人教八级数学下册勾股定理的应用最短路径问题课件PPTppt文档

勾股定理的应用（1）-—蚂蚁爬行最短路线问题

班别：_____________姓名：_________________学号：_________

1、如图，一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程（取3）是( )

A.20cm B。10cm C。14cm D。无法确定

2、一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点,那么它所行的最短路线的长是多少?

3、一只蚂蚁在立方体的表面积爬行．

（Ⅰ）如图1，当蚂蚁从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？说出你的理由．

（Ⅱ）如图1，如果蚂蚁要从边长为1cm的正方体的顶点A沿最短路线爬行到顶点C，那么爬行的最短距离d的长度应是下面选项中的（ ）

（A）1cm＜l＜3cm （B)2cm (C）3cm

这样的最短路径有 _________条．

（Ⅲ）如果将正方体换成长AD=2cm,宽DF=2cm，高AB=1。5cm的长方体（如图2所示），蚂蚁仍需从顶点A沿表面爬行到顶点E的位置,请你说明这只蚂蚁沿怎样路线爬行距离最短？为什么？（可通过画图测量来说明)

AB4、如图所示：有一个长为3米，宽为1米,高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B点,则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________。若从A点开始绕4个侧面两圈爬到B点，最短路径长为____________。

5、一个圆柱体元件，底面半径为3,现要在其侧面绕线圈。

(1）若从A点出发，绕侧面1圈到达B点，线圈的长度最小为____________。(结果保留π)

（2）若从A点出发，绕侧面5圈到达B点，线圈的长度最小为____________。(结果保留π) B

A 6m

3m 1m

A B

A B

《利用勾股定理解决最短路径问题》 教学设计

一、教学目标

1、通过探究平面图形和立体图形中最短路径问题，掌握利用勾股定理解决最短路径问题的方法。

2、体会类比、数形结合的数学思想方法。

二、教学重、难点

重点：掌握利用勾股定理解决最短路径问题的方法

难点：利用勾股定理解决最短路径问题的方法探究

三、教学过程

（一）情境导入

在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，怎样爬行路程最短？

设计意图：通过有趣的问题情境导入新课，很好

的吸引学生的注意，使得学生全身心

地投入到学习中。

（二）知识梳理

1、常见立体图形的侧面展开图：

圆柱： 圆锥： 长方体：

2、距离最短

（1）两点之间最短距离：

（2）点到直线的最短距离：

（3）两个点到直线的距离和最短：两个点在直线异侧：

两个点在直线同侧：

3、勾股定理：

（三）自主探究

1、平面中的最短路径问题

学习指导：请每个学生先独立思考，尝试解决例题，然后在小组合作交流。

最短路径问题

解题技巧：先把立体图形展开成平面图形，再根据两点之间线段最短来解决问题

例1、如图，厨房里有一个圆柱体的糖罐，底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只饥饿的蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C偷糖吃，试求出爬行的最短路程

1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm。A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为_________dm．

2、如图所示，无盖玻璃容器，高18cm，底面周长为60cm，在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度.

3、如图，A、B两个小城镇在河流CD同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元

(1)请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节约？

(2)求出总费用是多少？

课后作业

1、在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB2+BC2+AC2的值是（ ）

A.2 B.4 C.6 D.8

2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）

A． B． C． D．

3、如图所示，一根旗杆于离地面12m处断裂，犹如装有铰链那样倒向地面，旗杆顶落于离旗杆地步16m，旗杆在断裂之前高为______m

4、如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-6,0）、（0,8）。以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为___________

5、如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，∠B=60°，∠C=45°。

第3节 勾股定理的应用

知识点一 确定几何体上的最短路线长

求长方体（或正方体） 表面上两点间的最短路线长 求圆柱侧 面上两点间的最短路 线长

先将长方体（或正方体）的表面展成平面图形 ，展开时一般要考虑各种可能的情况，在各种可能的情况中 ，分 别确定两点的位置并连接成线段 ，再 用勾股定理分别求其长度 ，长度最最短路线

先将圆柱的侧面展开，确定两点的位置 ，连接两点的线段即为最短路线，再在直角三角形中，利用利定理求其长度即可短的路线为

注意：在平面上寻找两个点之间的最短路线的依据是两点之间线段最短．在立体图形中，由于受物体和空间的阻隔，两点间的最短路径不一定是两点间的线段长，应将其展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线．

【例1】如图，圆柱的底面周长为6cm,AC是底面的直径，高BC=6 ，点P是母线BC上一点，且PC=32BC，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P，求蚂蚁爬行的最短距离．

特别提醒：

在棱柱上确定不同面上的两点间的最短距离时，要把棱柱展开成平面图形，展成不同的面，可能得到不同的路线，要比较后再确定最短距离．

拓展：在曲面上确定最短路线，一般沿着出发点或终止点所在的母线展开．

解题模板：

知识点二 利用勾股定理的逆定理解决实际问题

在实际生产、生活中常碰到两直线是否垂直的问题，即判断这两条直线构成的角是不是直角．若身边没有测量直角的工具，则可构造三角形，通过测量三边的长将立体图形展

开成平面图形 确定相关

点的位置 连接相关

点构造直

角三角形 根据勾股

定理求解 度，利用勾股定理的逆定理判断这个三角形是不是直角三角形，从而判断该角是不是直角 ．

【例 2】 某校两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一小组的行走速度为30 m/min ，第二小组的行走速度为40 m/min ，两组行走的路线为直线且为不同的路线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1