限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级基础夯实练
1．(2018·聊城二模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()
A．y＝x3B．y＝ln(－x)
C．y＝x e－x D．y＝x＋2 x
解析：选D.由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数；A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)；D选项中的函数既为奇函数又存在极值．
2．函数f(x)＝x2－5x＋2e x的极值点所在的区间为()
A．(0，1) B．(－1，0)
C．(1，2) D．(－2，－1)
解析：选A.∵f′(x)＝2x－5＋2e x为增函数，f′(0)＝－3＜0，f′(1)＝2e－3＞0，
∵f′(x)＝2x－5＋2e x的零点在区间(0，1)上，∴f(x)＝x2－5x＋2e x 的极值点在区间(0，1)上．
3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1，2)，则()
A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值
B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值
C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值
D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值
解析：选C.当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．
当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧f ′(x )＜0， 当x ＞1时，f ′(x )＞0，
∴f (x )在x ＝1处取得极小值．故选C.
4．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x
的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )
解析：选D.因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.
5．(2018·山东临沂模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时，
f (x )＝ln x －ax ⎝
⎛⎭
⎪⎫a ＞12，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( )
A.14 B ．13
C.12
D ．1
解析：选D.因为f (x )是奇函数，所以f (x )在(0，2)上的最大值为－1.当x ∈(0，2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0，得x ＝1a ，又a ＞1
2
，所
以0＜1a ＜2.当x ＜1a 时，f ′(x )＞0，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增；当x ＞1
a 时，
f ′(x )＜0，f (x )在⎝
⎛⎭
⎪⎫1a ，2上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a
＝ln 1a －a ·1
a
＝－1，解得a ＝1.
6．已知函数f (x )＝2f ′(1)ln x －x ，则f (x )的极大值为________． 解析：因为f ′(x )＝2f ′（1）x －1，所以f ′(1)＝2f ′(1)－1，所以f ′(1)
＝1，故f (x )＝2ln x －x ，f ′(x )＝2
x －1＝2－x x ，则f (x )在(0，2)上为增函
数，在(2，＋∞)上为减函数，所以当x ＝2时f (x )取得极大值，且f (x )
极大值＝f (2)＝2ln 2－2.
答案：2ln 2－2
7．(2018·大同模拟)f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．
解析：f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6，若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )＞0⇒x ＜2
3
或x ＞2，f ′
(x )＜0⇒2
3＜x ＜2，故函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23及(2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪
⎫23，2上单调递减，所以x ＝2是极小值点，故c ＝2(不合题意，舍去)，c ＝6.
答案：6
8．不等式e x ≥kx 对任意实数x 恒成立，则实数k 的最大值为________．
解析：(1)不等式e x ≥kx 对任意实数x 恒成立，即为f (x )＝e x －kx ≥0恒成立，即有f (x )min ≥0，
由f (x )的导数为f ′(x )＝e x －k ，
当k ≤0时，e x ＞0，可得f ′(x )＞0恒成立，f (x )递增，无最值； 当k ＞0时，x ＞ln k 时f ′(x )＞0，f (x )递增；x ＜ln k 时f ′(x )＜0，f (x )递减．
即在x ＝ln k 处取得最小值，且为k －k ln k ， 由k －k ln k ≥0，解得k ≤e ，即k 的最大值为e. 答案：e
9．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x
(a ＞0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零
点为－3和0.
(1)求f (x )的单调区间．
(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f ′(x )＝（2ax ＋b ）e x －（ax 2＋bx ＋c ）e x （e x ）
2
