海淀区初三数学第一学期期末考试参考答案

考生 海淀初三第一学期期末学业水平调研数学2018． 1学校 姓名准考证号1．本试卷共 8 页，共三道大题， 28 道小题，满分 100 分。

考试时间 120 分钟。

2．在试卷和答题卡上正确填写学校名称、班级和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

须4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

知5．考试结束，将本试卷、答题卡和稿本纸一并交回。

一、选择题 （本题共 16 分，每题2 分）第 1-8 题均有四个选项，吻合题意的选项只有一个 ．．．1．抛物线 y22 的对称轴是x 1A ． x1B ． x 1C ． x 2D ． x 22．在△ ABC 中，∠ C90°．若 AB 3， BC 1，则 sin A 的值为A ．1B ．2 2C ．2 2D ． 333B3．如图，线段 BD ， CE 订交于点 A ， DE ∥ BC ．若 AB4， AD 2， DE 1.5，E则 BC 的长为AA ．1B ．2CDC ．3D ．44．如图，将△ ABC 绕点 A 逆时针旋转100 °，获取△ ADE ．若点 D 在线段ABC 的延长线上，则 B 的大小为EA ．30°B ．40°C ．50°D ．60°BCD5．如图，△ OAB ∽△ OCD ，OA:OC 3:2，∠ A α，∠ C β，△ OAB 与△ OCD 的面积分别是 S 1和 S 2，△OAB 与△ OCD 的周长分别是 C 1 和 C 2 ，则以低等式必然建立的是OB 3 3A ．2 B ．CD2C DOAB S 1 3C 1 3C ．D ．S 22 C 2 2y6．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从（ 3，4）出发，绕点 O 顺时针5 A M4 旋转一周，则点 A 不经过3．2A ．点 M1QB ．点 NO1 2 3 4 5 6 x–6–5–4–3–2–1C ．点 P–1–2PD ．点 Q–3N–4–5 7．如图，反比率函数yk的图象经过点A （ ， ），当 y 1 时， x 的取值x4 1范围是A ． x 0 或 x 4B ． 0 x4C ． x4D ． x 4yA1O4x8．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B ，小兰从点 C 出发，以相同的速度沿⊙ O 逆时针运动一周回到点 C ，两人的运动路线如图 1 所示，其中 AC DB ．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，此间他们与点 C 的距离 y 与时间 x （单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则以下说法正确的选项是yA CODO 1.097.49 9.68B图 1图 2A ．小红的运动行程比小兰的长B ．两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时辰相遇C ．当小红运动到点D 的时候，小兰已经经过了点 D D ．在 4.84 秒时，两人的距离正好等于⊙ O 的半径A CO DB17.12 x二、填空题 （本题共 16 分，每题 2 分）9．方程 x 22x 0 的根为．10．已知∠ A 为锐角，且 tan A3 ，那么∠ A 的大小是°．yx=111．若一个反比率函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，则此反比率函数表达式可以是．（写出一个即可）12．如图，抛物线 y ax 2bx c 的对称轴为 x1 ，点 P ，点 Q 是抛物线与 xPxO轴的两个交点，若点 P 的坐标为（ 4， 0），则点 Q 的坐标为．13．若一个扇形的圆心角为 60°，面积为 6π，则这个扇形的半径为．14．如图， AB 是⊙ O 的直径， PA ，PC 分别与⊙ O 相切于点A ，点 C ，若∠ P60°，PA3，则 AB 的长为．BCOA P15．在同车道行驶的灵巧车，后车应当与前车保持足以采用紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为 10m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车随从大巴车行驶．设小张距大巴车尾 x m ，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8m ，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m ，若小张能看到整个红灯，则x 的最小值为．红黄 3.2m 绿0.8m20m10mx m交通 停止线信号灯16． 下面是“作一个 30 °角”的尺规作图过程．已知：平面内一点A ．求作： ∠ A ，使得 ∠ A 30°．D作法：如图，（1）作射线 AB ；AO C B（2）在射线 AB 上取一点 O ，以 O 为圆心， OA 为半径作圆， 与射线AB 订交于点 C ；（ 3）以 C 为圆心， OC 为半径作弧，与 ⊙ O 交于点 D ，作射线 AD ．∠ DAB 即为所求的角 ．