0F t P T t =≤=；当0t ≥时，注意到{}T t >等价于{()0}N t =，有(){}1{}1{()0}1tF t P T t P T t P N t e -=≤=->=-==-λ综上可得T 的分布函数为1,0()0,0te t F t t λ-⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(1)三年内发生地震的概率为3{3}(3)1P T F e -≤==-λ(2)三年内不发生地震而下一个三年内发生地震的概率为36{36}{6}{3}(6)(3)P T P T P T F F e e --<≤=≤-≤=-=-λλ(3)在三年内不发生地震的情况下，下一个三年内发生地震的概率为3633{6,3}{36}{6|3}1{3}1{3}P T T P T e e P T T e P T P T e----≤><≤-≤>====->-≤λλλλ8.某型号元件的使用寿命X 服从参数为λ的指数分布，用若干该型号元件组成一个系统，设各元件损坏与否相互独立．以Y 表示系统的寿命，求下列两个系统寿命Y 的密度函数．(1)由n 个该型号元件组成的串联系统；(2)由n 个该型号元件组成的并联系统．解以i X 表示第i 个元件的使用寿命．由题意知i X 独立同分布，记其分布函数为()F x ，密度函数为()f x ，则1,0,0(),()0,00,0xxe x e x F xf x x x ---≥>⎧⎧==⎨⎨<≤⎩⎩λλλ(1)对于串联系统，其寿命Y 的分布函数为()11(){}1{}1{}11{}1[1()]Y nni i i i nF y P Y y P Y y P X y P X y F y ===≤=->=->=--≤=--∏∏求导得到密度函数为1,0()()[1()]()00nλyn Y Y nλe y f y F y n F y f y y -->⎧'==-=⎨≤⎩，(2)对于并联系统，其寿命Y 的分布函数为1(){}{}[()]nnY i i F y P Y y P X y F y ==≤=≤=∏求导得到密度函数为11(1),0()()[()]()00λy n λyn Y Y nλe e y f y F y n F y f y y ----->⎧'===⎨≤⎩，9.设电源电压X 服从正态分布2(220,25)N ，某电子元件当电压低于200V 时损坏的概率为0.1；当电压在200240V V 时损坏的概率为0.001；当电压高于240V 时损坏的概率为0.2，求：(1)该电子元件损坏的概率；(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V V 的概率．解设事件A 为“该电子元件损坏”，记电压状态123{220},{220240},{240}B X B X B X =<=≤≤=>由2(220,25)X N ，有{}()220220220{}252525X x x P X x PΦ---≤=≤=查标准正态分布表可得()()()123(){200}0.810.80.212(){200240}120.2120.576(){240}1{240}10.80.212P B P X P B P X P B P X P X ΦΦΦ=<=-=-==≤≤=-⨯==>=-≤=-=(1)根据全概率公式，该电子元件损坏的概率为31(){}(|)0.10.2120.0010.5760.20.2120.064i i i P A P B P A B ===⨯+⨯+⨯=∑(2)根据贝叶斯公式，该电子元件损坏时，电压在200240V V 的概率为2222(,){}(|)0.0010.576(|)0.009()()0.064P A B P B P A B P B A P A P A ⨯====10.设某门课程的考试成绩服从正态分布2(70,10)N ，如果规定优秀的比例为5%，求获得优秀的最低分数．解设获得优秀的最低分数为c ．由考试成绩2(70,10)X N ，以及优秀比例为5%，应有{}()707070{}1{}110.05101010X c c P X c P X c P---≥=-<=-<=-=Φ由此可得()700.9510c -=Φ，反查标准正态分布表得70 1.6510c -=故获得优秀的最低分数86.5c =．11.设非负随机变量X 的密度函数为()X f x ，求Y X =的密度函数．解由X 的取值区间[0,)+∞可知Y X =的取值区间为[0,)+∞．当0y =时，可取()0Y f y =．当0y >时，在X 的取值区间(0,)+∞上，函数y x =严格单调且可导，其反函数为2x y =，按公式求得Y X =的密度函数为222()(),0()002(),00,0X Y X f y y y f y y y f y y y '>⎧=⎨≤⎩>⎧=⎨≤⎩，12.设随机变量X 的密度函数为1||,11()0,X x x f x --<<⎧=⎨⎩其他求2Y X =的密度函数．解由X 的取值区间(1,1)-可知2Y X =的取值区间为[0,1)．当0y <或1y ≥时，有()0Y f y =．当01y ≤<时，在X 的取值区间(1,1)-上，有20(){}{}{}(1||)2(1)21()()1,01Y yyy Y Y F y P Y y P X y P y X y x dx x dx y yf y F y y y-=≤=≤=-≤≤=-=-=-'==-<<⎰⎰综上求得2Y X =的密度函数为11,01()0,Y y yf y ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他其中()Y F y 在0y =处不可导，取(0)0Y f =．。
