七年级数学思维探究专题讲义(数学竞赛)

七年级数学思维探究专题讲义

七年级数学思维探究:怎样设元(有答案)(数学竞赛)

李善兰（1811-1882）,晚清中国杰出的数学家,在西方传教士的帮助下,翻译了大量科学著作,如《几何原本》后九卷、《代数学》等．不仅向中国学者介绍了西方数学知识,还创立了许多型概念、新名词、新符号,如代数学、方程式、函数、微分等．除翻译西方名著外,李善兰也有多种自己的著作,如《方圆阐幽》、《对数探源》、《弧矢启密》等,为中国数学的发展作出了卓越的贡献．

7．怎样设元

解读课标

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说:“与其说学习数学,倒不如说学习“数学化”方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型．

在运用一元一次方程解决实际问题的过程中,设立未知数是首要环节,不同的设法列出的方程有的简单,有的复杂,故在设未知数时需有所选择,设元的基本方法有:

1．直接设元即问什么设什么．

2．间接设元即所设的不是所求的,需要将要求的量以外的其他量设为未知数,便于找出符合题意的等量关系．

3．辅助设元有些应用题隐含一些未知的常量,若不指明这些量的存在,则难求其解,故需把这些未知的常量设出未知数,作为桥梁帮助分析．

4．整体设元若在未知数的某一部分存在一个整体关系,可设这一部分为一个未知数,从而减少设元的个数．

问题解决

例1 如图,是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图,由6个不同颜色的正方形组成,已知中间最小的一个正方形的边长为1,那么这个长方形色块图的面积为_____________．

F

E D C B A

试一试要求长方形的面积需求出各正方形的边长,为便于求出长方形长与宽,故不宜直接设元,由于6个正方形边长有一定的依存关系,所以,可以从间接设某个正方形边长入手．

例2 植树节时,某班平均每人植树6棵．如果只由女同学完成,每人应植树15棵；如果只由男同学完成,每人应植树（）棵．

A ．9

B ．10

C ．12

D ．14

试一试略

例3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会,入场券分为团体票和零售票,其中团体票占总票数的23,若提前购票,则给予不同程度的优惠,在五月份内,团体票每张12元,共售出团体票数的35

；零售票每张16元,共售出零售票数的一半,如果在六月份内,团体票按每张16元出售,并计划在六月份内售出全部余票,那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

试一试票款与票数、票价有关,既要用字母表示六月份零售价,又要用字母表示总票数． 例4某开发商进行商铺促销,广告上写着如下条款:

投资者购买商铺后,必须由开发商代为租赁5年,5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购,投资者可在以下两种购铺方案中作出选择:

方案一:投资者按商铺标价一次性付清铺款,每年可获得的租金为商铺标价的10%．

方案二:投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款,2年后每年可获得的租金为商铺标价的10%,但要缴纳租金的10%作为管理费用． （1）请问:投资者选择哪种购铺方案,5年后所获得的投资收益率更高？为什么？

（注:100%=⨯投资收益投资收益率实际投资额

） （2）对同一标价的商铺,甲选择了购铺方案一,乙选择了购铺方案二,那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问:甲、乙两人各投资了多少万元？

试一试在阅读理解的基础上通过设元解决问题．

例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队,排队的人数按一定的速度增加．如果开放一个检票口,则要20分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口,则8分钟队伍就消失．设检票的速度是一定的,问同时开放三个检票口,队伍要几分钟就消失？

分析与解未知量有以下几个:检票开始时,等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟检票的人数；队伍每分钟增加的人数,只有指明这些量,才能表示等量关系．

设检票开始时,等候检票的队伍有a 人,每个检票口每分钟检票x 人,队伍每分钟增加y 人,则

20a x y

=-,82a x y =-,消去a ,得()()2082x y x y -=-,3x y =． 故同时开放三个检票口,等候检票的队伍消失的时间是:

()()20203202533338

x y y y a x y x y y y --⨯====--⨯-（分钟）． 纪念大师

例6瑞士数学家欧拉（L ．Euler ,1707-1783）是历史上最多产的数学家,据统计他一共写了886本（篇）书籍和论文．著名数学家拉普拉斯说过:“读读欧拉,他是我们所有人的导师．”是啊,欧拉在数学上的贡献实在太多了,即使在初等数学中也到处可见他的身影,下面问题是欧拉的数学名著《代数基础》中的一个问题．

有一位父亲,临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产:第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一……按这种方式一直分下去,最后每一个儿子所得财产一样多．问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产？

分析根据设未知数和思路的不同,可得多种解法．

解法1 设有x 个儿子,则最后一个儿子分得100x 克朗,倒数第二个儿子先得到()1001x -克朗,又得到“余下的

110”,即留给最后一个儿子的是余下的910,故这个“余下的110”也是最后一个儿子钱数的1

9．由最后两个儿子分得钱数相等,得方程()10010011009

x x x -+

=, 解得9x =． 所以这位父亲共有9个儿子,每人分得财产100900x =（克朗）,留下90098100⨯=（克朗）财产． 解法2设每个孩子分得的财产是x ,总的财产是y ,则根据题意,

第一个孩子分得的财产是:10010010y x -=+

, 第二个孩子分得的财产是:20020010y x x --=+

, 第三个孩子分得的财产是:230030010

y x x --=+, 依此类推,可以看出,老大与老二（老二与老三,老三与老四等都一样）的差额是10010010

x +-

． 根据题意,这个差数应当是0,于是得出一元一次方程:100100010x +-=．