请回答： 该尺规作图的依照是．三、解答题 （本题共 68 分，第 17~22 题，每题5 分；第 23~26 小题，每题6 分；第 27~28 小题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算： 2sin 30 ° 2cos 45 ° 8 ．18．已知 x1 是关于 x 的方程 x2 mx 2m 20 的一个根，求 m(2 m 1) 的值．19．如图，在△ ABC 中，∠ B 为锐角，AB 32 ，AC3，求 BC 的长．5， sin C5ABC20．码头工人每天往一艘轮船上装载30 吨货物，装载达成恰好用了8 节气间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为v （单位：吨/天），卸货天数为t ．（ 1）直接写出v 关于 t 的函数表达式：v=；（不需写自变量的取值范围）（ 2）若是船上的货物5 天卸载达成，那么平均每天要卸载多少吨？21．如图，在△ ABC 中， ∠B 90°， AB4， BC 2，以AC为边作△ ACE ，∠ACE90°， AC=CE ，延长BC至点D ，使 CD5，连接 DE ．求证：△ ABC ∽△ CED ．AEBCD22．古代阿拉伯数学家泰比特为直角，图 3 中BAC ·伊本 ·奎拉对勾股定理进行了实行研究：为钝角）．如图（图 1 中BAC 为锐角，图2 中BACAAABC' B' CBB'(C') CB B' C'C图 1图 2图 3在△ ABC 的边 BC 上取 B ， C 两点，使AB BAC CBAC ，则 △ABC ∽ △B BA ∽ △C AC ，AB AC ，进而可得 22；（用 BB ， CC ， BC 表示）BBAB，ABACC CAC若 AB=4， AC=3， BC=6，则 B C．23．如图，函数 yk（ x0 ）与 y axb 的图象交于点 A （ -1， n ）和点 B （ -2， 1）．x（ 1）求 k， a， b 的值；（ 2）直线x m 与y k（x 0）的图象交于点P，与y x 1的图象交于点Q，当PAQ 90 时，x直接写出 m 的取值范围．yABO x24．如图， A， B， C 三点在⊙ O 上，直径BD 均分∠ ABC，过点 D 作 DE ∥ AB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的延长线上取一点 F ，使得 EF DE．（1）求证： DF 是⊙ O 的切线；（2）连接 AF 交 DE 于点 M ，若 AD 4， DE 5，求 DM 的长．ADOB EC F25．如图，在△ ABC 中，ABC 90 ， C 40 °，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转50°至AD，连接BD．已知 AB 2cm，设 BD 为 x cm， B D为 y cm．AD'B D C小明依照学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了研究，下面是小明的研究过程，请补充完满．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）（ 1）经过取点、画图、测量，获取了x 与y的几组值，以下表：x / cm00.50.7 1.0 1.5 2.0 2.3y / cm 1.7 1.3 1.10.70.9 1.1（ 2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．y21O12 3 x（ 3）结合画出的函数图象，解决问题：线段 BD 的长度的最小值约为__________ cm ；若 BD BD ，则 BD 的长度x的取值范围是_____________．26．已知二次函数y ax24ax3a ．（ 1）该二次函数图象的对称轴是x；（ 2）若该二次函数的图象张口向下，当1x 4 时，y的最大值是2，求当 1x 4 时，y的最小值；（ 3）若关于该抛物线上的两点P( x1，y1 )， Q( x2， y2 ) ，当 t x1t +1， x25时，均满足 y1 y2，请结合图象，直接写出t 的最大值．27．关于⊙ C 与⊙ C 上的一点A，若平面内的点P 满足：射线AP 与⊙ C 交于点 Q（点 Q 可以与点P 重合），且．．PA 12 ，则点 P 称为点 A 关于⊙ C 的“生长点” ．QA已知点 O 为坐标原点，⊙ O 的半径为 1，点 A （ -1， 0）．（ 1）若点 P 是点 A 关于⊙ O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个吻合条件的点 P 的坐标 ________；（ 2）若点 B 是点 A 关于⊙ O 的“生长点” ，且满足 tan BAO1，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；2（ 3）直线 y3x b 与 x 轴交于点 M ，与 y 轴交于点 N ，若线段 MN 上存在点 A 关于⊙ O 的“生长点” ，直接写出 b 的取值范围是 _____________________________ ．yy5 5 4 4 3 3 2211AxAxOO–3–2–112345–3–2–1 12345–1 –1 –2 –2 –3 –3 –4 –4 –5 –5 –6–628．