下载文档原格式
2015年下半年中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力（高级中学）
一、 选择题 1.若多项式()432341f x x x x x =+---和()321g x x x x =+-- ，则f (x )和g (x )的公因式为
A.x+l
B.x+3
C.x-1
D.X-2
【解析】A ：由辗转相除法可得
2.已知变换矩A =[1
000
200
03],阵则A 将空间曲面(x −1)2+(y −2)2+(Z −1)2=1 变成
A. 球面
B. 椭球线
C. 抛物线
D. 双曲线 【解析】B ：由已知的条件设曲面经矩阵A 变化后为 [1
000
20003][x y z
]=[x 2y 3z ]=[ x ＇y ＇z ＇]
, 则x= x ＇, y=12y ＇, z=13y ＇故其方程为
(x −1)2+(12y −2)2+(13Z −1)2=1；
3.为研究7至10岁少圭牢手儿嚣的身高情况，甲、乙两名研究人员分别随机抽取了某城市100名和1000名两组调查样本，若甲、乙抽取的两组样本平均身高分别记为α、β (单位:cm 阴阳、严的大小关系为
A. α＞β
B. α＜β
C. α=β
D.不能确定
【解析】D:随机抽样的结果之间关系无法确定；
4.已知数列{a n }与数列{b n }，n=1,2,3…则下列结论不正确的是
A ． 若对任意的整数n,有a n ≤b n ，lim n→∞
b n =b,且b <0,则a <0;
B ． 若lim n→∞
a n =a,lim n→∞
b n =b,且a
C ． 若lim n→∞a n =a,lim n→∞b n =b,且存在正整数N ，使得当n>N 时，a n ≥b n 则
a >b
D ．
若对任意的正整数n,有a n ≥b n ，lim n→∞a n =a,lim n→∞
b n =b,且b>0,则a>0
【解析】B:取a n =1n ,b n =1−1
n ,lim n→∞a n =0,lim n→∞b n =b,0<1,而a 1=1>
b 1=0, a 1=b 1=1
2
，因此结论不正确； 5. 下列关系不正确的是
C.(a
⃗∙b ⃗⃗)2+(a ⃗×b ⃗⃗)2
=a ⃗2b ⃗⃗2 D. (a ⃗×b ⃗⃗)×c ⃗=(a ⃗∙c ⃗)b ⃗⃗+(b ⃗⃗∙c ⃗)a ⃗
【解析】B: 由向量积的性质可得(a ⃗+c ⃗)×b ⃗⃗=a ⃗×b ⃗⃗+c ⃗×b
⃗⃗ A.(-3，3) B.(−13,13］ C.［−13,1
3） D. [-3,3] 7. 20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是
A ．贝利-克莱因运动 B.大众教学
C ．新数学运动 D.PISA 项目
【解析】A: 第一次数学课程改革发生在20世纪初，史部"克菜园-贝利运动'.英国数学家贝利提出"数学教育应该面向大众"、"数学教育必须重视应用"的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须
紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。
8. 《普通高中数学课程标准（实验）》提出了五种基本能力，其中不包括
A. 抽象概括
B. 推理论证
C. 观察操作
D. 数据处理
【解析】C: 《普通高中数学课程标准(实验)》提出了五项基本能力，包括:抽象概括、推理论证、数据处理、空间想象、运算求解；
二、 简答题
9. 一条光线斜射在一水平放置的平面上，入射角为6π
，请建立空间直角坐标系，并求出反射光线的方程. 若将反射光线绕平面镜的法线旋转一周，求出旋转曲面的方程。
[解析] 以此光线与平面的交点为原点建立空间直角坐标系，如下图:
则入射光线所在直线过原点且在yoz 坐标面上，所以入射光线的直线方程为
若将反射光线绕法线旋转一周，也就是绕z 轴旋转一周，则得出旋转曲面的方
11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 线性无关。
[解析]（1）若向量11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关时，满足方程组的系数矩
阵的秩等于增广矩阵的秩相等这一条件，则方程组有解。
先证明唯一性：设方程组有两个解：
即111213212223,(1)
,(2)x v y v z v d x v y v z v d ++=++=
两式作差得()()()1211221230x x v y y v z z v -+-+-=
因为11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性无关
所以1212120x x y y z z -=-=-=
11122233,a b v a v b a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1323c v c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭线性相关，所以存在不全为0的实数使得
1112130x v y v z v ++=，
组有唯一解矛盾。
