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第八章立体几何
§8.1空间几何体的结构、三视图和直观图
1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．
2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．
3．会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．高考主要考查空间几何体的结构和视图，柱、锥、台、球的定义与性质是基础，以它们为载体考查线线、线面、面面的关系是重点，三视图一般会在选择题、填空题中考查，以给出空间图形选择其三视图或给出三视图判断其空间图形的形式出现，考查空间想象能力．
1．棱柱、棱锥、棱台的概念
(1)棱柱：有两个面互相______，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．※注：棱柱又分为斜棱柱和直棱柱．侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．
(2)棱锥：有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的__________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．
※注：如果棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥．
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，叫做棱台．
※注：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
※2.棱柱、棱锥、棱台的性质
(1)棱柱的性质
侧棱都相等，侧面是______________；两个底面与平行于底面的截面是__________的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是______________；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面、对角面都是________．
(2)正棱锥的性质
侧棱相等，侧面是全等的__________；棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影构成一个____________；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也构成一个____________；侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个____________；侧棱在底面上的射影、斜高在底面上的射影及底面边长的一半也构成一个____________．
(3)正棱台的性质
侧面是全等的____________；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个____________；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个____________；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个____________．
3．圆柱、圆锥、圆台
(1)圆柱、圆锥、圆台的概念
分别以________的一边、__________的一直角边、________中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．
(2)圆柱、圆锥、圆台的性质
圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是________、___________、___________；平行于底面的截面都是__________．
4．球
(1)球面与球的概念
以半圆的______所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的________．
(2)球的截面性质
球心和截面圆心的连线________截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为______________．
5．平行投影
在一束平行光线照射下形成的投影，叫做__________．平行投影的投影线互相__________．6．空间几何体的三视图、直观图
(1)三视图
①空间几何体的三视图是用正投影得到的，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的．三视图包括__________、__________、__________．
②三视图尺寸关系口诀：“长对正，高平齐，宽相
等．” 长对正指正视图和俯视图长度相等，高平齐指
正视图和侧(左)视图高度要对齐，宽相等指俯视图和
侧(左)视图的宽度要相等．
(2)直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规
则是：
①在已知图形所在空间中取水平面，在水平面内
作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOz＝
________且∠yOz＝________．
②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的轴O′x′，
O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝____________，∠x′O′z′＝
____________．x′O′y′所确定的平面表示水平面．
③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，
在直观图中分别画成____________x′轴、y′轴或z′轴的
线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形
中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．
④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观
图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来
的__________．
⑤画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得
到了空间图形的直观图．
注：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和
投影效果上的区别是：(1)观察角度：三视图是从三个
不同位置观察几何体而画出的图形，直观图是从某一
点观察几何体而画出的图形；(2)投影效果：三视图是
在平行投影下画出的平面图形，用斜二测画法画出的
直观图是在平行投影下画出的空间图形．
【自查自纠】
1．(1)平行四边形平行
(2)多边形三角形
2．(1)平行四边形全等平行四边形矩形
(2)等腰三角形直角三角形直角三角形
直角三角形直角三角形
(3)等腰梯形直角梯形直角梯形
3．(1)矩形直角三角形直角梯形
(2)矩形等腰三角形等腰梯形圆
4．(1)直径球心(2)垂直于d＝R2－r2
5．平行投影平行
6．(1)①正(主)视图侧(左)视图俯视图
(2)①90°90°②45°(或135°)90°
③平行于
④一半
下列说法中正确的是()
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D
解：根据棱柱、棱锥的性质及截面性质判断，故
选D.
以下关于几何体的三视图的论述中，正确的
是()
A
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D
解：几何体的三视图要考虑视角，只有球无论选
择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．故选A.
(2012·陕西)将正方体(如图a所示)截去两个
三棱锥，得到图b所示的几何体，则该几何体的侧视
图为()
解：还原正方体知该几何体侧视图为正方形，AD1
为实线，B1C的正投影为A1D，且B1C被遮挡为虚线．故
选B.
用一张4cm×8cm的矩形硬纸卷成圆柱的侧
面，则圆柱轴截面的面积为________cm2(接头忽略不
计)．
解：以4cm或8cm为底面周长，所得圆柱的轴截
面面积均为
32
πcm
2，故填32
π．
已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC
的平面直观图△A′B′C′的面积为________．
解：如图所示是实际图形和直观图．
由图可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝
1
2OC＝
3
4a，在
图中作C′D′⊥A′B′，垂足为D′，
则C′D′＝
2
2O′C′＝
6
8a.
∴S△A′B′C′＝
1
2A′B′×C′D′＝
1
2×a×
6
8a＝
6
16a
2.