在△ ABC 中，∠ A90°， AB AC．（ 1）如图 1，△ ABC 的角均分线 BD ，CE 交于点 Q，请判断“QB2QA ”可否正确：________（填“是”或“否”）；（ 2）点 P 是△ ABC 所在平面内的一点，连接PA， PB，且 PB2PA．①如图 2，点 P 在△ ABC 内，∠ ABP30°，求∠ PAB 的大小；②如图 3，点 P 在△ ABC 外，连接 PC，设∠ APCα，∠ BPC β，用等式表示α，β之间的数量关系，并证明你的结论．A A AE Q D PPB C B C B C图 1图 2图 3初三第一学期期末学业水平调研数学参照答案及评分标准2018． 1一、选择题（本题共16 分，每题 2 分）12345678B AC BD C A D二、填空题（本题共16 分，每题 2 分）9．0或210． 6011．y 1（答案不唯一）12．（2， 0）13．614． 215．10x16．三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；或：直径所对的圆周角为直角，三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是60°，直角三角形两个锐角互余；或：直径所对的圆周角为直角，sin A 1 ， A 为锐角， A 30.2三、解答题（本题共68 分，第 17~22 题，每题 5 分；第 23~26 小题，每题 6 分；第 27~28 小题，每题 7分）17．解：原式 =2122 2 222=1222=1218．解：∵x 1 是关于x的方程x2mx 2m20 的一个根，∴ 1 m 2m2 0.∴2m2 m 1.∴m(2 m 1) 2m2m 1 .19．解：作 AD⊥BC 于点 D，∴ ∠ ADB =∠ ADC=90°.∵ AC=5，sin C 3 ，5∴ AD AC sin C 3 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分∴在 Rt△ACD 中，CD AC2AD 2 4 .∵ AB 3 2，∴在 Rt△ABD 中，BD AB 2AD 23.∴ BC BD CD7 .20．解：（1）240.t240（ 2）由意，当t 5 ，v48 .t答：平均每天要卸48 吨.21．明：∵∠ B=90°，AB=4，BC=2，∴AC AB2BC2 2 5.∵CE=AC，∴CE 25.∵CD=5，∴AB AC.CE CD∵ ∠ B=90°，∠ ACE=90°，∴ ∠ BAC+ ∠BCA=90°，∠ BCA+∠ DCE=90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分AB C D⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分AEB C D ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴ ∠ BAC=∠DCE.∴ △ ABC∽△ CED . 22．BC，BC，BC BB CC11623．解：（ 1）∵ 函数y k（ x0）的象点B（- 2，1），kx1，得k 2 .∴2k（ x∵函数 y0）的象点A（ - 1， n），x∴ n22，点A的坐（- 1，2）.1∵函数 y ax b 的象点A和点B，a b2,a1,∴解得b 3.2a b 1.（ 2）2 m0 且 m1.24．（ 1）明：∵BD 均分∠ ABC，∴ ∠ABD=∠CBD .∵DE∥ AB，∴ ∠ABD=∠BDE .∴ ∠CBD=∠BDE .∵ED=EF，∴ ∠EDF=∠EFD .∵∠ EDF +∠ EFD+∠ EDB+∠ EBD=180 °，∴ ∠BDF=∠BDE +∠EDF =90°.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分∴ OD⊥DF.⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分∵ OD 是半径，∴ DF 是⊙ O 的切 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分（2）解：接DC，∵BD 是⊙ O 的直径，∴ ∠BAD=∠BCD =90°.∵∠ABD=∠CBD ，BD=BD，∴ △ABD≌△ CBD.∴CD=AD=4， AB=BC.∵DE=5，ADMOBE C F∴CE DE2DC23，EF =DE=5.∵ ∠CBD =∠BDE ，∴BE=DE=5.∴BF BE EF 10， BC BE EC 8.∴ AB=8.⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分∵DE ∥AB，∴ △ABF∽△ MEF .∴AB BF.ME EF∴ME=4.∴DM DE EM 1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分25．（ 1） 0.9.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分（ 2）如右所示 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分（ 3） 0.7，⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分0 x 0.9 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分y21O12 3 x26．