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§3.1.1（1）方程的根与函数的零点
一、教材分析
（一）.内容分析
《方程的根与函数的零点》是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修1第三章《函数的应用》第一节《函数与方程》的第一课时，主要内容是函数零点的概念、函数零点与相应方程根的关系，是一节概念课．
（二）．地位分析
函数是中学数学的核心概念，核心的原因之一就在于函数与其他知识具有广泛的联系
性，而函数的零点就是其中的一个链结点，它从不同的角度，将数与形，函数与方程有机的联系在一起．
本节课是在学生学习了基本初等函数及其相关性质，具备初步的数形结合的能力基础之上，利用函数图象和性质来判断方程的根的存在性及根的个数，从而掌握函数在某个区间上存在零点的判定方法，为下节“用二分法求方程的近似解”和后续学习奠定基础．因此本节内容具有承前启后的作用，地位至关重要．
二、学情分析
高一学生已经学习了函数的概念，对初等函数的性质、图像已经有了一个比较系统的认识与理解．特别是对一元二次方程和二次函数在初中的学习中已是一个重点，对这块内容已经有了很深的理解，所以对本节内容刚开始的引入有了很好的铺垫作用，但针对高一学生，刚进人高中不久，学生的动手，动脑能力，以及观察，归纳能力都还没有很全面的基础上，在本节课的学习上还是会遇到较多的困难，所以我在本节课的教学过程中，从学生已有的经验出发，环环紧扣提出问题引起学生对结论追求的愿望，将学生置于主动参与的地位．
三.教学目标分析
1．知识与技能
（1）通过课前练习使学生回顾一元二次方程的解法及有解的条件。
（2）通过探究让学生理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.
（3）由方程的根与函数的零点的探究，培养转化化归思想和数形结合思想.
2．过程与方法
由一元二次方程的根与一元二次函数的图象与x轴的交点情况分析，导入零点的概念，引入方程的根与函数零点的关系，从而培养学生的转化化归思想和探究问题的能力.
3．情感、态度与价值观
在体验零点概念形成过程中，体会事物间相互转化的辨证思想，享受数学问题研究的乐趣.
四、教学重点与难点分析
重点：理解函数零点的概念，掌握函数零点与方程根的求法.
难点：数形结合思想，转化化归思想的培养与应用.
五、教学方法分析
在相对熟悉的问题情境中，通过学生自主探究，合作交流中完成的学习任务.尝试指导与自主学习相结合.
教学过程
教学
环节
教学内容师生互动设计意图
课前练习5 解方程：
1、x–3=0
2、–2x+5=0
3、x2– 2x–3 = 0
4、x2– 2x + 1 = 0。
5、x2– 2x + 3 =0
学生笔算
回忆
方程的解
法
引入探究8 1观察下列三组方程与函数
方程函数
x2–2x–3 = 0 y=x2–2x–3
x2–2x+1 = 0 y=x2–2x+1
x2–2x+3 = 0 y=x2–2x+3
利用函数图象探究方程的根与
函数图象与x轴的交点之间的
关系
2.一元二次方程的根与二次函
数的关系
对于二次函数y= ax2+ bx+ c
与二次方程ax2 + bx + c=0，其
判别式△= b2– 4ac
判别
式
方程ax2 + bx
+ c = 0的根
函数y = ax2 +
bx + c与X轴
的交点
△＞0 两不相等实根两个
△=0 两相等实根一个
△＜0 没有实根没有
师生合作
师：方程x2– 2x–3 = 0的根为–1，3函数y = x2
– 2x– 3与x轴交于点(–1，0) (3，0)
生：x2– 2x + 1 = 0有两个相等根为1.
函数y= x2– 2x + 1与x轴有唯一交点(1，0).
x2– 2x + 3 = 0没有实根
函数y = x2– 2x + 3与x轴无交点
以旧
引新，导
入课题
概念形成与理解10 1.零点的概念
对于函数y=f (x),称使y=f (x)= 0
的实数x为函数y=f (x)的零点
判别
式
方程ax2 + bx
+ c = 0的根
函数y = ax2 +
bx + c的零点
△＞0 两不相等实根两个零点
△=0 两相等实根一个零点
△＜0 没有实根没有零点
小结：.函数的零点与方程根的
关系
方程f (x) = 0有实数根⇔函数
y = f (x)的图象与x轴有交点⇔
函数y = f (x)的零点
师:我们通俗地称函数与x轴交点的横坐标为
函数的零点。
学生思考：函数()
y f x
=的零点、方程
()0
f x=的实数根、函数()
y f x
=的图象与x
轴交点的横坐标，三者有什么关系？
师：举例说明
练习一：
生：图一：x = -4和x = 1
图二：x = -6和x = 1
练习二：
归纳总结
感知概念
分析特征
形成概念
练习一：看图说出函数的零点
练习二.利用函数图象求函数的
零点
1）y=2x－1
2）y = lg x
3）y=x2－4x +3
1）2）
3）
概念深化2 引导学生回答下列问题（小结）
①如何求函数的零点？
②零点与图象的关系怎样？
师生合作，学生口答，老师点评，老师举例
（y=x+1的零点如何求）阐述
生
①零点即函数为零对应的自变量的值,零点即
对应方程的根，求零点可转化为求方程的根
②零点即函数图象与x轴交点的横坐标
以问题讨
论代替老
师的讲援
应用举例12 练习三：利用解方程求函数的零
点
①y=x －3 ②y= log2(x+ 1)
③y = 2x– 2 ④244
y x x
=-+
练习四：已知函数f(x)=x2-ax+1,
若f(x)在R上只有一个零点，则
a= ；若f(x)在R上有2
个零点，则a的取值范围是
学生自主尝试练习完成练习
练习解析：
练习一：生：①y = x —3的零点是x = 3
②y = lg2(x + 1)的零点是x=0
③y = 2x– 2的零点是x = 1
④244
y x x
=-+的零点是x = 2
练习二：±2；a<-2或a>2
让学生动
手练习，
加深对概
念的说
明，培养
思维能力
归纳总结3 （1）知识方面
零点的概念、求法、判定
（2）数学思想方面
函数与方程的相互转化，即转化
思想
借助图象探寻规律，即数形结合
思想
学生归纳，老师补充、点评、完善
师：小结：
（1）找零点的方法：看图、画图、解方程
（2）转化化归思想和数形结合的思想
回顾、反
思、归纳
知识，提
高自我整
合知识的
能力
课后作业1、函数
22
()(2)(32)
f x x x x
=--+的零
点个数为（）.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2、函数220
y x x
=-++的零点
为.
3.、求函数y = –x2– 2x + 3的零
点，并指出y＞0，y = 0时x的
学生独立完成
固化
知识，提
升能力
