高考中线性规划专题
纵观近几年高考试题，线性规划问题是每年的必考内容。题型多以选择题、填空题出现，它是直线方程在解决实际问题中的运用，特别是含参数线性规划问题，与数学中的其它知识结合较多，题目灵活多变，要引起高度重视. 近三年全国卷是这样考
1.(2015·新课标全国卷Ⅰ理科·T15)若x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≤-≥-0400
1y x y x x 则y x 的最大值
为 .
2.(2015·新课标全国卷Ⅰ文科·T15)若x,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪-+≥⎩
则z=3x+y 的最大
值为 .
3.(2015·新课标全国卷Ⅱ理科·T14)若x,y 满足约束条件则z=x+y 的最大值
为 .
4.(2015·新课标全国卷Ⅱ文科·T4)若x,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪
--≥⎨⎪-+≤⎩
则z=2x+y 的最大值
为 .
5. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考文科数学·T9) 设x,y 满足约束条件1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
则z=x+2y
的最大值为( )
A.8
B.7
C.2
D.1
6. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T9)设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-≤⎧⎪
-+≤⎨⎪--≥⎩
则z=2x-y
的最大值为 ( ) A.10 B.8 C.3 D.2
7.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T9)已知a>0,x,y 满足约束条件
()133x x y y a x ⎧≥⎪
+≤⎨⎪≥-⎩
若z=2x+y 的最小值为1,则a= ( ) A.14 B. 1
2
C.1 D .2
8.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ3）设,x y 满足约束条件
10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =-的最小值是（ ） A.7- B.6- C.5- D.3- 9．（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ14）设x ，y 满足约束条件
⎩
⎨
⎧≤-≤-≤≤013
1y x x ，则y x z -=2的最大值为______. 10. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ15）若x y 、满足约束条件
0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
则z x y =-+的最小值为 . 11.（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
所
表示的平面区域为.D 若直线
()1y a x D a =+与有公共点，则的取值范围是 .
含参问题的探究 一、恒过“定点”问题
例1.（2009福建，9）在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≥-+010
101y ax x y x （a 为参数）所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 （ ） A ．5- B. 1 C. 2 D. 3
解析：作出不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≥-+01010
1y ax x y x 所围成的平面区域。如图（1）所示
由题意可知，公共区域的面积为2 ∴4=AC
∴C 的坐标为)4,1(，代入01=+-y ax
得3=a ，故选D .
图（1）
点评：该题在作可行域时，若能抓住直线方程01=+-y ax 中含有参数a 这个特征，迅速与“直线系”产生联系，就会明确01=+-y ax 可变形为ax y =-1的形式，则此直线必过定点)1,0(，此时，可行域的“大致”情况就可以限定，再借助于题中的其它条件，就可轻松获解。
规律总结：当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中
的条件进行全方面分析才能准确获得答案。 二、恒成立问题
例2.（2008浙江，17）若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥100y x y x 时，恒有1≤+by ax ，
则以b a ,为坐标的点),(b a P 所成的平面区域的面积是 （ ） A.
21 B. 4π C. 1 D. 2
π
解析：作出满足条件⎪⎩⎪
⎨⎧≤+≥≥100
y x y x 的点),(y x 的可行域，如图（2）所示.
0,0≥≥b a ，
且恒有1≤+by ax ，
结合直线1=+by ax ，与可行域可知:
11
11≥≥b
a 且 11≤≤∴
b a 且
∴点),(b a P 所成的平面区域如图（3）.
故所形成的平面区域的面积是1.故选C 。
图（2） 图（3）
点评：正确解答此题的关键是：“恒有1≤+by ax ”的巧妙运用，因1≤+by ax 中含有两个参数两个变量，故用“恒成立”的“数值解法”
比较困难，只能用“图形控制”来解答；根据“恒有1≤+by ax ”的“图形控制”先求b a ,的约束条件，再画出其约束的平面区域，是正确解答此题的突破口。
规律总结：在线性规划问题可行域下的恒成立问题，一定要结合“可行域”将“恒成立”加以控制，使之转化为平面区域间关系的恒成立，再进行解答就轻松多了。 三、“动”“静”结合问题
例3.（2006广东.9）在约束条件⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200
x y s x y x y 下，当53≤≤s 时，目标函
数y x z 23+=的最大值的变化范围是 （ ） A.[6，15] B.[7,15] C.[6,8] D.[7,8]
解析：当54≤≤s 时，约束条件所表示的可行域就是42=+x y 与x 轴、
y 轴在第一象限围成的三角形区域，
∴直线y x z 23+=过点)4,0(时，z 取最大值，
8max =∴z
当43<≤s 时，直线y x z 23+=过s x y =+与42=+x y 的交点时，z 取得最大，结合图形分析，此时，当3=s ，z 的最大值中的最小值为7. 故答案为D 。