解：（1）2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分（ 2）∵ 二次函数的象张口向下，且称直x 2 ，∴当 x 2 ，y取到在 1 x 4 上的最大 2.∴4a 8a 3a 2 .∴ a 2 ，y2x28x 6 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分∵当 1 x 2 ，y随x的增大而增大，∴当 x 1 ，y取到在 1 x 2上的最小 0 .∵当 2 x 4 ，y随x的增大而减小，∴ 当 x4 ， y 取到在 2 x 4 上的最小6 .∴ 当 1 x 4 ， y 的最小 6 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分（3）4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分27．解：（ 1）（ 2， 0） (答案不唯一 ). ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分（ 2）如 ，在 x 上方作射AM ，与⊙ O 交于 M ，且使得 tanOAM1，并在AM 上取点 N ，使2AM=MN ，并由 称性，将 MN 关于 x 称，得 M N ， 由 意， 段 MN 和 M N 上的点是 足条件的点 B.y作 MH ⊥ x 于 H ， 接 MC ，∴ ∠ MHA =90°，即∠ OAM+∠ AMH =90°.∵ AC 是⊙ O 的直径，∴ ∠ AMC =90°，即∠ AMH +∠ HMC =90°.∴ ∠OAM=∠HMC . ∴ tan HMC tan OAM1 .2NMAOH CxM'N'∴MH HC 1.HAMH 2 1y ， MHy ， AH 2 y ， CH2∴ ACAHCH5y 2 ，解得 y4，即点 M 的 坐 4.258 ， 5又由 AN 2AM ， A （ -1，0），可得点 N 的 坐故在 段 MN 上，点 B 的 坐 t 足：48 .5t⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分5584.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分由 称性，在 段 M N 上，点 B 的 坐 t 足：t84 或 4 58 . 5∴ 点 B 的 坐 t 的取 范 是t t5 5 55（3）43b1或 1 b 43 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分28．解：（1）否 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1 分（2）① 作 PD ⊥AB 于 D ， ∠ PDB=∠PDA=90°，∵ ∠ ABP=30°，A∴ PD1BP .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分D2P∵ PB 2PA ，BC∴ PD2PA .2∴ sinPD 2PAB.PA2由∠ PAB 是 角，得∠ PAB=45° .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分另：作点P关于直AB 的称点P' ，接 BP ',P'A,PP ' ，P'BAPBA, P'ABPAB,BP' BP, AP 'AP .∵∠ ABP=30°，∴ P'BP 60 .∴△ P ' BP 是等 三角形 .∴ P'P BP .∵ PB 2PA ，∴ P'P2PA .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分∴ P'P 2 PA 2 P'A 2 .∴ PAP' 90 .∴PAB 45 .⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分②45 ， 明以下：⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分作 AD ⊥AP ，并取 AD=AP ， 接 DC ，DP.∴ ∠ DAP=90°.∵ ∠ BAC=90°，∴ ∠BAC+∠CAP=∠DAP +∠CAP, 即 ∠BAP=∠CAD.∵ AB=AC ， AD=AP ， ∴ △ BAP ≌△ CAD . D1 3AP'A2PEBCPB C∴∠1=∠ 2，PB=CD.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分∵ ∠ DAP=90°， AD=AP，∴PD2PA，∠ADP=∠APD=45°.∵PB2PA ，∴PD=PB=CD.∴∠DCP=∠DPC .∵ ∠ APCα，∠ BPCβ，∴DPC45，12.∴ 3 1802DPC90 2 .∴ADP1 3 9045 .∴45.⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分。

由题意可知∠1=45°.
