2021考研管理类联考数学基础课程讲义(二)

2021 考研管理类联考数学基础课程

第四章 函数

第一节 一次函数

一次函数：一般地，形如 y=kx+b（k≠0，k,b 是常数），那么 y 叫做 x 的一次函数。当 b=0时，y=kx+b 即 y=kx，即正比例函数(并不是自变量与因变量成正比)，其函数图像则为一条直线。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，但不能说一次函数是正比例函数。

基本性质：

1．当 x=0 时，b 为一次函数图像与 y 轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0, b)。2．当 b=0 时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。3．对于正比例函数，y 除以 x 的商是一定数（x≠0）。

4．在两个一次函数表达式中：

①当两个一次函数表达式中的 k 相同，b 也相同时，则这两个一次函数的图像重合；②当两个一次函数表达式中的 k 相同，b 不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

③当两个一次函数表达式中的 k 不相同，b 也不相同时，则这两个一次函数的图像相交；④当两个一次函数表达式中的 k 不相同，b 相同时，则这两个一次函数图像交于 y 轴上的同一点（0，b）；

⑤当两个一次函数表达式中的 k 互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

5.直线 y=kx+b 的图象和性质与 k、b 的关系如下表所示：k>0,b>0：经过第一、二、三象限

k>0,b<0：经过第一、三、四象限k>0,b=0：经过第一、三象限（经过原点）

结论：k>0 时，图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大。

k<0,b>0：经过第一、二、四象限k<0,b<0：经过第二、三、四象限

k<0,b=0：经过第二、四象限

结论：k<0 时，图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小。

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第二节 反比例函数：

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于 0 的常数，那么就说这两个变量成反比例。形如 y=k/x（k 为常数，k≠0，x≠0）的函数就叫做反比例函数。当 k>0 时，图像分别位于

第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随 x 的增大而减小；当 k<0 时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随 x 的增大而增大。k>0 时，函数在 x<0 上同为减函数、在 x>0 上同为减函数；k<0 时，函数在 x<0 上为增函数、在 x>0 上同为增函数。

第三节 二次函数的性质及其应用

y ax2 bx c(a 0)

（1）一元二次函数的图像为一条抛物线

（2）当a 0 时，开口向上；当 a 0 时，开口向下

（3） a 越大，开口越小

（4）对称轴方程 x  

b 2a

（5）顶点坐标

  



b 2a

, 4ac  4a

b2   

（6）最值问题：当

a



0

时，最小值为 4ac



4a b2

；当

a 

0

时，最大值为

4ac 

4a b2

（7）

b2

  

4ac 

0,与x轴有两个交点0,与x轴有一个交点0,与x轴没有交点

（8）当a 0 时，对称轴左侧递减，对称轴右侧递增

当a 0 时，对称轴左侧递增，对称轴右侧递减

【例 1】已知二次函数 y ax2 bx c 的图像如下页图所示，则 a，b，c满足（ ）．

（A） a 0 ，b 0 ，c 0 （B） a 0 ，b 0 ，c 0

（C） a 0 ，b 0 ，c 0 （D） a 0 ，b 0 ，c 0

（E） a 0 ，b 0 ，c 0

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【例 2】已知函数 y x2 4ax ，当1 x 3 时，是单调递增的函数，则 a的取值范围是（ ）．

（A）   

1

, 2   

（B）(,1]

（C）   

1 3 , 2 2   

（D）3 ,  2    

（E）   

3 , 2   

【例 3】设 1 x 1 ，函数 f (x) x2 ax 3 ，当 0 a 2 时，则（ ）．

（A） f (x) 最大值是 4 a ，最小值 3 

a2

4

（B） f (x) 最大值是 4 a ，最小值 4 a

（C） f (x) 最大值是 4 a ，最小值 4 a

5

（D） f (x) 最大值是 4 a ，最小值 4 a2

3

5

（E） f (x) 最大值是 4 a2 3 ，最小值 4 a

第四节 指数与对数

1．指数的有关概念：

①规定：1）an a a a(n N*) ， 2） a 0 1(a 0) ，

n 个

3）

a  p

 1

ap

(

p Q，4） a

m

n

 n

a

m

(a



0,

m 、

n

N*

n

 1)

②性质：1）a r a s a r s (a 0, r 、 s Q），

2）(a r ) s a rs (a 0, r 、 s Q），

3）(a b)r a r b r (a 0, b 0, r Q）

（注）上述性质对 r、 s R 均适用.

2．对数的概念：

①定义：如果a(a 0,且a 1) 的 b次幂等于 N，就是 ab N ，那么数b 称以a 为底 N

的对数，记作loga N b, 其中a 称对数的底，N 称真数.

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1）以 10 为底的对数称常用对数，log10 N 记作lg N ，

2）以无理数 e(e

 2.71828) 为底的对数称自然对数，

log N 记作ln N e

②基本性质：

1）真数 N 为正数（负数和零无对数）， 2）

log 1 

a

0

，

3） log a 

a 1 ， 4）对数恒等式： a loga N  N

③运算性质：如果 a 0, a 0, M 0, N 0, 则

1）log a (MN ) log a M log a N ；

2）

log

a

M

N

 log

a

M 

log

a

N ；

3）log a M n n log a M (n R）.

④换底公式：

loga

N



log

m log m

N

a

(a

 0,

a



0,

m 

0,

m



1,

N



0),

1）

log

a b 

logb a 

1 ，

2）

log

am b n 

n

m log

a

b.

3 指数函数

形如 y a x ( a >0 且 a ≠1) (x∈R)的函数叫做指数函数 。 a >1 时，则指数函数单调递

增；若 0< a <1，则为单调递减的。函数总是通过（0，1）这点。

4.对数函数

函数 y loga x ( a >0 且 a ≠1) (x∈R)叫做对数函数。 a >1 时，则指数函数单调递增；若

0< a <1，则为单调递减的。函数总是通过（1，0）这点。

【例 4】已知3x 3x 4 ，则 27x 27x 的值是（ ）．

（A）64 （B）60 （C）52 （D）48 （E）36

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【例 5】已知 25x 2000 ，80y 2000 ，则 1 1 等于（

x y ）．

（A）2 （B）1

（C） 1 2

（D） 3 2

（E）3

【例 6】已知lg(x y) lg(2x 3y) lg3 lg4 lg x lg y ，则 x : y 的值为（ ）．

（A）2 或 1

3 （B） 1

2 或 3 （C） 1

2 （D） 3

2 （E）3

第五章 代数方程

一、 一元一次方程

1．定义：任何一个含一个未知数且未知数最高次数为 1 的方程均可通过同解变换化为如下

形式： ax b 0 (a 0) ，称这种形式为一元一次方程。

2．解法：将所给一元一次方程化简，得到

ax

 b(a



0) 型，进而得到方程的解

b x 。

a

【例 1】关于 x 的方程 a(2x 3) b(3x 2) 12x 5 有无穷多解，则a b （）

A.5 B.-5 C.3 D.-3 E.0

二、二元一次方程组和它的解

1．两个二元一次方程组合在一起，就组成了一个二元一次方程组．

2．使二元一次方程组的两个方程左、右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解．

3．二元一次方程组的解法

（1）代入消元法：把其中的一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后代入另一个方程，就可以消去一个未知数．

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