∴ .
∴ .
∵ ,
∴
∵ ， ，
∴ .
∴四边形ACFH是矩形.
∴ .
∵
∴ .
∴ .
又∵
∴ .
∴ .
∴ .
∵ B，Q关于点D对称，
∴
∴
∴F为DQ中点.
∴PF垂直平分DQ.
∴PQ=PD.
（3） .
28．（1）解：P1，3；
（2）解：直线ON与点M的 倍相关圆的位置关系是相切.
证明：设点M的坐标为（x，0），过M点作MP⊥ON于点P，
∵OC= AB，
∴OC=5.
∴OF=OC-CF=3.
∵O为直径AB中点，F为线段BE中点，
∴AE=2OF=6.
26．解：（1）①1；
②m>2或m<0;
（2）∵抛物线G： 的对称轴为x=1，且对称轴与x轴交于点M，
∴点M的坐标为（1，0）.
∵点M与点A关于y轴对称，
∴点A的坐标为（-1，0）.
∵点M右移3个单位得到点B,
∴汽车的速度v与时间t的函数关系为 ．
(2)由 ,得 .
又由题知: ，
∴ .
∵
∴ .
∴ .
答:返程时的平均速度不能低于96km/h.
20．（1）证明：连接OC.
∵ ,
∴ .
∵ ,
∴ .
（2）解：∵
∴
∵
∴ .
∵ ,
∴ .
∴
∴ .
同理可得 .
∴
21.（1）证明：
．
∵ ，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：依题意，
方法二：（1）由题意列表
小林
小华

初三第一学期期末学业水平调研数学2019．01 学校___________________ 姓名________________ 准考证号__________________一、选择题（本题共16分，每小题2分）1．抛物线213y x的顶点坐标为A．1,3B．1,3C．1,3D．3,12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点43P，，OP与x轴正半轴的夹角为α，则tan 的值为A．35B．45C ．34D．433．方程230x x的根的情况是A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根4．如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A B C，当B，C，A在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为A．150°B．120°C．60°D．30°5．如图，在平面直角坐标系xOy中，B是反比例函数2(0)y xx的图象上的一点，则矩形OABC的面积为B'A'CAA ．1B ．2C ．3D ．46．如图，在ABC △中，DE BC ∥，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ， 若:=2:3AD AB ，则△ADE 和△ABC 的面积．．之比等于 A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．2:37．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm ，双翼的边缘==AC BD 54cm ，且与闸机侧立面夹角PCA BDQ ∠=∠=30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为图1 图2 A ．(543+10)cmB ．(542+10)cmC ．64cmD ． 54cm8．在平面直角坐标系xOy 中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是 A ．1y B.2y C ．3y D.4y二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．方程230x x -=的根为．10．半径为2且圆心角为90°的扇形面积为．11．已知抛物线的对称轴是x n =，若该抛物线与x 轴交于10（，），30（，）两点，则n 的值为．12．在同一平面直角坐标系xOy 中，若函数y x =与ky x=()0k ≠的图象有两个交点，则k 的取值范围是．EDC B Axyy 1y 4y 3y 2–1–2–3–4–5–61234–1–2–3–412345OQPBDC A 30°30°闸机箱闸机箱13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，有两点24A ，，40B ，，以原点O 为位似中心，把△OAB 缩小得到△OA B .若B '的坐标为20，，则点A '的坐标为．14．已知1(1)y ，，2(2)y ，是反比例函数图象上两个点的坐标，且12y y ，请写出一个符合条件的反比例函数的解析式．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点30A ，，判断在M N P Q ，，，四点中，满足到点O 和点A 的距离都小于2的点是 ．16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线2y 上的一个动点，⊙P 的半径为1，直线OQ 切⊙P 于点Q ，则线段OQ 的最小值为 ．三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分） 17．计算：0cos452sin302．18．如图，AD 与BC 交于O 点，A C ，4AO ，2CO ，3CD ，求AB 的长．19．已知x n 是关于x 的一元二次方程2450mx x 的一个根，若246mn n m ，求m 的值．20．近视镜镜片的焦距y （单位：米）是镜片的度数x （单位：度）的函数，下表记录了一ODCBA组数据：（1）在下列函数中，符合上述表格中所给数据的是_________；A ．1100yxB ．100yxC ．13+2002y xD ．21319400008008x yx（2）利用（1）中的结论计算：当镜片的度数为200度时，镜片的焦距约为________米． 21．下面是小元设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：如图，⊙O 及⊙O 上一点P .求作：过点P 的⊙O 的切线． 作法：如图，① 作射线OP ；②在直线OP 外任取一点A ，以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，与射线OP 交于另一点B；③连接并延长BA 与⊙A 交于点C ；④作直线PC ； 则直线PC 即为所求． 根据小元设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明：证明：∵ BC 是⊙A 的直径，∴∠BPC =90°（____________）（填推理的依据）． ∴OP ⊥PC ．又∵OP 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线（____________）（填推理的依据）．22．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海底隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上．如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得,PA PB 与观光船航向PD 的夹角∠DP A =18°，∠DPB =53°，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长． 参考数据：sin18°0.31≈，cos18°0.95≈，tan18°0.33≈，sin53°0.80≈，cos53°0.60≈，tan53° 1.33≈．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线12y x 与双曲线ky x的一个交点是(2,)A a ． （1）求k 的值；（2）设点()P m n ，是双曲线kyx上不同于A 的一点，直线PA 与x 轴交于点(,0)B b ． ①若1m ，求b 的值；②若=2PB AB ，结合图象，直接写出b 的值．24．如图，A ，B ，C 为⊙O 上的定点．连接AB ，AC ，M 为AB 上的一个动点，连接CM ，xy–1–2–3–4–512345–1–2–3–4–512345O将射线MC 绕点M 顺时针旋转90，交⊙O 于点D ，连接BD ．若AB =6cm ，AC =2cm ，记A ，M 两点间距离为x cm ，B D ，两点间的距离为y cm ．BA小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小东探究的过程，请补充完整： （1）通过取点．．、画图．．、测量．．，得到了x 与y 的几组值，如下表：的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当BD =AC 时，AM 的长度约为cm ．25．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OEAB ，P 为AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，CE 与AB 交于点F ． （1）求证：PC =PF ；（2）连接OB ，BC ，若//OB PC ，BC =3tan 4P =，求FB 的长.26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线G ：224844yx ax a ，(1,0),(,0)A N n -．（1）当1a 时，①求抛物线G 与x 轴的交点坐标；②若抛物线G 与线段AN 只有一个交点，求n 的取值范围；（2）若存在实数a ，使得抛物线G 与线段AN 有两个交点，结合图象，直接写出n 的取值范围．27．已知在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，直线l 经过点A （不经过点B 或点C ），点C 关于直线l 的对称点为点D ，连接BD ，CD ． （1）如图1，①求证：点,,B C D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上. ②直接写出∠BDC 的度数（用含α的式子表示）为___________.（2）如图2，当α=60°时，过点D 作BD 的垂线与直线l 交于点E ，求证：AE =BD ； （3）如图3，当α=90°时，记直线l 与CD 的交点为F ，连接BF ．将直线l 绕点A 旋转，当线段BF 的长取得最大值时，直接写出tan FBC 的值．图1 图2 图3BB28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,)A a 和点(0)B b ，，给出如下定义：以AB 为边，按照逆时针方向排列A ，B ，C ，D 四个顶点，作正方形ABCD ，则称正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形．例如，当4a ，3b 时，点A ，B 的逆序正方形如图1所示．图1 图2（1）图1中点C 的坐标为； （2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的坐标不变（填“横”或“纵”），它的值为；（3）已知正方形ABCD 为点A ，B 的逆序正方形.①判断：结论“点C 落在x 轴上，则点D 落在第一象限内．”______（填“正确”或“错误”），若结论正确，请说明理由；若结论错误，请在图2中画出一个反例；②⊙T 的圆心为(,0)T t ，半径为1.若4a ，0b ，且点C 恰好落在⊙T 上，直接写出t 的取值范围.备用图初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考2019．01一、选择题（本题共16分，每小题2分）第8题：二次函数a 的绝对值的大小决定图像开口的大小 ，︱a ︳越大，开口越小，显然a 1<a 2=a 3<a 4,，可知a 1最小。

初三第一学期期末学业水平调研 数学试卷答案及评分参考2019．01一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9．10x =，23x = 10．π 11．212．0k >13．()12，14．答案不唯一，如：1y x-=15．M N ，16三、解答题（本题共68分，第17~22题，每小题5分；第23~26题，每小题6分；第27~28题，每小题7分）解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程． 17．（本小题满分5分）解：原式1212-⨯+18．（本小题满分5分） 证明：∵A C ∠=∠，AOB COD ∠=∠， ∴AOB COD △∽△． ∴AO ABCO CD=．∵423AO CO CD ===，，，∴6AB =．19．（本小题满分5分）解：依题意，得2450mn n --=． ∴245mn n -=． ∵246mn n m -+=， ∴56m +=． ∴1m =． 20．（本小题满分5分）解：（1）B ． （2）0.50．21．（本小题满分5分）（1）补全的图形如图所示：（2）直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．22．（本小题满分5分） 解：在Rt DPA △中， ∵tan ADDPA PD∠=， ∴tan AD PD DPA =⋅∠． 在Rt DPB △中， ∵tan BDDPB PD∠=， ∴tan BD PD DPB =⋅∠．∴()tan tan AB BD AD PD DPB DPA =-=⋅∠-∠． ∵ 5.6AB =，53DPB ∠=°，18DPA ∠=°，∴ 5.6PD =．答：此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长为5.6千米．23．（本小题满分6分） 解：（1）∵直线12y x =经过点()2A a ，，∴1a =．∴()21A ，又∵双曲线ky x=经过点A ，∴2k =．（2）①当1m =时，点P 的坐标为()12，．∴直线PA 的解析式为3y x =-+．∵直线PA 与x 轴交于点()0B b ，， ∴3b =．②1b =或3．24．（本小题满分6分）解：本题答案不唯一，如：（1）（2）（3）1.38或4.62．说明：允许（1）的数值误差范围0.05±；（3）的数值误差范围0.2± 25．（本小题满分6分）（1）证明：如图，连接OC ．∵OE AB ⊥，∴90EGF ∠=°∵PC 与⊙O 相切于点C ，∴=90OCP ∠°．∴90E EFG OCF PCF ∠+∠=∠+∠=°． ∵OE OC =，∴E OCF ∠=∠． ∴EFG PCF ∠=∠． 又∵EFG PFC ∠=∠， ∴PCF PFC ∠=∠．∴PC PF =．（2）方法一：解：如图，过点B 作BH PC ⊥于点H ．∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=︒． ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=°． ∴45BCH OBC ∠=∠=°． 在Rt BHC △中，BC =，可得sin 45BH BC =⋅°3=，cos 45CH BC =⋅°3=． 在Rt BHP △中，3tan 4P =， 可得4tan BHPH P==．∴5BP ． ∴7PC PH CH =+=． ∴PF PC =．∴2FB PF PB PC PB =-=-=． 方法二：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=°． ∵OB OC =，∴45OBC OCB ∠=∠=°． 在Rt OBC △中，BC =， 可得sin 45OB BC =⋅°3=． ∴3OE OB ==． ∵GBO P ∠=∠，3tan 4P =， ∴3tan 4GBO ∠=． 在Rt GBO △中，tan OGGBO GB∠=，3OB =． ∴95OG =，125GB =．∴65EG OE OG =-=．在Rt CHP △中，tan CHP PH=，222CH PH PC +=． 设3CH x =，则4PH x =，5PC x =． ∵PC PF =，∴FH PF PH x =-=．∵EFG CFH ∠=∠，90EGF CHF ∠=∠= ，∴EGF △∽CHF △∴13FG FH EG CH ==． ∴1235FG EG ==．∴2FB GB FG =-=．方法三：解：如图，过点C 作CH AP ⊥于点H ，连接AC ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=︒．∴1452A BOC ∠=∠=°． 在Rt CHP △中，3tan 4CH P PH ==，设3CH x =，则4PH x =，5PC x =．在Rt AHC △中，45A ∠=°，3CH x =， ∴3AH CH x ==，AC =． ∴7PA AH PH x =+=．∵P P ∠=∠，45PCB A ∠=∠=︒， ∴PCB PAC △∽△． ∴PB PC BCPC PA AC==．∵BC =， ∴75x =，7PC =，5PB =． ∵PF PC =， ∴7PF =．∴2FB PF PB =-=． 方法四：解：如图，延长CO 交AP 于点M ． ∵OB PC ∥，90OCP ∠=︒，∴90BOC ∠=︒．在Rt OBC △中，BC =OB OC =，可得3OB =．∵MBO P ∠=∠，3tan 4P =，∴3tan 4MBO ∠=．在Rt MBO △中，3tan 4OM MBO OB ∠==，可得94OM =，154BM =． ∴214CM =． 在Rt PCM △中，3tan 4CM P PC ==， 可得7PC =，354PM =． ∴5PB PM BM =-=，7PF PC ==．∴2FB PF PB =-=．26．（本小题满分6分） 解：（1）①当1a =时，248y x x =-． 当0y =时，2480x x -=， 解得10x =，22x =．∴抛物线G 与x 轴的交点坐标为()00，，()20，． ②当0n =时，抛物线G 与线段AN 有一个交点． 当2n =时，抛物线G 与线段AN 有两个交点．结合图象可得02n ≤<．（2）3n ≤-或1n ≥．27．（本小题满分7分）（1）①证明：连接AD ，如图1． ∵点C 与点D 关于直线l 对称， ∴AC AD =． ∵AB AC =， ∴AB AC AD ==．∴点B C D ，，在以A 为圆心，AB 为半径的圆上．②12α．（2）证法一：证明：连接CE ，如图2．∵=60α°，∴1302BDC α∠==°． ∵DE BD ⊥，∴90CDE ∠=°60BDC -∠=°．lD A 图1lEDCBA图2∵点C 与点D 关于直线l 对称， ∴EC ED =．∴CDE △是等边三角形． ∴CD CE =，60DCE ∠=°． ∵AB AC =，60BAC ∠=°， ∴ABC △是等边三角形． ∴CA CB =，60ACB ∠=°．∵ACE DCE ACD ∠=∠+∠，BCD ACB ACD ∠=∠+∠， ∴ACE BCD ∠=∠． ∴ACE BCD △≌△．∴AE BD =．证法二：证明：连接AD ，如图2．∵点C 与点D 关于直线l 对称， ∴AD AC AE CD =，⊥．∴12DAE DAC ∠=∠． ∵12DBC DAC ∠=∠，∴DBC DAE ∠=∠． ∵AE CD ⊥，BD DE ⊥，∴90BDC CDE DEA CDE ∠+∠=∠+∠=°． ∴BDC DEA ∠=∠． ∵60AB AC BAC =∠=，°， ∴ABC △是等边三角形， ∴CA CB AD ==． ∴BCD △≌ADE △∴AE BD =．（3）13．28．（本小题满分7分） 解：（1）图1中点C 的坐标为() 13 -，．（2）改变图1中的点A 的位置，其余条件不变，则点C 的纵坐标不变，它的值为3．图2（3）①判断：结论“点C落在x轴上，则点D落在第一象限内．”错误．反例如图所示：②34t<≤+。